Wzory skróconego mnożenia - Zadania z rozwiązaniami

Przedstaw liczbę [tex] 30 [/tex] za pomocą sumy dwóch liczb, których różnica kwadratów wynosi [tex]180[/tex].

Zapisz wyrażenie [tex](m+1)^2-(n-1)^2[/tex] w postaci iloczynowej.

Zapisz wyrażenie [tex]x^3+3x^2y+3xy^2+y^3-z^3[/tex] w postaci iloczynowej.

Zapisz wyrażenie [tex](x+1)^3-y^3[/tex] w postaci iloczynowej.

Zapisz wyrażenie [tex](a+1)^2-(b+1)^2[/tex] w postaci iloczynowej.

Zapisz  wyrażenie [tex]x^3+y^3+x^2+y^2+2xy[/tex] w postaci iloczynu dwóch czynników.

Zapisz wyrażenie [tex]25p^2x^2+20mp^2x+4m^2p^2[/tex] w postaci iloczynowej:

Sprowadź wyrażenie [tex]4(4x^2+16a^2)(x-2a)(x+2a)[/tex] do najprostszej postaci:

Przestaw wyrażenie [tex](2mp+1)(4m^2p^2-2mp+1)[/tex] w najprostszej postaci.

Rozłóż wyrażenie [tex]64x^3+343[/tex] na czynniki.

Rozłóż wyrażenie  [tex]x^3-8[/tex] na czynniki.

Wykaż, że [tex]a\cdot b \leq  \cfrac{a^2}{2}+\cfrac{b^2}{2}[/tex] dla [tex]a,\ b\in \mathbb{R}[/tex]

Wykaż, że [tex]\cfrac{1}{a^2}-\cfrac{2}{ab}+\cfrac{1}{b^2} \geq 0[/tex] dla [tex]a,b\in \mathbb{R}\backslash\{0\}[/tex].

Wykaż, że [tex](a+b)^2\geq 2ab[/tex] dla [tex]a,b\ \in \mathbb{R}[/tex].

Rozłóż wyrażenie [tex]x^2+y^2-z^2+2xy[/tex] na czynniki.

Rozłóż wyrażenie  [tex]x^3 - 27[/tex] na czynniki.

Rozłóż wyrażenie [tex]27x^3+729[/tex] na czynniki.

Wykaż, że dla dowolnych [tex]a,\ b \in \mathbb{R^+}[/tex] prawdziwa jest  równość:

[tex]a^3+b^3\geq a^2b+ab^2[/tex]

Wyrażenie [tex]a^2+4ab+4b^2[/tex] zapisane w postaci iloczynowej to:

Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej $n$, liczba $5^n-1$ jest podzielna przez $4 $.