Funkcja liniowa - wzór i własności

0

Spis treści

  1. Co to jest funkcja liniowa?
  2. Interpretacja współczynników funkcji liniowej.
  3. Monotoniczność funkcji liniowej.
  4. Miejsce zerowe funkcji liniowej.

Co to jest funkcja liniowa?

Definicja: Funkcja liniowa

Funkcję [tex]f[/tex] daną wzorem:

[tex]f(x)=ax+b[/tex]

gdzie [tex]a,\ b,\ x \in \mathbb{R}[/tex]

nazywamy funkcją liniową.

[tex]a [/tex] - współczynnik kierunkowy prostej

[tex]b [/tex] - wyraz wolny ( punkt $(0,b)$ jest punktem przecięcia z osią [tex]OY[/tex])

 

Wniosek 

Dziedziną funkcji liniowej jest zbiór liczb rzeczywistych.

Zbiorem wartości funkcji liniowej jest zbiór liczb rzeczywistych.

 

Funkcja jest liniowa, gdy jej wzór zawiera argument (w tym przypadku [tex]x[/tex]) wyłącznie w pierwszej potędze.

Do góry
  • Zaznacz co jest prawdą a co fałszem
    Approved-icon Alert-icon
  • Funkcja $f(x) = 2x$ jest funkcją liniową, a jej wyraz wolny to $b=0$.
  • Funkcja $f(x) = -x - 3 $ jest funkcją liniową o współczynniku kierunkowym $a = 1$.
  • Funkcja $f(x) = 2x^2 + 1$ jest funkcją liniową.
  • Funkcja $f(x) = 5 - 4x$ jest funkcją liniową, a jej wyraz wolny to $b = -5$.

Interpretacja współczynników funkcji liniowej.

Do góry

Wykresem funkcji liniowej [tex]f(x) = ax + b[/tex] jest prosta nachylona do osi [tex]OX[/tex] pod kątem [tex]\alpha[/tex], gdzie:

[tex]a= \tan \alpha[/tex]

 

Prosta ta przecina oś [tex]OY[/tex] w punkcie [tex](0,b)[/tex].

Do góry
Dopasuj do wzorów prostych, ich kąty nachylenia do osi $OX$.
$y = \sqrt{3}x + 2$
$y = x$
$y = -\sqrt{3}x + 2$
$60^{\circ}$
$45^{\circ}$
$135^{\circ} $
  • Zaznacz co jest prawdą a co fałszem
    Approved-icon Alert-icon
  • Prosta $y=\cfrac{\sqrt{3}}{3}x + 2$ jest nachylona pod kątem $30^{\circ}$ do osi $OX$.
  • Jeżeli prosta przechodzi przez punkt $(0, 0)$ to $y=ax$
  • Prosta przecina oś $OY$ w punkcie $ (0,3)$, zatem jej wzór to $y=ax + 3$

Monotoniczność funkcji liniowej.

Do góry

Funkcja liniowa [tex]f(x) = ax + b[/tex] jest rosnąca, gdy [tex]a > 0[/tex]

Przykład 1

Przykładowy wykres liniowej funkcji rosnącej wygląda następująco:

 


 

Funkcja liniowa [tex]f(x) = ax + b[/tex] jest stała, gdy [tex]a = 0[/tex]

Przykład 2

Przykładowy wykres liniowej funkcji stałej wygląda następująco:

 


 

Funkcja liniowa [tex]f(x) = ax + b[/tex] jest malejąca, gdy [tex]a < 0[/tex]

Przykład 3

Przykładowy wykres liniowej funkcji malejącej wygląda następująco:

 


Monotoniczność funkcji określa czy wraz ze wzrostem argumentów [tex]x[/tex] wartości funkcji:

  • rosną (funkcja jest rosnąca)   
  • maleją (funkcja jest malejąca) 
  • nie zmieniają się (funkcja jest stała)
Do góry
Dopasuj elementy po prawej do elementów po lewej
Funkcja liniowa $f(x)=\cfrac{1}{2}x+1$ jest:
Funkcja liniowa $f(x)=-x$ jest:
Funkcja liniowa $f(x)=34$ jest:
rosnąca
malejąca
stała

Miejsce zerowe funkcji liniowej.

Do góry

Miejsce zerowe funkcji liniowej [tex]f(x) = ax + b[/tex]

 

  • dla [tex] a \neq 0[/tex] jest jedno:  [tex]x_0 = -\cfrac{b}{a}[/tex]

  • dla [tex] a = 0[/tex] i [tex] b = 0[/tex] jest nieskończenie wiele miejsc zerowych

  • dla [tex] a = 0[/tex] i [tex] b \neq 0[/tex] nie ma miejsc zerowych

Do góry
  • Zaznacz co jest prawdą a co fałszem
    Approved-icon Alert-icon
  • Miejscem zerowym funkcji liniowej $f(x)=x $ jest $x=0$.
  • Miejscem zerowym funkcji liniowej $f(x) = -2x+2$ jest $x=-1$.
  • Funkcja liniowa $f(x) = -2$ nie ma miejsc zerowych.
  • Funkcja liniowa $f(x) = 2x$ ma nieskończenie wiele miejsc zerowych.


Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Zadania do przećwiczenia (5):

Liceum » Funkcja liniowa » #266
0

Z miejscowości [tex]A[/tex] i [tex]B[/tex] oddalonych od siebie o [tex]210\ km[/tex] wyruszają jednocześnie dwa samochody. Do momentu spotkania samochód jadący z miejscowości [tex]A[/tex] przejechał [tex]\cfrac{3}{7}[/tex] całej drogi z [tex]A[/tex] do [tex]B[/tex]. Gdyby samochód jadący z miejscowości [tex]B[/tex] wyruszył o [tex]30\ min [/tex] później, to oba samochody spotkałyby się w połowie drogi. Oblicz z jakimi średnimi prędkościami jechały oba samochody, oraz po jakim czasie nastąpiło ich spotkanie.

P
D
Zobacz rozwiązanie
Podobne (1)
Liceum » Funkcja liniowa » #873
0

Dla jakich wartości parametru [tex]m[/tex] funkcja [tex]y=(3-5m)x+3[/tex] jest malejąca?

P
T
Zobacz rozwiązanie
Liceum » Funkcja liniowa » #114
0

Wyznacz wzór funkcji liniowej przedstawionej na rysunku:

 

P
K
Zobacz rozwiązanie
Liceum » Funkcja liniowa » #665
2

Liczba [tex]4 [/tex] jest miejscem zerowym funkcji [tex]f(x)=(m+5)(x-2)+3[/tex]. Wynika stąd, że:

P
T
Zobacz rozwiązanie
Podobne (1)
Liceum » Funkcja liniowa » #261
0

Dane są funkcje [tex]f(x)=\cfrac{3}{2}x-\cfrac{1}{2}[/tex] oraz [tex]g(x)=3x-\cfrac{5}{2}[/tex]. Wyznacz punk przecięcia wykresów tych funkcji.

P
K
Zobacz rozwiązanie
Podobne (1)

Komentarze (
0
):