Wyrażenie wymierne.

Definicja: Wyrażenie wymierne

Wyrażeniem wymiernym nazywamy wyrażenie postaci:

\cfrac{A(x)}{B(x)}

gdzie:

A(x),B(x) są wielomianami.

B(x)\neq 0 dla każdego x\in \mathbb{R}

Przykład 1

\cfrac{x+4}{x-3}

\cfrac{2x^2+2x+3}{x^3-2}

Zaznacz co jest prawdą a co fałszem

Wyrażenie \cfrac{\sin x}{2x} jest wyrażeniem wymiernym.
Wyrażenie \cfrac{1}{2x^3} jest wyrażeniem wymiernym.
Wyrażenie \cfrac{2x^3}{1} jest wyrażeniem wymiernym.

Dziedzina wyrażenia wymiernego.

Istotne jest, aby mianownik wyrażenia wymiernego nie był zerem, ponieważ nie można dzielić przez zero. Dla każdego wyrażenia wymiernego \cfrac{A(x)}{B(x)} wyznaczamy dziedzinę dla zmiennej x. Jest to zbiór dopuszczalnych wartości zmiennej x.

Definicja: Dziedzina wyrażenia wymiernego.

Dziedziną wyrażenia wymiernego \cfrac{A(x)}{B(x)} jest zbiór

D = \{x \in \mathbb{R}: B(x) \neq 0 \}

Dziedzina wyrażenie wymiernego to zbiór takich x \in \mathbb{R}, dla których mianownik nie jest zerem.

Przykład 2

Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego \cfrac{x+4}{x - 3}.

Szukamy dla jakich x \in \mathbb{R} mianownik nie jest zerem

x - 3 \neq 0

x \neq 3

czyli dziedziną jest

D = \mathbb{R} \setminus \{3\}

Przykład 3

Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego \cfrac{x^2+2x+3}{x^2 + 2}.

Szukamy dla jakich x \in \mathbb{R} mianownik nie jest zerem

x^2 + 2 \neq 0

x^2 \neq -2

ponieważ kwadrat każdej liczby jest nieujemny (nierówność jest spełniona dla x \in \mathbb{R}), dziedziną jest

D = \mathbb{R}

Obliczanie wartości wyrażenia wymiernego.

Obliczenie wartości wyrażenia wymiernego dla zadanej liczby x z dziedziny (x \in D) polega na wyliczeniu wartości ułamka po podstawieniu w miejsce zmiennej x zadanej wartości.

Przykład 4

Oblicz wartość wyrażenia \cfrac{x^2+2x+1}{x-3} dla x = 2.

Liczba 2 należy do dziedziny tego wyrażenia wymiernego, zatem wstawiamy w miejsce zmiennej x wartość  2 i otrzymujemy:

\cfrac{2^2+2 * 2+1}{2-3}=\cfrac{4+4+1}{-1}=\cfrac{9}{-1}=-9

UWAGA!

Przed obliczeniem wartości wyrażenia w zadanym punkcie należy wyznaczyć dziedzinę wyrażenia. Jeżeli liczba nie należy do wyznaczonej dziedziny to wyrażenie nie posiada wartości dla tej liczby.

Przykład 5

Oblicz wartość wyrażenia \cfrac{2x+3}{x^3+x^2} dla x = 1.

Wyznaczamy dziedzinę.

x^3+x^2 \neq 0

x^2(x+1)\neq 0

x\neq 0 i x\neq -1

D=\mathbb{R}\setminus\{-1,0\}

Wstawiamy w miejsce zmiennej x wartość  1

\cfrac{2 * 1+3}{1^3+1^2}=\cfrac{2+3}{1+1}=\cfrac{5}{2}


Zadanie 1

Wyznacz dziedzinę następującego wyrażenia wymiernego:

\cfrac{x^2+6x+7}{x^3+6x^2+12x+8}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Jeżeli x=\sqrt{7} to wartość wyrażenia \cfrac{x^2+2}{x^4+2x^2+3} wynosi:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Określ dziedzinę funkcji:

a) f(x)=\cfrac{\sqrt{x^2-4}}{x+1}

b) g(x)=2^{x+\sqrt{x^2+4x+1}}

c) h(x)=\arcsin(3x+5)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Samochód poruszając się ze średnią prędkością 60\ \cfrac{km}{h} przejechał trasę w ciągu 2h\ 20min.

a) Jak szybko ten samochód pokonałby tę trasę, gdyby zwiększył szybkość do 80\ \cfrac{km}{h}?

b) Podaj wzór funkcji i naszkicuj wykres tej funkcji, opisującej zależność szybkości samochodu od czasu podróży.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Uprość wyrażenie: \cfrac{5x^3+10x^2-x-2}{x^2+5x+6}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Sprowadź do najprostszej postaci wyrażenie:

\cfrac{x^2+7x+10}{x^2-x-6}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

Samochód poruszając się ze średnią prędkością 60\ \cfrac{km}{h} przejechał trasę z miejscowości A do miejscowości B w ciągu 2h\ 20min.

a) Jak szybko ten samochód pokonałby tę trasę, gdyby zwiększył szybkość do 80\ \cfrac{km}{h}? (Wynik podaj w minutach)

Z miejscowości B w tym samym czasie co z miejscowości A wyruszył samochód, który porusza się ze średnią prędkością o 30\cfrac{km}{h} większą niż samochód, który wyjechał z miejscowości A. Oblicz:

b) w jakiej odległości od miejscowości A spotkają się oba samochody. (Wynik podaj w kilometrach)

c) po jakim czasie spotkają się oba samochody (Wynik podaj w minutach)

d) jak długo będzie jechał samochód z miejscowości B do miejscowości A. (Wynik zaokrąglij do pełnych minut)

 

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

Jeżeli x=\cfrac{1}{2}, to wartość wyrażenia \cfrac{x^3-3x^2+4x+1}{x^2-4x-1} wynosi

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

Samochód jadąc z miasta A do miasta B ze średnią prędkością 80\ km/h przejechał trasę w ciągu 1h 15\ min. Jak długo jechałby ten samochód, gdyby jego średnia prędkość wynosiła 60\ km/h?

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz