Co to jest funkcja liniowa?

Definicja: Funkcja liniowa

Funkcję f daną wzorem:

f(x)=ax+b

gdzie a,\ b,\ x \in \mathbb{R}

nazywamy funkcją liniową.

a - współczynnik kierunkowy prostej

b - wyraz wolny ( punkt (0,b) jest punktem przecięcia z osią OY)

 

Wniosek 

Dziedziną funkcji liniowej jest zbiór liczb rzeczywistych.

Zbiorem wartości funkcji liniowej jest zbiór liczb rzeczywistych lub zbiór \{c\} w przypadku funkcji stałej f(x)=c(gdzie  c jest pewną liczbą należącą do zbioru liczb rzeczywistych) .

 

Funkcja jest liniowa, gdy jej wzór zawiera argument (w tym przypadku x) wyłącznie w pierwszej potędze.

Zaznacz co jest prawdą a co fałszem

Funkcja f(x) = 2x jest funkcją liniową, a jej wyraz wolny to b=0.
Funkcja f(x) = -x - 3 jest funkcją liniową o współczynniku kierunkowym a = 1.
Funkcja f(x) = 2x^2 + 1 jest funkcją liniową.
Funkcja f(x) = 5 - 4x jest funkcją liniową, a jej wyraz wolny to b = -5.

Interpretacja współczynników funkcji liniowej.

Wykresem funkcji liniowej f(x) = ax+b jest prosta nachylona do osi OX pod kątem \alpha, gdzie:

a= \tan \alpha

 

Prosta ta przecina oś OY w punkcie (0,b).

Zaznacz co jest prawdą a co fałszem

Prosta y=\cfrac{\sqrt{3}}{3}x + 2 jest nachylona pod kątem 30^{\circ} do osi OX.
Jeżeli prosta przechodzi przez punkt (0, 0) to y=ax
Prosta przecina oś OY w punkcie  (0,3), zatem jej wzór to y=ax + 3

Monotoniczność funkcji liniowej.

 

Funkcja liniowa f(x) = ax + b jest rosnąca, gdy a > 0

 

Przykład 1

Przykładowy wykres liniowej funkcji rosnącej wygląda następująco:


 

Funkcja liniowa f(x) = ax + b jest stała, gdy a = 0

 

Przykład 2

Przykładowy wykres liniowej funkcji stałej wygląda następująco:

 


 

Funkcja liniowa f(x) = ax + b jest malejąca, gdy a < 0

 

Przykład 3

Przykładowy wykres liniowej funkcji malejącej wygląda następująco:

 


Monotoniczność funkcji określa czy wraz ze wzrostem argumentów x wartości funkcji:

  • rosną (funkcja jest rosnąca)   
  • maleją (funkcja jest malejąca) 
  • nie zmieniają się (funkcja jest stała)

Miejsce zerowe funkcji liniowej.

Miejsce zerowe funkcji liniowej f(x)=ax+b

 

  • dla  a \neq 0 jest jedno:  x_0 = -\cfrac{b}{a}

  • dla  a = 0 i  b = 0 jest nieskończenie wiele miejsc zerowych

  • dla  a = 0 i  b \neq 0 nie ma miejsc zerowych

Zaznacz co jest prawdą a co fałszem

Miejscem zerowym funkcji liniowej f(x)=x jest x=0.
Miejscem zerowym funkcji liniowej f(x) = -2x+2 jest x=-1.
Funkcja liniowa f(x) = -2 nie ma miejsc zerowych.
Funkcja liniowa f(x) = 2x ma nieskończenie wiele miejsc zerowych.

Zadanie 1

Z miejscowości A i B oddalonych od siebie o 210\ km wyruszają jednocześnie dwa samochody. Do momentu spotkania samochód jadący z miejscowości A przejechał \cfrac{3}{7} całej drogi z A do B. Gdyby samochód jadący z miejscowości B wyruszył o 30\ min później, to oba samochody spotkałyby się w połowie drogi. Oblicz z jakimi średnimi prędkościami jechały oba samochody, oraz po jakim czasie nastąpiło ich spotkanie.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Liczba 4 jest miejscem zerowym funkcji f(x)=(m+5)(x-2)+3. Wynika stąd, że:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Dane są funkcje f(x)=\cfrac{3}{2}x-\cfrac{1}{2} oraz g(x)=3x-\cfrac{5}{2}. Wyznacz punk przecięcia wykresów tych funkcji.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Funkcja liniowa dana jest wzorem y=5x-7. Oblicz miejsce zerowe tej funkcji oraz podaj dla jakiego argumentu przyjmuje ona wartość 17.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres jest nachylony do osi OX pod kątem 60^{\circ} i przechodzi przez punkt A=(2,\sqrt{3}).

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres jest nachylony do osi OX pod kątem 30^{\circ} oraz przechodzi przez punkt A=(\sqrt{3},4).

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

Dla jakich argumentów funkcja y=-4x+3 przyjmuje wartości dodanie?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

Wyznacz zbiór wartości funkcji liniowej y=6x+9, gdy argumenty tej funkcji należą do przedziału [4, 7).

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

Wyznacz dziedzinę funkcji liniowej f(x) = -7x-3, której zbiorem wartości jest przedział (15, 21).

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

Funkcja liniowa dana jest wzorem:   f(x)=2x-3 .

a) Określ monotoniczność funkcji  f.

b) Dla jakich argumentów, wartości funkcji f są większe od wartości funkcji  g danej wzorem    g(x)=3x+8   ?

c)  Oblicz miejsce zerowe funkcji  f.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

Kamil kupił dwa razy więcej długopisów niż zeszytów. Cena jednego długopisu to 1,20\ zl, a cena jednego zeszytu to 2,30\ zl. Ile długopisów i ile zeszytów kupił Kamil, jeżeli za wszystko zapłacił 23,50\ zl?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12

Z miejscowości A i B wyjeżdżają jednocześnie dwa samochody. Samochód jadący  z miejscowości A jedzie ze średnią prędkością 60\ \cfrac{km}{h} natomiast samochód jadący z miejscowości B jedzie ze średnią prędkością 70\ \cfrac{km}{h}. Oba samochody spotkały się po 45 minutach. Oblicz odległość między miejscowościami A i B.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13

Samochód poruszając się ze średnią prędkością 60\ \cfrac{km}{h} przejechał trasę z miejscowości A do miejscowości B w ciągu 2h\ 20min.

a) Jak szybko ten samochód pokonałby tę trasę, gdyby zwiększył szybkość do 80\ \cfrac{km}{h}? (Wynik podaj w minutach)

Z miejscowości B w tym samym czasie co z miejscowości A wyruszył samochód, który porusza się ze średnią prędkością o 30\cfrac{km}{h} większą niż samochód, który wyjechał z miejscowości A. Oblicz:

b) w jakiej odległości od miejscowości A spotkają się oba samochody. (Wynik podaj w kilometrach)

c) po jakim czasie spotkają się oba samochody (Wynik podaj w minutach)

d) jak długo będzie jechał samochód z miejscowości B do miejscowości A. (Wynik zaokrąglij do pełnych minut)

 

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14

Liczba 2 jest miejscem zerowym funkcji f(x)=(m-9)x+2. Wynika stąd, że:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15

Która z liczb jest rozwiązaniem równania 2(x-3)+\cfrac{1}{3}(3-15x)=2x+5?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 16

Wzór funkcji liniowej przedstawionej na powyższym rysunku to:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 17

Kąt nachylenia prostej o równaniu y=\sqrt{3}x+\sqrt{2} do osi OX wynosi:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 18

Wskaż kąt nachylenia prostej będącej wykresem funkcji f(x)=\sqrt{3}x-\sqrt{3}  do osi OX.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 19

Wskaż wzór funkcji nachylonej do osi OX pod kątem 30^{\circ}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 20

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności  \frac{1 - 2x}{2} > \frac{1}{3}

Rozwiązanie video

Zadanie 21

Funkcja liniowa f określona jest wzorem 

 f(x) = \cfrac{1}{3}x - 1

 dla wszystkich liczb rzeczywistych x. Wskaż zdanie prawdziwe:

Rozwiązanie video

Zadanie 22

Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x) = ax + b, a punkt M = (3, -2) należy do wykresu tej funkcji. Współczynnik a we wzorzej tej funkcji jest równy 

Rozwiązanie video

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz