Dziedzina funkcji.

Teraz przejdziemy do wyjaśnienia kilku pojęć związanych z funkcjami.

Funkcja f przyporządkowuje elementom ze zbioru X elementy zbioru Y.

f: X \rightarrow Y

Wszystkie elementy zbioru X dla których funkcja f przyjmuje wartość w zbiorze Y, tworzą dziedzinę tej funkcji. Patrząc na powyższy rysunek, dziedziną funkcji f jest zbiór \{a,b,c,g,h\}.

Definicja: Dziedzina funkcji.

Dziedziną funkcji jest zbiór wszystkich jej argumentów (zmiennych niezależnych).

Przykład 1

Funkcja jest przedstawiona za pomocą wykresu ( na rysunku poniżej). Na czerwono została zaznaczona dziedzina tej funkcji, czyli zbiór wszystkich x dla których funkcja przyjmuje jakąś wartość. W tym wypadku jest to przedział [-3,4]

 

Funkcja została opisana za pomocą tabeli:

Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich argumentów czyli \{1,2,3,4,5\}

Teraz zadanie dla Ciebie.  Poniżej znajduje się kilka wykresów funkcji. Sprawdź czy ich dziedzina została prawidłowo określona.

Rys.1

 

Rys.2

 

Rys.3

Zaznacz co jest prawdą a co fałszem

Dziedzina funkcji na Rys.1 to (-3,3)
Dziedzina funkcji na Rys.2 to [-1,4]
Dziedzina funkcji na Rys.3 to (-8,8)

Zbiór wartości funkcji.

Spójrz jeszcze raz na rysunek:

Zbiór wszystkich elementów zbioru Y, które są przyporządkowane pewnemu elementowi zbioru X, tworzą zbiór wartosci funkcji f. Na powyższym rysunku będzie do zbiór \{1,3,5,13\}.

Definicja: Zbiór wartości funkcji.

Zbiorem wartości funkcji jest zbiór tych y \in Y, które są wartościami funkcji f. Czyli istnieje taki x \in  X, że y=f(x) .

Innymi słowy mówiąc, jest to zbiór wszystkich tych wartości które otrzymujemy po podstawieniu do wzoru funkcji f elementów z dziedziny funkcji.

Zobacz jak wygląda to na przykładach.

Przykład 2

Spójrz na wykres funkcji na poniższym rysunku (zaznaczony kolorem niebieskim). Kolorem czerwonym został zaznaczony zbiór wartości tej funkcji. Czyli zbiór wszystkich y, które są wartościami funkcji dla pewnego argumentu. W tym przypadku zbiorem wartości funkcji jest suma przedziałów [-4,5]\cup(6,11).

 

 

Jeżeli funkcja jest opisana za pomocą tabeli, jak poniżej:

to zbiorem wartości są liczby ze zbioru \{1,4,9,16,25\}.

Miejsce zerowe funkcji.

Definicja: Miejsce zerowe funkcji.

Miejscem zerowym funkcji nazywamy ten argument, dla którego funkcja ta przyjmuje wartość 0.

Czyli jest to taki  x \in X, że f(x)=0.

Przykład 3

Funkcja f dana jest wzorem: f(x)=2x+4. Miejscem zerowym tej funkcji jest x=-2, ponieważ

f(-2)=2 * (-2)+4=-4+4=0

 

Funkcja dana jest za pomocą tabeli:

Miejscem zerowym tej funkcji jest x=1, ponieważ wtedy wartość tej funkcji wynosi 0. ( f(1)=0 ).

 

Funkcja dana jest za pomocą wykresu:

Odczytując miejsce zerowe funkcji z wykresu, patrzymy na punkt przecięcia się wykresu tej funkcji z osią OX.

Zatem, miejscem zerowym funkcji przedstawionej na powyższym wykresie jest x=-1.

Spójrz uważnie na Rys.4 i na jego podstawie oceń prawdziwość zdań.

Rys.4

Zaznacz co jest prawdą a co fałszem

Miejscem zerowym funkcji przedstawionej na rys.4 jest y=-3
Miejscem zerowym funkcji przedstawionej na rys.4 jest x=1
Dziedziną funkcji przedstawionej na rys. 4 jest przedział [-1,7)
Zbiorem wrtości funkcji przedstawionej na rys. 4 jest przedział [-6,9)

Monotoniczność funkcji.

Teraz wyjaśnimy pojęcia związane z monotonicznością funkcji.

 

Definicja: Funkcja rosnąca.

Funkcję nazywamy rosnącą w zbiorze (lub przedziale), jeżeli wraz ze wzrostem argumentów z tego zbioru (przedziału) rosną także wartości funkcji.

Definicja: Funkcja malejąca.

Funkcję nazywamy malejącą w zbiorze (lub przedziale), jeżeli wraz ze wzrostem argumentów z tego zbioru (przedziału) wartości funkcji maleją.

Definicja: Funkcja stała.

Funkcję nazywamy stałą w zbiorze (lub przedziale), jeżeli dla wszystkich argumentów z tego zbioru (przedziału) przyjmuje tą samą wartość.

Przykład 4

Określ monotoniczność funkcji przedstawionej na rysunku Rys.5.

 

Rys.5

 

Funkcja, której wykres znajduje się na rys.5 jest:

a) rosnąca w przedziale [-2,1)

Zauważ, że w tym przedziale argumenty ( czyli x) zwiększają się od wartości -2 do 1. Wartości funkcji dla argumentów z tego przedziału również rosną od y=-2 do y=4 na końcu przedziału.

b) stała w przedziale  [2,4)

W tym przedziale dla każdego argumentu  ( czyli x) wartości funkcji są zawsze takie same równe  4.

c) malejąca w przedziale (4,6]

W  przedziale (4,6] argumenty ( czyli x) zwiększają się od wartości  4 do 6. Wartości funkcji dla argumentów z tego przedziału maleją od wartości y=6 na początku przedziału do y=4 na końcu przedziału.


Zadanie 1


Miejscem zerowym funkcji przedstawionej na rysunku jest:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

 

Na rysunku został przedstawiony wykres funkcji y=f(x). Odczytaj z tego wykresu funkcji następujące wartości:

a) miejsca zerowe

b) dziedzinę

c) zbiór wartości

d) maksymalny przedział, w którym funkcja jest rosnąca

 

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Na powyższym rysunku znajduje się wykres pewnej funkcji. Znajdź wzór tej funkcji.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz