Co to jest równanie wielomianowe?

Definicja: Równanie wielomianowe. (Równanie algebraiczne n-tego stopnia)

Równaniem wielomianowym nazywamy równanie postaci:

W(x)=0

gdzie W(x) jest wielomianem stopnia n > 0.

Szczególne przypadki równania wielomianowego to równanie liniowe i równanie kwadratowe.

 

Przykład 1

Równanie x^4+2x^3+3x^2+2x+1=0 jest równaniem wielomianowym stopnia 4.

Równanie x^3+4x^3+2x=-2 jest równaniem wielomianowym stopnia 3 ponieważ jest równoważne równaniu 5x^3 + 2 x+ 2 = 0.


Zaznacz, które z równań są równaniami wielomianowymi:

Pierwiastek wielomianu.

Definicja: Pierwiastek wielomianu.

Liczbę  a nazywamy pierwiastkiem wielomianu W(x), jeżeli W(a)=0.

Prościej mówiąc, pierwiastkiem wielomianu jest liczba, która po podstawieniu za zmienną x do wielomianu, da wynik 0. 

Wniosek.

Pierwiastek wielomianu jest zarazem pierwiastkiem równania algebraicznego.

Zobaczmy na przykładzie jak sprawdzić czy dana liczba jest pierwiastkiem wielomianu. 

Przykład 2

Czy liczba  2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x)=x^3 + x^2 -5x^2 +x +6?

Podstawiamy x = 2

W(2)=2^3 + 2^2 -5 * 2^2 +2 +6= 8 +4 - 5 * 4 + 2 + 6 = 20 - 20 = 0

zatem liczba  2 jest pierwiastkiem wielomianu.

Przykład 3

Czy liczba  -1 jest pierwiastkiem wielomianu W(x)=x^4 -x^3+6?

Podstawiamy x = -1

W(-1)=(-1)^4 - (-1)^3 + 6 = 1 - (-1) + 6 = 1 + 1 + 6 = 8 \neq 0

zatem liczba -1 nie jest pierwiastkiem rozważanego wielomianu.

Zaznacz co jest prawdą a co fałszem

Pierwiastkiem wielomianu W(x)=\cfrac{3}{2} x^2 - 6x + 1 jest  x=2
Pierwiastkiem wielomianu W(x)=x(x^2 - 1)+ 2x^2-2 jest  x=-1
Pierwiastkiem wielomianu W(x)=\cfrac{1}{2}x -1 jest  x=2

Postać iloczynowa wielomianu.


Twierdzenie:
 Postać iloczynowa wielomianu.

Jeżeli liczby x_1, x_2, ... x_n są pierwiastkami wielomianu W(x) = a_n x^n+...+a_1 x+a_0 stopnia n, to

W(x) = a_n(x-x_n) * ... * (x-x_2) * (x-x_1)

Innymi słowy znając wszystkie n pierwiastków wielomianu stopnia n możemy go zapisać w postaci iloczynowej.

Przykład 4

Q(x) = x^3 + 6x^2+11x + 6

Wielomian jest 3-ego stopnia i ma pierwiastki -1, -2, -3, ponieważ Q(-1) = 0, Q(-2) = 0, Q(-3) = 0. Zgodnie z twierdzeniem mamy

Q(x) = (x+1)(x+2)(x+3)

O rozkładzie wielomianu

Twierdzenie: O rozkładzie wielomianu

Każdy wielomian niezerowy jest iloczynem czynników stopnia co najwyżej drugiego.

 

Przykład 5

Rozłóż wielomian W(x)=4x^3+4x+x^2+1 na czynniki.

W(x)=4x^3+4x+x^2+1=4x(x^2+1)+(x^2+1)=(x^2+1)(4x+1)

Wielomian W zapisaliśmy w postaci iloczynu dwóch nierozkładalnych czynników: (x^2+1) i (4x+1)

Ilość pierwiastków wielomianu

Twierdzenie: O ilość pierwiastków wielomianu

Każdy wielomian stopnia n ma co najwyżej n pierwiastków.

 

Twierdzenie Bezout.

Twierdzenie: Bezout.

Liczba r jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian jest podzielny przez dwumian x-r

W(r) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy W(x) = (x-r) * Q(x), gdzie Q(x) jest wielomianem.

Przykład 6

W(x) = x^4 -3x^2 + x -2

Wielomian W(x) ma pierwiastek -2, ponieważ W(-2) = 0, zgodnie z twierdzeniem mamy

W(x) = (x+2)* Q(x)

W(x)=(x+2)(x^3-2x^2+x-1)

Potencjalne pierwiastki wielomianu.

Twierdzenie: Potencjalne pierwiastki wielomianu.

Jeżeli wielomian W(x) = a_n x^n + ... + a_1 x + a_0 o współczynnikach całkowitych

  • ma pierwiastek całkowity, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego a_0
  • ma pierwiastek wymierny w postaci ułamka nieskracalnego \cfrac{p}{q}, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego a_0, a q jest dzielnikiem współczynnika a_n przy najwyższej potędze zmiennej.
Przykład 7

W(x) = x^4 + 2x^3 - 7x^2 - 8x + 12

Wielomian W(x) może mieć pierwiastki całkowite (dzielniki wyrazu wolnego 12):

1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12, -12

Sprawdzamy, czy zaproponowane liczby to pierwiastki

W(1) = 1^4 + 2 * 1^3 - 7 * 1^2 - 8 * 1+12=

= 1 + 2 - 7 - 8 +12 = 0

 1 jest pierwiastkiem

W(-1) = (-1)^4 + 2 * (-1)^3 - 7 * (-1)^2 - 8 * (-1) +12=

= 1 - 2 -7 + 8 +12 = 12 \neq 0

 -1 nie jest pierwiastkiem

W(2) = 2^4 + 2 * 2^3 - 7 * 2^2 - 8 * 2 +12=

 = 16 + 16 - 28 - 16 +12= 0

 2 jest pierwiastkiem

W(-2) = (-2)^4 + 2 * (-2)^3 - 7 * (-2)^2 - 8 * (-2)+12=

= 16 - 16 - 28 + 16 +12 = 0

 -2 jest pierwiastkiem

W(-3) = (-3)^4 + 2 * (-3)^3 - 7 * (-3)^2 - 8 * (-3)+12=

 = 81 - 54 - 63 + 24 +12= 0

 -3 jest pierwiastkiem

Ponieważ znaleźliśmy już  4 pierwiastki rozważanego wielomianu stopnia  4 oznacza to, że znaleźliśmy wszystkie pierwiastki wielomianu.
Gdybyśmy, nie znaleźli wszystkich 4 pierwiastków wielomianu, należałoby sprawdzić pierwiastki wymierne. Jednak w tym przypadku potencjalne pierwiastki całkowite są te same co wymierne z uwagi na współczynnik  1 przy najwyższej potędze zmiennej wielomianu.


Zadanie 1

Dla jakich wartości parametru m, reszta z dzielenia wielomianu

W(x)=(m+15)x^{30}+(m-15)x^{29}+(m+14)x^{28}+(m-14)x^{27}+...

+(m+1)x^{2}+(m-1)x+m^2-m

przez dwumian x+1 jest równa 246.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez trójmian x^2-x-6 wynosi 2x-1. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x-3.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Wielomian W(x)=x^4+x^3+ax^2+bx+c jest podzielny przez x^2-4x+3. Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x+3 wynosi -48. Oblicz współczynniki a,\ b,\ c.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Znajdź rzeczywiste pierwiastki wielomianu W(x) = x^6 - x^4 + x^2 -1

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Iloczyn pierwiastków wielomianu W(x) = x^3 + 5x^2 - 4x - 20 wynosi: 

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Rozwiąż równanie:

2x^3-18x+x^2-9=0

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

Rozwiąż równanie:6x^3+x^2+12x+2=0.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

Rozwiąż równanie:

x^3+3x^2+3x+1=0

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

Rozwiąż równanie:

x^4-4x^2+x^2-4=0

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

Rozwiąż równanie:

x^3+2x^2+2x+4=0

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

Rozwiąż równanie:

x^3+3x^2-4x-12=0

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12

Znajdź pierwiastki wielomianu

W(x)=3x^3-9x^2-6x+18

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13

Rozwiąż równanie x^4 - 10x^2 +9 = 0

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14

Rozwiąż równanie  x^4 + 4x^2 -5x^2 - 20 = 0

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15

Rozwiąż równanie  x^3 - 5x^2 - 7x + 35 = 0 i podaj liczbę rozwiązan tego równania które są większe od zera.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 16

Rozwiąż równanie:

|8x^3-1|=4x^2+2x+1.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 17

Ile rozwiązań rzeczywistych ma równanie 2x^4-7=0  ?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 18

Ile rozwiązań rzeczywistych ma równanie 5x^4-14=0 ?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 19

Ile rozwiązań rzeczywistych ma równanie x^4+4x^2+4=0?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 20

Która z poniższych liczb jest rozwiązaniem równania x^3+3x^2-4x-12=0?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 21

Rozwiąż równanie x^3+7x^2-4x-28=0.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz