Powtórka z trygonometrii.

Przypomnienie:

Na początku przypomnijmy tabelę wartości funkcji trygonometrycznych.

 

UWAGA!

Równania typu \sin x=a i \cos x =a mają rozwiązanie tylko wtedy, gdy a \in [-1,1].

 

 

Zasada koła rozwiązywania równań trygonometrycznych.

Poniżej opiszę jeden z łatwych sposobów rozwiązywania równań trygonometrycznych typu:

  • \sin x=\pm a
  • \cos x=\pm a
  • \tan x=\pm a
  • \cot x=\pm a

x \in \mathbb{R}.

 

Należy tutaj na wstępie przypomnieć tabelę znaków funkcji trygonometrycznych:

Schemat jaki będzie nam potrzebny do rozwiązywania równań zasadą koła jest na poniższym rysunku:

Są to dwie przecięte osie, które dzielą koło na cztery części. Koło obrazuje kąt pełny ( 2\pi=360^{\circ}).  Każda ćwiartka koła to kąt \cfrac{\pi}{2}=90^{\circ}. Kąty zaznaczamy w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara:

 

Na poniższym rysunku zostały zaznaczone czerwonym kolorem ćwiartki układu. Przy osiach zaznaczone są także kąty jakie im odpowiadają.

Jako pierwszą zajmiemy się funkcją sinus. Na przykładzie pokażę jak stosujemy zasadę koła przy rozwiązywaniu równań trygonometrycznych typu \sin x=\pm a, gdzie x \in \mathbb{R}.

Sinus

Rozwiążemy równanie:

\sin x =-\cfrac{1}{2}.

  • Krok 1:

Zaznaczamy na schemacie kołowym, w których ćwiartkach funkcja sinus przyjmuje wartości dodatnie, a w których wartości ujemne:

  • Krok 2:

Szukamy rozwiązania równania \sin x =\cfrac{1}{2}  ( czyli dla prawej strony równania dodatniej a nie ujemnej ), dla kąta ostrego x . Tą wartość odczytujemy z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych:

  \sin x =\cfrac{1}{2}

x=\cfrac{\pi}{6}

Zaznaczamy na naszym schemacie kołowym ten kąt i rysujemy prostą przechodzącą przez zaznaczony punkt oraz przecięcie osi:

Zaznaczamy drugi punkt, w którym narysowana prosta przecięła okrąg:


  • Krok 3:

Interesują nas rozwiązania równania \sin x=-\cfrac{1}{2}, a więc wartości funkcji sinus mają być ujemne. Zaznaczamy na schemacie punkt,  który znajduje się w ćwiartce, gdzie sinus jest ujemny i odczytujemy jakiemu kątowi on odpowiada:

Wartość kąta, jakiemu odpowiada zaznaczony punkt to:

x_0=\pi+\cfrac{\pi}{6}=\cfrac{7\pi}{6}.

  • Krok 5:

Zapisujemy pełne rozwiązanie, według wzoru:

x_1=x_0+2k\pi,\ k \in \mathbb{C}

lub

x_2=\pi-x_0+2k\pi,\ k \in \mathbb{C}

Rozwiązaniem jest zatem:

x=\cfrac{7\pi}{6}+2k\pi,\ k \in \mathbb{C}

lub

x=-\cfrac{\pi}{6}+2k\pi,\ k \in \mathbb{C}

Spójrz jeszcze na wykres funkcji sinus. Czerwone punkty to wyznaczone przez nas rozwiązania:


Aby wyznaczyć wszystkie rozwiązania równania \sin x=\pm a, należy najpierw wyznaczyć dwa rozwiązania w przedziale [-\cfrac{\pi}{2},\cfrac{3\pi}{2}). (lub w innym przedziale o długości 2\pi ).

Innym sposobem na wyznaczenie drugiego rozwiązania, jest narysowanie na schemacie kołowym drugiej (symetrycznej względem osi pionowej (lub poziomej) ) prostej. Ta prosta wyznaczy dwa punkty przecięcia z okręgiem. Wybieramy punkt przecięcia w ćwiartce gdzie sinus jest ujemny ( w tym wypadku w czwartej ) i odczytujemy wartość kąta.

 

Zapisując rozwiązanie również do obu wyznaczonych wartości dodajemy 2k\pi.

 

UWAGA!

\cos x=a

 

Podobnie rozwiązujemy równania z funkcją cosinus, z tym wyjątkiem, że po wyznaczeniu wartości x_0, wszystkie rozwiązania równania, wypisujemy według schematu:

\begin{matrix}x=x_0+2k\pi &\text{lub}& x=-x_0+2k\pi \end{matrix},

gdzie k \in \mathbb{C}.

Przykłady użycia.

Przykład 1

Rozwiąż równanie

 2\sin x+\cos^2x=1

gdzie x \in \mathbb{R}.

 2\sin x+\cos^2x=1

Zamieniamy kosinus na sinus, korzystając z jedynki trygonometrycznej:

 2\sin x+1- \sin^2x=1

Przenosimy wszystko na jedną stronę.

  \sin^2x-2\sin x=0

  \sin x (\sin x-2)=0

Przyrównujemy każdy z czynników iloczynu do zera:

\begin{matrix} \sin x =0 &\qquad \text{lub}\qquad \sin x -2=0 \\ x =k\pi,\ k=1,2,...& \qquad \qquad r. sprzeczne \end{matrix}

 

 

Przykład 2

Rozwiąż równanie

 

6\cos^2 x -5 \sin x -2 =0

dla  x \in [0,2\pi].

Najpierw korzystając z jedynki trygonometrycznej zamieniamy kosinus na sinus.

6(1-\sin^2 x) -5 \sin x -2 =0

6-6\sin^2 x -5 \sin x -2 =0

-6\sin^2 x -5 \sin x +4 =0

6\sin^2 x +5 \sin x -4 =0

Robimy podstawienie:

t=\sin x

Musimy pamiętać, że t \in [-1,1].

Sprowadzamy równanie do równania kwadratowego:

6 t^2 +5 t -4 =0

Rozwiązujemy równanie:

\Delta=5^2-4* 6 * (-4)=121

t_1=\cfrac{\sqrt{121}-5}{12}=\cfrac{11-5}{12}=\cfrac{1}{2}

t_2=\cfrac{-\sqrt{121}-5}{12}=\cfrac{-11-5}{12}=-\cfrac{4}{3} \notin [-1,1]

Rozważamy tylko t_1=\cfrac{1}{2}.

\sin x=\cfrac{1}{2}

x=\cfrac{\pi}{6}\quad \text{lub} \quad x=\pi-\cfrac{\pi}{6}=\cfrac{5}{6}\pi

Rozwiązywanie równań z funkcją tangens lub cotangens.

W jaki sposób stosować zasadę koła przy rozwiązywaniu równań typu

\tan x=a

pokażemy na przykładzie:

 

Przykład 3

Rozwiąż równanie:

 

\tan x= -\cfrac{\sqrt{3}}{3}

  • Krok 1:

Zaznaczamy na schemacie kołowym, w których ćwiartkach funkcja tangens przyjmuje wartości dodatnie, a w których wartości ujemne:


 

  • Krok 2:

Szukamy rozwiązania równania \tan x =\cfrac{\sqrt{3}}{3}  ( czyli dla prawej strony równania dodatniej a nie ujemnej ), dla kąta ostrego x . Tą wartość odczytujemy z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych:

  \tan x =\cfrac{\sqrt{3}}{3}

x=\cfrac{\pi}{6}

Zaznaczamy na naszym schemacie kołowym ten kąt i rysujemy prostą przechodzącą przez zaznaczony punkt oraz przecięcie osi:

Narysowana prosta przechodzi przez ćwiartki, gdzie wartości funkcji tangens są dodatnie. Nas interesują wartości ujemne, dlatego rysujemy drugą prostą, która jest odbiciem symetrycznym narysowanej prostej względem osi:

  • Krok 3:

Musimy odczytać wartość kąta, który został zaznaczony czerwoną kropką i jest w ćwiartce, gdzie tangens jest ujemny. Czyli:

Wartość zaznaczonego kąta, to:

x_0=\pi-\cfrac{\pi}{6}=\cfrac{5\pi}{6}.

 Zapisujemy wszystkie rozwiązania równania według schematu:

x=x_0+k\pi,

gdzie k \in \mathbb{C}.

Zatem w naszym przypadku jest to:

x=\cfrac{5\pi}{6}+k\pi,

gdzie k \in \mathbb{C}.

UWAGA!

 W podobny sposób rozwiązujemy równania z funkcją cotangens.

 


Zadanie 1

Rozwiąż równanie:

\cfrac{\sin^2x}{\cos^2x}+\cfrac{1}{\cos^2x}=3.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Rozwiąż równanie:

-2\cos^2x+11| \sin x|-4=0.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Rozwiąż równanie:

\sin(x)\cos(2x)+\cos(x)\sin(2x)=1

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz