Przekształcanie wykresów funkcji c.d.

W tej nauce zajmiemy się dalszym przekształcaniem wykresu funkcji, na podstawie danego wykresu y=f(x).

 

Mamy daną funkcję za pomocą wykresu:

Rys.1

 

 

Rysowanie wykresu funkcji y=|f(x)| :

Rysując wykres funkcji y=|f(x)|, na podstawie wykresu y=f(x) odbijamy symetrycznie względem osi OX, te wartości funkcji, które znajdują się pod osią OX

Przykład 1

Na podstawie wykresu funkcji y=f(x) z Rys.1, narysuj wykres funkcji y=|f(x)|.

Odbijamy symetrycznie względem osi OX, te wartości funkcji, które znajdują się poniżej tej osi.

 

Rysowanie wykresów funkcji złożonych:

W jaki sposób rysujemy wykresy funkcji złożonych, pokażemy na przykładzie.

Przykład 2

Narysować wykres funkcji y=|f(x-3)|+1, na podstawie wykresu funkcji y=f(x) na Rys.1.

Rysowanie wykresów funkcji złożonych dzielimy na etapy. Zaczynamy od rysowania funkcji "najbardziej wewnętrznych", które kolejno przekształcamy.

W tym zadaniu mamy do narysowania wykres funkcji:

y=|f(x-3)|+1.

Rozkładamy rysowanie wykresu tej funkcji na kolejne etapy.

  • y=f(x-3),

Najpierw przesuwamy wykres funkcji y=f(x) o 3 jednostki w prawo.

(Opis tego typu przekształceń znajduje się w nauce Przekształcanie wykresów funkcji y=f(x).)

 

  • y=|f(x-3)|,

Kolejno przekształcamy wykres funkcji, którą otrzymaliśmy w punkcie pierwszym. Mamy narysować y=|f(x-3)|, czyli odbijamy symetrycznie względem osi OX, te wartości funkcji y=f(x-3), które są poniżej osi OX.

  • y=|f(x-3)|+1.

Ostatnim  etapem jest narysowanie wykresu funkcji  y=|f(x-3)|+1. Przesuwamy o jedną jednostkę w górę, wykres funkcji y=|f(x-3)|, który otrzymaliśmy w poprzednim kroku.

Ostatecznie, wykres szukanej funkcji  y=|f(x-3)|+1 wygląda następująco:

 

UWAGA!

Ważne jest aby prawidłowo wydzielić etapy rysowania wykresów funkcji zaczynając od funkcji najbardziej wewnętrznych.

 

Przykładowo, wykres funkcji y=|f(x-3)|+1 oraz wykres funkcji y=|f(x-3)+1| nie są takie same. Jeżeli chcielibyśmy narysować wykres funkcji y=|f(x-3)+1|, to kolejne etapy byłyby następujące:

  • y=f(x-3),
  • y=f(x-3)+1,
  • y=|f(x-3)+1|.

W rezultacie, otrzymalibyśmy wykres:

 

 

 Rys.2

Na powyższym rysunku kolorem niebieskim został narysowany wykres funkcji y=f(x). W poniższym ćwiczeniu zaznacz w wyniku jakich przekształceń tego wykresu, powstały wykresy funkcji narysowane kolorem czerwonym i zielonym.

Przekształcanie wykresów funkcji trygonometrycznych.

Przypomnienie:

Na początku musimy przypomnieć sobie jak wyglądają wykresy funkcji trygonometrycznych:

  • y=\sin(x)

  • y=\cos(x)

  • y=\tan(x)

  • y=\cot(x)

 

 

Zajmiemy się przekształcaniem wykresów funkcji trygonometrycznych typu:

y=c * f(x),

y=f(c* x),

gdzie f jest funkcją trygonometryczną, a c \in \mathbb{R}.

Rysowanie wykresu funkcji y=c * f(x).

Rysując wykres funkcji y=c* f(x), mnożymy każdą z wartości funkcji f przez c i otrzymujemy nową wartości funkcji. Zauważ, że w tym wypadku nie zmieniają się miejsca zerowe funkcji, ponieważ jeżeli f(x_0)=0 to c * f(x_0)=0.

Rysując taki wykres funkcij, zmieniamy tą funkcję "w pionie", wzdłuż osi OY. Możemy ją wydłużyć, bądź skrócić.

Przykład 3

Narysuj wykres funkcji y=2* \sin(x).

 

Zbiór wartości funkcji zwiększył się dwukrotnie.

Przykład 4

Narysuj wykres funkcji y= \cfrac{1}{2}\cos(x).

Zbiór wartości funkcji zmniejszył się dwukrotnie.

Rysowanie wykresu funkcji y=f(c  * x).

Rysując wykres funkcji y=  f(c* x), zmieniamy tą funkcję "w poziomie", wzdłuż osi OX. Poszerzamy tą funkcję, bądź ją zwężamy. Zmieniamy wówczas miejsca zerowe funkcji. Spójrz na przykłady.

Przykład 5

Narysuj wykres funkcji y=\sin(2* x).

 

 

Wykres funkcji y=\sin(x) zwężył się dwukrotnie.Zbiór wartości funkcji nie zmienił się.

Przykład 6

Narysuj wykres funkcji y= \cos(\cfrac{1}{2} *  x).

 

Funkcja rozszerzyła się dwukrotnie. Zbiór wartości funkcji się nie zmienił.

 

Poniżej inne przykłady:

Przykład 7

Narysuj wykres funkcji y=\tan(2* x).

Tak jak powyżej, zwężamy wykres funkcji dwukrotnie.

Przykład 8

Narysuj wykres funkcji y=|\cot(\cfrac{1}{2}x)|.

Najpierw rysujemy wykres funkcji y= \cot(\cfrac{1}{2}x). Wykres kotangensa, rysujemy dwukrotnie szerzej.

Odbijamy symetrycznie względem osi OX, te wartości funkcji, które znajdują się pod tą osią.

 

Popatrz uważnie na poniższy rysunek:

Na podstawie powyższego rysunku, zaznacz w ćwiczeniu, w wyniku jakich przekształceń powstały wykresy funkcji zaznaczone kolorem czerwonym i zielonym.


Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz