Wybierz dział:

Zadanie 1438

W zbiorze \mathbb{R}^2 określamy następujące odwzorowanie d:\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}:

d(x,y)=\max\{|x_1-y_1|,|x_2-y_2|\}.

Sprawdź czy funkcja d jest metryką. Jeżeli tak, to wyznacz kulę K((-2,1),4).

Zadanie 1441

Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną. Sprawdź czy odwzorowanie d_1:X \times X \rightarrow \mathbb{R}:

d_1(x,y)=\max\{1,d(x,y)\}

jest również metryką w X.

Zadanie 1432

W zbiorze \mathbb{R} określamy następujące odwzorowanie d:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}:

d(x,y)=|x^2-y^2|.

Sprawdź czy funkcja d jest metryką. Jeżeli tak, to wyznacz kulę K(0,1).

Zadanie 1434

W zbiorze \mathbb{R} określamy następujące odwzorowanie d:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}:

d(x,y)=\left\{\begin{matrix}|x|+|y|& x \neq y\\0 & x=y\end{matrix}\right..

Sprawdź czy funkcja d jest metryką. Jeżeli tak, to wyznacz kulę K(2,1).

Zadanie 1436

W zbiorze \mathbb{R}^2 określamy następujące odwzorowanie d:\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}:

d(x,y)=\max\{|x_1-y_1|,3|x_2-y_2|\}.

Sprawdź czy funkcja d jest metryką. Jeżeli tak, to wyznacz kulę K((1,1),2).

Zadanie 1437

W zbiorze \mathbb{R}^2 określamy następujące odwzorowanie d:\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}:

d(x,y)=2|x_1-y_1|+|x_2-y_2|.

Sprawdź czy funkcja d jest metryką. Jeżeli tak, to wyznacz kulę K((0,1),1).


Zadanie 1439

Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną. Udowodnij, że odwzorowanie d_1:X \times X \rightarrow \mathbb{R}:

d_1(x,y)=\cfrac{d(x,y)}{1+d(x,y)}

jest również metryką w X.

Zadanie 1440

Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną. Udowodnij, że odwzorowanie d_1:X \times X \rightarrow \mathbb{R}:

d_1(x,y)=\min\{1,d(x,y)\}

jest również metryką w X.

Zadanie 1431

W zbiorze \mathbb{R} określamy następujące odwzorowanie d:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}:

d(x,y)=\min\{1,|x-y|\}.

Sprawdź czy funkcja d jest metryką.