Jedynka trygonometryczna.

Wzór: Jedynka trygonometryczna

Dla każdego kąta \alpha prawdziwy jest wzór:

\sin^2\alpha +\cos^2\alpha=1

Dzięki temu związkowi możemy w łatwy sposób wyliczyć wartość funkcji \sin\alpha, gdy mamy daną wartość \cos\alpha lub odwrotnie.

 

Przykład 1

Dane jest \sin\alpha = \cfrac{1}{2}, znajdź wartość funkcji \cos\alpha wiedząc, że \alpha jest kątem ostrym.

Korzystając z wzoru na jedynkę trygonometryczną mamy

(\cfrac{1}{2})^2+\cos^2\alpha =  1

\cfrac{1}{4}+\cos^2\alpha = 1

\cos^2\alpha = 1 - \cfrac{1}{4}

\cos^2\alpha = \cfrac{3}{4}

zatem

\cos\alpha=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\qquad\text{lub}\qquad \cos\alpha=-\cfrac{\sqrt{3}}{2}

ponieważ \alpha jest kątem ostrym a wartości  cosinusa dla kąta ostrego są dodatnie, otrzymujemy

\cos\alpha =  \cfrac{\sqrt{3}}{2}

Przykład 2

Oblicz wartość wyrażenia \cfrac{1}{\sin^2 \alpha + \cos^2  \alpha}

Liczymy wartość podstawiając za mianownik zależność na jedynkę trygonometryczną

\cfrac{1}{\sin^2 \alpha + \cos^2  \alpha} = \cfrac{1}{1} = 1

Związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta.

Między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta \alpha zachodzą związki:

\tan \alpha * \cot \alpha=1

\tan\alpha=\cfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

\cot\alpha=\cfrac{1}{\tan\alpha}=\cfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}

dla \sin\alpha \neq 0 i  \cos\alpha \neq 0

 

Przykład 3

Oblicz \tan\alpha i \cot\alpha wiedząc, że \sin\alpha = \cfrac{1}{2} oraz \alpha jest kątem ostrym.

 Korzystamy z jedynki trygonometrycznej, aby obliczyć \cos\alpha

(\cfrac{1}{2})^2+\cos^2\alpha =  1

\cfrac{1}{4}+\cos^2\alpha = 1

\cos^2\alpha = 1 - \cfrac{1}{4}

\cos^2\alpha = \cfrac{3}{4}

\cos\alpha = \cfrac{\sqrt{3}}{2} \qquad \text{lub} \qquad \cos\alpha = -\cfrac{\sqrt{3}}{2}

ponieważ \alpha jest kątem ostrym

\cos\alpha =  \cfrac{\sqrt{3}}{2}

korzystając ze związku między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta liczymy

\tan\alpha=\cfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\cfrac{\cfrac{1}{2}}{\cfrac{\sqrt{3}}{2}}=\cfrac{1}{\sqrt{3}}=\cfrac{\sqrt{3}}{3}

\cot\alpha=\cfrac{1}{\tan\alpha}=\cfrac{1}{\cfrac{\sqrt{3}}{3}}=\cfrac{3}{\sqrt{3}}=\cfrac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}

 

 

Przykład 4

Oblicz \cot\alpha mając dane \tan\alpha =  1.

 

Korzystając ze związku między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta liczymy

\cot\alpha = \cfrac{1}{\tan\alpha} =  \cfrac{1}{1} = 1

Dany jest kąt ostry \alpha. Jeżeli \tan\alpha=\frac{3}{2} to:


Zadanie 1

Wykaż, że prawdziwa jest tożsamość

 \sin(x-y)* \sin(x+y)=(\sin x -\sin y)* (\sin x +\sin y)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Udowodnij, że prawdziwa jest równość \cfrac{1}{\sin^2\alpha}-\cot^2\alpha=1 dla wszystkich  \alpha\in (0,90^{\circ}].

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Dla jakiego \alpha\in [0,90^{\circ}] spełniona jest równość: \cot\alpha=3\tan\alpha?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Sprawdź czy prawdziwa jest równość  (\sin\alpha+\cos\alpha)^2=1+\sin2\alpha.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Przyprostokątna LM trójkąta prostokątnego KLM ma długość 3, a przeciwprostokątna KL ma długość 8.  


Wtedy miara \alpha kąta ostrego LKM tego trójkąta spełnia warunek:

Rozwiązanie video

Zadanie 6

Wiedząc, że \alpha  jest kątem ostrym oraz że \tan\alpha=3 oblicz wartość wyrażenia \cfrac{3\sin\alpha+5\cos\alpha}{6\sin\alpha+\cos\alpha}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

Wiedząc, że \alpha  jest kątem ostrym oraz że \cos\alpha=\cfrac{3}{5} oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

Udowodnij, że prawdziwa jest równość \tan^2\alpha+1=\cfrac{1}{\cos^2\alpha} dla wszystkich \alpha\in[0,90^{\circ}).

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

 Dany jest kąt ostry \alpha. Jeżeli \sin\alpha=\cfrac{4}{5}  to:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

Jeżeli \cos x =\frac{\sqrt{3}}{2}, to \sin x * \tan x wynosi:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

Wykaż, że prawdziwa jest równość \tan^2\alpha-\cfrac{1}{\tan^2\alpha}=\cfrac{1}{\cos^2\alpha}-\cfrac{1}{\sin^2\alpha}.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

1 komentarz

  1. Default avatar
    bald 29.01.2013 15:08

    Bardzo fajna i pomocna strona, w łatwy sposób wytłumaczone najwazniesze rzeczy, wielkie dzięki :)

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz