Definicja równania wymiernego.

 

Definicja: Równanie wymierne.

Równaniem wymiernym jest równanie postaci \cfrac{W(x)}{P(x)} =  0, gdzie W(x) i P(x) \neq 0 są wielomianami.

 

Przykład 1

\cfrac{x^2+2x+1}{x} = 0

 

Przykład 2

Sprawdź czy 2 i -3 są rozwiązaniami równania wymiernego \cfrac{x^2 - x -2}{x+3} = 0.

 

Wyznaczamy dziedzinę - mianownik nie może być zerem:

x+3\neq 0

x \neq -3

Podstawiamy x=2 do lewej strony równania:

\cfrac{2^2 - 2 - 2}{2 + 3} = \cfrac{4 - 2 - 2}{5} = \cfrac{0}{5} = 0

Liczba ta spełnia to równanie, czyli jest rozwiązaniem.

Ponieważ -3 nie należy do dziedziny równania, to nie może być jego rozwiązaniem.

Zaznacz co jest prawdą a co fałszem

Rozwiązaniem równania \cfrac{2x + 6}{x^2+5} = 0 jest x=-3
Rozwiązaniem równania \cfrac{2x^2 + 4x + 2}{x+1} = 0 jest x=-1
Rozwiązaniem równania \cfrac{2x-6}{x^2 + 3x + 2} = 0 jest x=2

Przykłady prostych równań wymiernych.

UWAGA!

Aby rozwiązać równanie wymierne \cfrac{W(x)}{P(x)} = 0 korzystamy z równoważności

\cfrac{W(x)}{P(x)} = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy  W(x) = 0 i jednocześnie P(x) \neq 0

Innymi słowy ułamek jest równy zero, jeżeli licznik W(x) jest zero, ale mianownik P(x) musi być niezerowy.

Przykład 3

Rozwiąż równanie \cfrac{x^2+2x+1}{x} = 0.

\cfrac{x^2+2x+1}{x}=0

Dziedziną wyrażenia wiernego jest x \in \mathbb{R} \backslash\{0\}. Przyrównujemy licznik do zera.

 x^2+2x+1=0

Z wzoru skróconego mnożenia mamy:

(x+1)^2 = 0

zatem

x + 1 = 0

x = -1

Otrzymaliśmy wynik, który jest zgodny z dziedziną x \neq 0.

 

UWAGA!
  • Niekiedy można skrócić licznik i mianownik, jeżeli wielomiany w liczniku i mianowniku mają wspólne czynniki.
  • Należy pamiętać, aby zawsze wyznaczyć dziedzinę wyrażenia wymiernego.

 

Przykład 4

Rozwiąż równanie \cfrac{x^2 - 9}{2x^2 + 6x} = 0.

 

Wyznaczamy dziedzinę:

2x^2 + 6x \neq 0

2x(x + 3) \neq 0

x \neq 0 \wedge x + 3 \neq 0

x \neq 0 \wedge x \neq -3

x \in \mathbb{R} \setminus \{ -3, 0 \}

Przekształcamy równanie stosując dla licznika wzór skróconego mnożenia, a dla mianownika wyłączamy 2x przed nawias

\cfrac{(x-3)(x+3)}{2x(x + 3)} = 0

\cfrac{x-3}{2x} = 0

Ułamek jest równy 0, gdy licznik jest równy 0:

x - 3 = 0

x = 3

Otrzymany wynik należy do dziedziny wyrażenia wymiernego i spełnia równanie, zatem jest rozwiązaniem.

 

Przykład 5

Rozwiąż równanie \cfrac{x^3+4x^2+3x}{x^2+12x+35}=0.

 

Wyznaczamy dziedzinę wyrażenia wymiernego:

x^2 + 12x + 35 \neq 0

Liczymy wyróżnik delta, żeby znaleźć pierwiastki trójmianu.

\Delta = {12}^2 - 4 * 1 * 35 = 144 - 140 = 4

Równanie posiada pierwiastki:

x_1 = \cfrac{ - 12 - \sqrt{4} }{2 * 1} = \cfrac{-12 -2}{2} = -7

x_2 = \cfrac{ - 12 + \sqrt{4} }{2 * 1} = \cfrac{-12 +2}{2} = -5

zatem:

x \neq -7 \wedge x \neq -5

lub inaczej

x \in \mathbb{R} \setminus \{ -7, -5 \}

Przyrównujemy licznik do zera:

x^3 + 4x^2 + 3x = 0

x(x^2+4x +3) = 0

Iloczyn jest zerem, jeżeli którykolwiek z jego czynników jest zerem.

x = 0 \vee x^2 + 4x + 3 = 0

Zajmijmy się równością kwadratową:

x^2+4x + 3 = 0

Liczymy wyróżnik delta, żeby znaleźć pierwiastki trójmianu

\Delta = 4^2 - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4

równanie posiada pierwiastki

x_1 = \cfrac{ - 4 - \sqrt{4} }{2 * 1} = \cfrac{-4 -2}{2} = -3

x_2 = \cfrac{ - 4 + \sqrt{4} }{2 * 1} = \cfrac{-4 +2}{2} = -1

zatem

x = -3 \vee x = -1

uwzględniając x = 0 \vee x^2 + 4x + 3 = 0 poprzednio liczoną alternatywę

x = 0 \vee x = -3 \vee x = -1

Znalezione rozwiązania należą do dziedziny wyrażenia x \in  \mathbb{R} \setminus \{ -7, -5 \}, stąd otrzymujemy rozwiązania:

x= -3 lub  x=-1 lub x=0

Zaznacz co jest prawdą a co fałszem

Rozwiązaniem równania \cfrac{x + 5}{2x^2+6x-8} = 0 jest 5
Rozwiązaniem równania \cfrac{x^3 +5x^2-14x}{x^2+6x+7} = 0 jest -7
Rozwiązaniem równania \cfrac{x^2 + 5}{x^2+6x-7} = 0 jest 1

Zadanie 1

Rozwiąż równanie:

\cfrac{x-9}{5-x}=\cfrac{3}{8}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Rozwiąż równanie:

\cfrac{x^2+3x-18}{x^2+8x+12}=\cfrac{1}{2}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Dwóch pracowników pracując razem wykonuje pewną pracę w ciągu dwóch godzin. Pierwszy pracownik wykonuje pracę wolniej niż drugi. Gdyby miał on wykonać całą pracę samodzielnie, to pracowałby o 3 godziny dłużej niż drugi pracownik. W jakim czasie każdy z pracowników jest w stanie wykonać całą pracę samodzielnie?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Sprowadź do najprostszej postaci wyrażenie:

\cfrac{x^2-x-6}{x^2+7x+10}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Rozwiąż równanie:

\cfrac{x+2}{x-3}=x

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Sprowadź wyrażenie po lewej stronie równania do najprostszej postaci a następnie rozwiąż to równanie.

\cfrac{2x-6}{-3x-2}-\cfrac{3x-5}{x}=1

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

Zasada dźwigni Archimedesa głosi, że jeżeli na dźwigni umieścimy dwa przedmioty tak, że będą one w równowadze, to ciężary tych przedmiotów są odwrotnie proporcjonalne do ich odległości od punktu podparcia dźwigni.

 

 

a) W jakim miejscu należy ustawić punkt podparcia dźwigni o długości 80\ cm, tak aby dwa odważniki o masie 3\ kg oraz 2\ kg umieszczone na końcach dźwigni pozostały w równowadze?

b) Jak długa musiałaby być dźwignia, aby te same odważniki pozostały w równowadze, gdy punkt podparcia znajdowałby się w odległości 60\ cm od lżejszego odważnika?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

Sprowadź wyrażenie po lewej stronie równania do najprostszej postaci, a następnie rozwiąż równanie.

\cfrac{3x+6}{x^2-3x-10}+\cfrac{4}{x-5}=\cfrac{1}{5}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

Sprowadź do najprostszej postaci wyrażenie po lewej stronie równania a następnie rozwiąż je.

\cfrac{x^2-5x-6}{x^2-3x-18}+\cfrac{5}{x+3}=\cfrac{5}{6}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

Sprowadź wyrażenie po lewej stronie równania do najprostszej postaci a następnie rozwiąż równanie.

\cfrac{x^2}{x^2-4}* \cfrac{x+2}{x-1}=1

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

Rozwiąż równanie:

\cfrac{x+2}{10x-2}=\cfrac{1}{x+2}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12

Rozwiąż równanie:

\cfrac{5x+1}{2x}=\cfrac{3x}{5x-1}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13

Rozwiąż równanie:

\cfrac{3x+1}{3x}=\cfrac{2x}{3x-1}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14

Rozwiąż równanie:

\cfrac{\sqrt{x^2-4x+4}}{2x-1}-\cfrac{4x+1}{x+5}=\cfrac{1}{6}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15

Rozwiąż równanie w zależności od parametru a:

\cfrac{x}{x-a}-\cfrac{x+a}{x}=\cfrac{2a}{x^2}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 16

Rozwiązaniem równania \cfrac{x-1}{x+2}=\cfrac{1}{3} jest liczba:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 17

Rozwiązaniem równania \cfrac{x+1}{x+3}=\cfrac{4}{3} jest liczba:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 18

Liczba rozwiązań równania \cfrac{x-5}{(x+1)(x-6)}=0 jest równa:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 19

Liczba rozwiązań równania \cfrac{(x-2)(x+3)}{(1-x)(x+7)}=0 jest równa:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 20

Ile rozwiązań ma równanie \cfrac{x^2+1}{x+1}=-3?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 21

Rozwiązaniem równania \cfrac{x+3}{x+2}=2 jest liczba:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 22

Rozwiązaniem równania \cfrac{x-3}{x+6}=\cfrac{1}{3} jest liczba:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 23

Liczba rozwiazań równania \cfrac{(x-3)(x-5)(x-6)}{x^2-9x+18}=0 wynosi

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 24

Równanie 

\cfrac{x^2 + 2x}{x^2 -4} = 0

Rozwiązanie video

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz