Związki dotyczące funkcji sinus.

W tej nauce przedstawimy kilka nowych związków między funkcjami trygonometrycznymi.

Wzór: Sinus sumy kątów

\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha \cos\beta+\cos\alpha \sin\beta

Przykład 1

Oblicz \sin105^{\circ}.

Korzystając z wzoru na sinus sumy kątów, to zadanie możemy bardzo łatwo rozwiązać.

\sin105^{\circ}=\sin(60^{\circ}+45^{\circ})=\sin60^{\circ}  \cos45^{\circ}+\cos60^{\circ} \sin45^{\circ}=

=\cfrac{\sqrt{3}}{2}* \cfrac{\sqrt{2}}{2}+\cfrac{1}{2} * \cfrac{\sqrt{2}}{2}=\cfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

 

Wzór: Sinus różnicy kątów

\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha  \cos\beta-\cos\alpha \sin\beta

Przykład 2

Oblicz \sin15^{\circ}.

Korzystając z wzoru na sinus sumy kątów, to zadanie możemy bardzo łatwo rozwiązać.

\sin15^{\circ}=\sin(60^{\circ}-45^{\circ})=\sin60^{\circ}   \cos45^{\circ}-\cos60^{\circ} \sin45^{\circ}=

=\cfrac{\sqrt{3}}{2}* \cfrac{\sqrt{2}}{2}-\cfrac{1}{2} *  \cfrac{\sqrt{2}}{2}=\cfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}

Związki dla cosinusa i tangensa.

Wzór: Cosinus sumy kątów

\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha \cos\beta -\sin\alpha \sin\beta

 

Wzór: Cosinus różnicy kątów

\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha  \sin\beta

Przykład 3

Oblicz \cos15^{\circ}.

\cos15^{\circ}=\cos(45^{\circ}-30^{\circ})=\cos45^{\circ} \cos30^{\circ} + \sin45^{\circ}  \sin30^{\circ}=

=\cfrac{\sqrt{2}}{2} * \cfrac{\sqrt{3}}{2}+\cfrac{\sqrt{2}}{2} * \cfrac{1}{2}=\cfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

 

Wzór: Tangens sumy kątów

\tan(\alpha +\beta)=\cfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha* \tan\beta}

gdzie \cos\alpha* \cos\beta \neq 0, 1-\tan\alpha*\tan\beta \neq 0.

 

Wzór: Tangens różnicy kątów

\tan(\alpha -\beta)=\cfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha* \tan\beta}

gdzie \cos\alpha* \cos\beta \neq 0, 1+\tan\alpha*\tan\beta \neq 0.

Wzory redukcyjne.

Aby łatwo wyznaczać wartości funkcji trygonometrycznych dla dowolnego kąta, przez sprowadzanie do przypadku kąta ostrego, możemy korzystać nie tylko z powyższych wzorów, ale także ze wzorów redukcyjnych. Są one niejednokrotnie dużo bardziej pomocne przy rozwiązywaniu tego typu zadań.

Zanim jednak przejdziemy do omówienia wzorów redukcyjnych, musisz zapoznać się z poniższą tabelą znaków funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach.

Przypomnienie:

Tabela znaków funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach:

  

 

ZAPAMIĘTAJ!

W pierwszej wszystkie są dodatnie,

w drugiej tylko sinus,

w trzeciej tangens i cotangens,

a w czwartej cosinus.

Sprowadzanie obliczania wartości funkcji trygonometrycznych  dowolnego kąta do przypadku kąta ostrego za pomocą wzorów redukcyjnych, możemy podzielić na dwa etapy.

  • Pierwszy etap to ustalenie znaku ( + lub -).

Do ustalania znaku posłuży nam powyższa tabela. Mam nadzieję, że z zapamiętaniem znaków funkcji trygonometrycznych nie masz już problemów. W jaki sposób ustalamy znak pokażemy na przykładzie:

Przykład 4

Niech \alpha \in (0,\cfrac{\pi}{2}). Ustal znak wyrażeń:

\quad \sin(\cfrac{\pi}{2}-\alpha)

Ponieważ \alpha jest kątem ostrym, to \cfrac{\pi}{2}-\alpha leży w pierwszej ćwiartce. Sinus w pierwszej ćwiartce jest dodatni, zatem znak tego wyrażenia to: \Large{+}.

\quad \cos(\cfrac{\pi}{2}+\alpha)

Ponieważ \alpha jest kątem ostrym, to \cfrac{\pi}{2}+\alpha leży w drugiej ćwiartce. Kosinus w drugiej ćwiartce jest ujemny, zatem znak tego wyrażenia to: \Large{-}.

\quad \tan(\cfrac{3}{2}\pi-\alpha)

Ponieważ \alpha jest kątem ostrym, to \cfrac{3}{2}\pi-\alpha leży w trzeciej ćwiartce. Tangens w trzeciej ćwiartce jest dodatni, zatem znak tego wyrażenia to: \Large{+}.

\quad \cot(\cfrac{3}{2}\pi+\alpha)

Ponieważ \alpha jest kątem ostrym, to \cfrac{3}{2}\pi+\alpha leży w czwartej ćwiartce. Kotangens w czwartej ćwiartce jest ujemny, zatem znak tego wyrażenia to: \Large{-}.

 

  • Drugi etap to zdecydowanie czy funkcja zmienia się na przeciwną czy też nie. Tzn. czy sinus zmienia się na cosinus (bądź odwrotnie) oraz czy tangens zmienia się na kotangens ( lub odwrotnie).

Zasada jest następująca:

Jeżeli obliczamy wartość funkcji trygonometrycznej dla kątów \cfrac{\pi}{2} \pm \alpha lub \cfrac{3}{2}\pi \pm  \alpha, to zmieniamy funkcję na przeciwną (kofunkcję).

Jeżeli obliczamy wartość funkcji trygonometrycznej dla kątów \pi \pm \alpha lub 2\pi -  \alpha, to nie zmieniamy funkcji.

 

Jeżeli już ustalimy znak oraz funkcję to możemy zredukować kąt jaki mamy obliczyć. Tzn.

Przykład 5

\alpha jest kątem ostrnym.

\quad \sin (\cfrac{\pi}{2}+\alpha)=...

Kąt \cfrac{\pi}{2}+\alpha leży w drugiej ćwiartce. Sinus w drugiej ćwiartce jest dodatni, zatem znak wyrażenia jest dodatni.

Obliczamy wartość dla \cfrac{\pi}{2}+\alpha, dlatego zgodnie z wyżej opisaną zasadą,  zmieniamy funkcję sinus na kofunkcję czyli kosinus..

Po zredukowaniu obliczamy wartość tylko dla kąta \alpha. Otrzymujemy, że \sin (\cfrac{\pi}{2}+\alpha)= \cos (\alpha).

 

\quad \cos (\cfrac{\pi}{2}-\alpha)=...

Kąt \cfrac{\pi}{2}-\alpha leży w pierwszej ćwiartce. Kosinus w pierwszej ćwiartce jest dodatni, zatem znak wyrażenia jest dodatni.

Obliczamy wartość dla \cfrac{\pi}{2}-\alpha, dlatego zgodnie z wyżej opisaną zasadą,  zmieniamy funkcję kosinus na kofunkcję czyli sinus.

Po zredukowaniu obliczamy wartość tylko dla kąta \alpha. Otrzymujemy, że \cos (\cfrac{\pi}{2}-\alpha)= \sin (\alpha).

 

\quad \tan (\pi-\alpha)=...

Kąt \pi-\alpha leży w drugiej ćwiartce. Tangens w drugiej ćwiartce jest ujemny, zatem znak wyrażenia jest ujemny.

Obliczamy wartość dla \pi-\alpha, dlatego zgodnie z wyżej opisaną zasadą, nie zmieniamy funkcji.

Po zredukowaniu obliczamy wartość tylko dla kąta \alpha. Otrzymujemy, że \tan (\pi-\alpha)= -\tan (\alpha).

 

\quad \cot (\pi+\alpha)=...

Kąt \pi+\alpha leży w trzeciej ćwiartce. Kotangens w trzeciej ćwiartce jest dodatni, zatem znak wyrażenia też jest dodatni.

Obliczamy wartość dla \pi+\alpha, dlatego zgodnie z wyżej opisaną zasadą, nie zmieniamy funkcji.

Po zredukowaniu obliczamy wartość tylko dla kąta \alpha. Otrzymujemy, że \cot (\pi+\alpha)= \cot (\alpha).

Tożsamości trygonometryczne.

Tożsamość trygonometryczna, to pewna zależność między funkcjami trygonometrycznymi. Już wcześniej omówiliśmy kilka z nich, jak np.

  • \sin^2x+\cos^2x=1 (Jedynka trygonometryczna)
  •  \tan x * \cot x=1
  • \tan x=\cfrac{\sin x}{\cos x}, gdy \cos x \neq 0.

Teraz zajmiemy się udowadnianiem innych tożsamości trygonometrycznych. Przedstawimy kilka przykładów.

Przykład 6

Udowodnij tożsamości:

a) \quad \cfrac{2 \tan x}{1- \tan^2 x}=\cfrac{2\sin x \cos x}{1-2 \sin^2 x}

b) \quad \cfrac{1-\tan^2 x}{1+ \tan^2 x}= 1-2 \sin^2 x

c) \quad \sin(x+y)\sin(x-y)=\sin^2x-\sin^2y

Rozwiązując tego typu zadania, przekształcamy wyrażenie po jednej stronie równania i dochodzimy do drugiej strony równania.

a) \quad \cfrac{2 \tan x}{1- \tan^2 x}=\cfrac{2 \cfrac{\sin x}{\cos x}}{1- \cfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}=\cfrac{2 \cfrac{\sin x}{\cos x}}{ \cfrac{\cos^2x-\sin^2 x}{\cos^2 x}}=\cfrac{2 \cfrac{\sin x}{\cos x}* \cos^2 x}{ \cos^2x-\sin^2 x}=\cfrac{2 \sin x \cos x}{ 1-\sin^2x-\sin^2 x}=

=\cfrac{2\sin x \cos x}{1-2 \sin^2 x}

 

b) \quad \cfrac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}=\cfrac{1-\cfrac{\sin^2  x}{\cos^2 x}}{1+\cfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}=\cfrac{\cfrac{\cos^2x-\sin^2  x}{\cos^2 x}}{\cfrac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2  x}}=\cfrac{\cos^2x-\sin^2 x}{\cos^2 x+\sin^2  x}=\cos^2x-\sin^2 x=

=1-\sin^2 x-\sin^2 x=1-2 \sin^2 x

 

c)

\quad \sin(x+y)\sin(x-y)=

=(\sin x \cos y + \sin y \cos x ) (\sin x \cos y - \sin y \cos x )=

=(\sin^2 x \cos^2 y - \sin^2 y \cos^2 x - \sin x \cos y \sin y \cos x+

+\sin y \cos x \sin x \cos y)=\sin^2 x \cos^2 y - \sin^2 y \cos^2 x=

=\sin^2 x (1-\sin^2 y) - \sin^2 y(1- \sin^2 x)=

=\sin^2 x - \sin^2 x \sin^2 y - \sin^2 y+\sin^2 x \sin^2 y=

= \sin^2x- \sin^2y


Zadanie 1

Wiedząc, że \alpha  jest kątem ostrym oraz że \sin\alpha=\cfrac{4}{5} oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

1 komentarz

  1. Default avatar
    thepauline 16.04.2013 20:15

    masakra:)

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz