Definicja wielomianu.

Definicja: Wielomian

Wielomianem jednej zmiennej x \in \mathbb{R} nazywamy funkcję określoną wzorem

W(x) =a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0

gdzie

n \in \mathbb{N} - stopień wielomianu

a_0, a_1, ..., a_n \in \mathbb{R} - współczynniki wielomianu

a_n \neq 0 - wyraz przy najwyższej potędze

a_0 - wyraz wolny wielomianu

Przykład 1

W(x) = 3x^4 + 3x^2 + 2

Jest to wielomianem stopnia 4.

 

Przykład 2

W(x) = \cfrac{\sqrt{2}}{2}x^3 + 3x^2 + 4x + 2

Jest to wielomianem stopnia  3 .

 

Zaznacz co jest prawdą a co fałszem

Funkcja W(x)=2x^3 + 2^x + 2x + 5 jest wielomianem
Funkcja W(x)=3x^5 jest wielomianem
Funkcja W(x)=2 jest wielomianem

Stopień wielomianu.

Definicja: Stopień wielomianu.

Stopień wielomianu to najwyższy wykładnik potęgi zmiennej wielomianu o niezerowym współczynniku.

Inaczej mówiąc to wartość najwyższej potęgi wielomianu. Zobacz na przykładzie o co dokładnie chodzi.

Przykład 3

W(x) = 4x^5 + 4x^2 + 4x + 1

Stopień wielomianu W to 5, bo najwyższa wartość potęgi  x to 5.

 

Definicja: Wielomian stopnia zerowego.

Funkcja stała W(x) = c, gdzie c \neq 0, jest wielomianem stopnia zerowego.

Wielomian stopnia zerowego zawsze przyjmuje stałą wartość. Nie jest zależny od x.

Przykład 4

W(x) = 2

W(x) = -1

 

Definicja: Wielomian zerowy.

Wielomianem zerowym nazywamy funkcję stale równą zero, tzn dla x \in \mathbb{R} W(x) = 0. Taki wielomian nie ma określonego stopnia.

Przykład 5

W(x) = 0


Pierwiastek wielomianu.

Definicja: Pierwiastek wielomianu.

Każdą liczbę r, dla której W(r) = 0 nazywamy pierwiastkiem (miejscem zerowym) wielomianu W(x).

Inaczej mówiąc pierwiastek wielomianu W(x) to taka liczba, która po podstawieniu do tego wielomianu w miejsce x daje wartość 0.

 

Przykład 6

W(x) = 2x-2, pierwiastkiem jest liczba x=1, bo W(1) = 2 * ( 1 - 1 ) = 0

 

Przykład 7

W(x) = x^2-2x+1, pierwiastkiem jest liczba x=1, bo W(1) = 1^2 - 2 * 1 + 1 = 0

Zaznacz co jest prawdą a co fałszem

Pierwiastkiem wielomianu W(x)=2x^2 - 4x + 2 jest x=1
Pierwiastkiem wielomianu W(x)=x^3 - 9 jest x=-3
Pierwiastkiem wielomianu W(x)=x^3 + x^2 -x - 1 jest x=3

Równość wielomianów.

Definicja: Równość wielomianów.

Dwa wielomiany są równe, jeżeli współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej są sobie równe.

 

Przykład 8

W(x)=3x^2+5x+2

V(x)=ax^2+bx+c

Wiedząc, że powyżej określone wielomiany są sobie równe, wyznacz wartości współczynników a,\ b,\ c.

Z definicji równości wielomianów, otrzymujemy równanie

3x^2+5x+2=ax^2+bx+c

a=3

b=5

c=2

Zaznacz co jest prawdą a co fałszem

Wielomiany W(x)=x^2 + x i Q(x)=0* x^3 + x^2 + x + 0 są równe
Jeżeli wielomiany W(x)=2x^4 + 3x + 1 i Q(x)=ax^4 + bx^3 + cx + d są równe to a=2, b=0, c=3, d=0
Jeżeli wielomiany W(x)=2(x-a)(x+2) i Q(x)=2x^2 + 2x - 4 są równe to  a = 1

Działania na wielomianach.

Mamy wielomian P(x)=a_n x^n + ... + a_1 x + a_0 stopnia n i wielomian Q(x) = b_m x^m + ... + b_1 x + b_0 stopnia m.

  • Suma wielomianów P(x) i Q(x) to P(x)+Q(x) .
    Wynik jest wielomianem, którego stopień p nie jest większy od największego spośród n i m.
  • Różnica wielomianów P(x) i Q(x) to P(x)-Q(x).
    Wynik jest wielomianem, którego stopień p nie jest większy od największego spośród n i m.
  • Iloczyn wielomianów P(x) i Q(x) to P(x) * Q(x).
    Wynik jest wielomianem, którego stopień p nie jest większy od n + m.

 

 

Przykład 9

Oblicz P(x)+Q(x), jeżeli P(x) =x^2+2 i Q(x) = x^3 + 3x.

 

P(x)+Q(x) = x^2 + 2 + x^3 + 3x = x^3 + x^2 + 3x + 2

Widać także, że stopień wielomianu jest równy3 bo wartość najwyższej potęgi przy x wynosi 3.

 

 

Przykład 10

Oblicz P(x)-Q(x), jeżeli P(x) = 2x^3 -3x^2 i Q(x) = -2x^2 -2.

 

P(x)-Q(x) = 2x^3 -3x^2 - (-2x^2 -2)
P(x)-Q(x) = 2x^3 -3x^2 + 2x^2 + 2
P(x)-Q(x) = 2x^3 -x^2 + 2

Widać także, że stopień wielomianu jest równy 3.

 

 

Przykład 11

Oblicz P(x) * Q(x), jeżeli P(x) = 3x^2 -x i Q(x) = -2x^4 + 1.

 

P(x) * Q(x) = (3x^2 -x)(-2x^4 +1)

P(x) * Q(x) = -6x^6 +3x^2 +2x^5 - x = -6x^6 + 2x^5 + 3x^2 - x

Widać także, że stopień wielomianu jest równy 6.


Zadanie 1

Wyznacz wartości współczynników a,\ b wiedząc, że wielomiany W(x)=5x^3+4x^2+4 oraz V(x)=(a-b)x^3+(a+b)x^2+4 są równe.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Wyznacz współczynniki wielomianu R(x)=ax+b, jeżeli wiemy, że R(x) * P(x)=Q(x)  oraz

P(x)=2x^2+3x+4 

Q(x)=4x^3+12x^2+17x+12.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Oblicz Q(x)-P(x), jeżeli:

Q(x)=x^3-3x^2+5x+9

P(x)=-x^3+3x^2-11x+10.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Oblicz  [W(x)]^2 - Q(x) jeżeli:

W(x)=(x+3)

Q(x)=(x+1)(x^3-3x^2-2)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Wykaż, że jeżeli m jest liczbą całkowitą, to suma współczynników wielomianu

W(x)=\left( \cfrac{4m^3}{m-\cfrac{1}{2}}x^4-2mx^3-2x^2-\cfrac{1}{2m-1}\right)^{12}

jest także liczbą całkowitą.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Dany jest wielomian W(x)=x^3+2ax^2+bx+1. Wyznacz a i b, jeżeli wiadomo, że W(1)=4 oraz W(2)=18.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz