Postać ogólna i postać kierunkowa prostej.

Równanie prostej na płaszczyźnie kartezjańskiej możemy przedstawiać w postaci:

Ogólnej

Wzór: Równanie prostej w postaci ogólnej.

Ax+By+C=0

gdzie:

A^2+B^2>0

 

Kierunkowej

Wzór: Równanie prostej w postaci kierunkowej.

y=ax+b

gdzie:

a  - współczynnik kierunkowy prostej

b  - druga współrzędna punktu przecięcia z osią OY

 

UWAGA!

Współczynnik kierunkowy prostej a jest równy tangensowi kąta nachylenia prostej do osi OX.

a=\tan\alpha


Przykład 1

Dane jest równanie prostej w postaci ogólnej 3x+4y+9=0. Przedstaw równanie tej prostej w postaci kierunkowej.

3x+4y+9=0

Przekształcamy to równanie tak, aby wyliczyć y:

4y=-3x-9

y=-\cfrac{3}{4}x-\cfrac{9}{4}

 

Przykład 2

Dane jest równanie prostej w postaci kierunkowej y=\cfrac{1}{2}x+3. Przedstaw równanie tej prostej w postaci ogólnej.

y=\cfrac{1}{2}x+3

Mnożymy równanie obustronnie przez 2:

2y=x+6

x-2y+6=0

Proste prostopadłe.

Twierdzenie: Warunek prostopadłości prostych

Jeżeli mamy dane dwie proste w postaci ogólnej:

k: A_1x+B_1y+C_1=0

l: A_2x+B_2y+C_2=0

to te dwie proste są prostopadłe jeżeli jest spełniony warunek:

A_1A_2+B_1B_2=0

 

 

Przykład 3

Sprawdź czy proste m: 3x+5y+9=0 i n: 2x+5y+23=0 są prostopadłe.

Zgodnie z powyższym, sprawdzamy warunek:

3* 2+5 * 5=6+25=31 \neq 0

Zatem te proste nie są prostopadłe.

Twierdzenie: Warunek prostopadłości prostych (2)

Jeżeli mamy dane dwie proste w postaci kierunkowej:

k: y=a_1x+b_1

l: y=a_2x+b_2

to te dwie proste są prostopadłe jeżeli jest spełniony warunek:

a_1 * a_2=-1

 

Przykład 4

Sprawdź czy proste m: y=4x+5 i n: y=-\cfrac{1}{4}x+24 są prostopadłe.

Zgodnie z powyższym, sprawdzamy warunek:

4* \left(-\cfrac{1}{4}\right)=-1

Zatem te proste są prostopadłe.

UWAGA!

Proste prostopadłe oznaczamy symbolem  \perp.

Dane są proste o równaniach: k: y=2x+7 l: x+2y-20=0 m: 3x+7y+2=0

Czy k \perp m?
Czy l \perp m?
Czy k \perp l?

Proste równoległe.

 

Twierdzenie: Warunek równoległości prostych

Jeżeli mamy dane dwie proste w postaci ogólnej:

k: A_1x+B_1y+C_1=0

l: A_2x+B_2y+C_2=0

to te dwie proste są równoległe jeżeli jest spełniony warunek:

A_1B_2-A_2B_1=0

Przykład 5

Sprawdź czy proste m: 2x+4y+9=0 i n: 3x+6y+7=0 są równoległe.

 

Zgodnie z powyższym, sprawdzamy warunek:

2 * 6-4 * 3=12-12=0

Zatem te proste są równoległe.

Twierdzenie: Warunek równoległości prostych

Jeżeli mamy dane dwie proste w postaci kierunkowej:

k: y=a_1x+b_1

l: y=a_2x+b_2

to te dwie proste są równoległe jeżeli jest spełniony warunek:

a_1 = a_2

 

Przykład 6

Sprawdź czy proste m: y=x+5 i n: y=-x+5 są równoległe.

 

Współczynniki kierunkowe obu prostych są różne, zatem te proste nie są równoległe.

 

UWAGA!

Proste równoległe oznaczamy symbolem  \parallel.

 


Wyznaczanie równania prostej przechodzącej przez zadane dwa punkty.

Przykład 7

Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty A=(3,4) i B=(5,8).

 

Równanie prostej w postaci kierunkowej to: y=ax+b. Musimy wyznaczyć wartości współczynników a i b. Tworzymy układ równań, podstawiając za x i y współrzędne punktów A i B przez które przechodzi ta prosta. Czyli:

A=(3,4) -  po podstawieniu współrzędnych do równania kierunkowego prostej otrzymujemy:

4=3a+b

B=(5,8) -  po podstawieniu współrzędnych do równania kierunkowego prostej otrzymujemy:

8=5a+b

Tworzymy układ równań:

\left\{\begin{matrix} 4=3a+b\\ 8=5a+b \end{matrix}\right.

Rozwiązujemy go i wyznaczamy wartości współczynników a i b. Z pierwszego równania wyznaczamy b w zależności od a:

b=4-3a

Wstawiamy tą zależność do drugiego równania:

8=5a+ 4-3a

8=2a+4

2a=4

a=2

Obliczamy b:

b=4-3a=4-3* 2=4-6=-2

Zatem równanie szukanej prostej to:

y=2x-2

Wyznaczanie równania prostej mając dany punkt przez który przechodzi oraz jej współczynnik kierunkowy.

Przykład 8

Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt P=(4,5) jeżeli wiadomo, że współczynnik kierunkowy tej prostej wynosi 5.

Równanie ogólne prostej to y=ax+b. Z treści zadania wiemy, że współczynnik kierunkowy szukanej prostej to 5, zatem równanie tej prostej to:

y=5x+b

Podstawiając do tego równania współrzędne punktu P=(4,5) przez który przechodzi ta prosta, obliczymy współczynnik b.

5=5 * 4+b

5=20+b

b=5-20=-15

Zatem równanie szukanej prostej to:

y=5x-15

Przykład 9

Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt P=(3,2) jeżeli wiadomo że prosta ta jest nachylona do osi OX pod kątem 45^{\circ}.

 

W tym zadaniu  nie mamy wprost danego współczynnika kierunkowego prostej. Ale przypomnijmy, że:

a=\tan\alpha

gdzie \alpha to kąt nachylenia prostej do osi OX. Z tej zależności obliczamy a:

a=\tan45^{\circ}=1

Zatem równanie szukanej prostej przyjmuje postać:

y=x+b

Podstawiając współrzędne punktu P=(3,2) obliczamy współczynnik b:

2=3+b

b=2-3=-1

Zatem równanie szukanej prostej to:

y=x-1


Zadanie 1

Wyznacz równanie prostej, jeżeli wiadomo, że jej wykres przechodzi przez punkt A=(5,3), oraz przez punkt B, będący środkiem odcinka CD, gdzie C=(2,7), D=(4,1).

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Wiadomo, że prosta k jest prostopadła do prostej l. Współczynnik kierunkowy prostej l to -\cfrac{1}{3} oraz przecina oś OY w punkcie B=(0,2). Prosta k przechodzi przez punkt A=(1,8). Znajdź równania kierunkowe obu prostych.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Znajdź równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez punkty P=(3,-3) oraz Q=(1,3).

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Znajdź równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez punkty P=(-5,-3) oraz Q=(-2,3).

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Znajdź równanie ogólne prostej przechodzącej przez punkty A=(-14,-2) oraz B=(6,8).

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Znajdź równanie ogólne prostej przechodzącej przez punkty A=\left(\cfrac{1}{3},\cfrac{10}{3}\right)  oraz   B=\left(\cfrac{1}{9},\cfrac{4}{3}\right).

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

Znajdź równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez punkt A=(-1,6), jeżeli wiadomo, że współczynnik kierunkowy tej prostej to liczba -2.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

Znajdź równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez punkty P=(4,6), jeżeli wiadomo, że współczynnik kierunkowy tej prostej to liczba \cfrac{1}{4}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

Punkty A=(\sqrt{3},3),\ B=(6\sqrt{3},3) oraz C są wierzchołkami trójkąta. Wierzchołki A i C leżą na prostej k, która jest nachylona do osi OX pod kątem 30^{\circ}. Z wierzchołka C poprowadzono wysokość, która przecina bok AB w punkcie D. Długość odcinka CD wynosi 2.

a) Wyznacz równanie prostej k

b) Oblicz współrzędne wierzchołka C

c) Oblicz pole trójkąta DBC

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

Proste k i l przecinają oś OX w jednym punkcie. Znajdź kąt między tymi prostymi, jeżeli  k: 3y-\sqrt{3}x+2\sqrt{3} =0, i  l: y =\sqrt{3}x-6\sqrt{3}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

Punkty A=(-1,-4),\ B=(1,2),\ C=(k,8) leżą na jednej prostej. Wyznacz wartość parametru k.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12

Prosta k jest nachylona do osi OX pod kątem 60^{\circ} i przechodzi przez punkt P=(\sqrt{3},6). Wskaż równanie tej prostej:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13

Dane są punkty A=(2,5) i B=(6,k). Wyznacz wartość parametru k tak, aby prosta przechodząca przez punkty A i B była nachylona do osi OX pod kątem 45^{\circ}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14

Dana jest prosta o równaniu -x+y+4=0 . Pod jakim kątem jest ona nachylona do osi OX?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15

Punktem wspólnym prostych o równaniach y=2x+8 i y=3x+3 jest:

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz