Potęgowanie

Niech a,\ b \in \mathbb{R}.

Potęgowanie jest to działanie matematyczne wprowadzone po to, aby ułatwić zapis wielokrotnego mnożenia. Oznacza się je jako a^n, gdzie n jest ilością mnożonych przez siebie liczb a. Czyli:

a^n=\underset{n\ razy}{\underbrace{a* a...* a}}

 

 

Definicja: Potęga

a^n = b

a^n - n-ta potęga liczby a(a do potęgi n)

n - wykładnik potęgi

a - podstawa potęgi

b - wynik potęgowania

Przykład:

3^2 = 3 * 3 = 9 - czytamy "trzy do potęgi drugiej lub trzy do kwadratu"

3^3 = 3 * 3 * 3 = 9 * 3 = 27 - czytamy "trzy do potęgi trzeciej lub trzy do sześcianu"

3^4 = 3 * 3 * 3 * 3 = 9 * 3 * 3 = 27 * 3 = 81 - czytamy "trzy do potęgi czwartej"

 

Potęgowanie jest operacją odwrotną do pierwiastkowania.

Wykładnik potęgi.

Definicja: Potęga o wykładniku naturalnym.

Jeżeli wykładnik potęgi jest liczbą naturalną, to

a^0 = 1

Każda liczba a\neq 0 podniesiona do potęgi zerowej daje 1.

 

a^1 = a

Każda liczba podniesiona do pierwszej potęgi to ta sama liczba.

 

 a^n=\underbrace {a * a * ...* a}_{n\ \ razy}

n-ta potęga liczby a, to  n krotny iloczyn  tej liczby przez siebie.

 

dla a \in \mathbb{R} \wedge n \in \mathbb{N}
Przykład:

2^0 = 1

6^1 = 6

2^2 = 2 * 2 = 4

10^3 = 10 * 10 * 10= 1000

 

 

Definicja: Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym.

Jeżeli wykładnik potegi jest liczbą całkowitą ujemną, to

a^{-n} = \cfrac{1}{a^n}

dla a \in \mathbb{R} \backslash \{0\} \wedge n \in \mathbb{N}

\left( \cfrac{a}{b} \right)^{-n} = \left(\cfrac{b}{a}\right)^{n},

dla a * b \neq 0

Przykład:

2^{-2} = \cfrac{1}{2^2} = \cfrac{1}{4}

2^{-3} = \cfrac{1}{2^3} = \cfrac{1}{8}

\left(\cfrac{4}{5}\right)^{-2} = \left(\cfrac{5}{4}\right)^{2} = \cfrac{5^2}{4^2}=\cfrac{25}{16}

\left(\cfrac{1}{8}\right)^{-3} = 8^{3} =512

Potęgowanie jest operacją odwrotną do pierwiastkowania. Oba te działania łączą się ze sobą. Można zatem potęgę zamieniać na pierwiastek i odwrotnie, pierwiastki zamieniać na potęgi. Aby to zrobić, posługujemy się następującymi wzorami:

Definicja: Potęga o wykładniku wymiernym dodatnim.

Jeżeli wykładnik potegi jest liczbą wymierną dodatnią, to

a^{\cfrac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}

dla a \in \mathbb{R^{+}} \cup \{0\}, m \in \mathbb{N}, n \in \mathbb{N} \backslash \{1\}

Przykład:

Liczba 2 podniesiona do potęgi \cfrac{1}{2}, to poprostu pierwiastek kwadratowy z tej liczby:

2^{\cfrac{1}{2}} = \sqrt[2]{2^1} = \sqrt{2}

Liczba 5 podniesiona do potęgi \cfrac{1}{3}, to pierwiastek sześcienny z tej liczby:

5^{\cfrac{1}{3}} = \sqrt[3]{5}

 Mianownik wykładnika potęgi, to zawsze stopień pierwiastka. Natomiast liczba znajdująca się w liczniku, to wykładnik liczby pod pierwiastkiem. Jak ponizej:

3^{\frac{\color{blue}{2}}{\color{red}{3}}}= \sqrt[\color{red}{3}]{3^{\color{blue}{2}}}=\sqrt[3]{9}

5^{  \frac{ {\color{blue}{3}} }{ {\color{red}{4}} } } =  \sqrt[{\color{red}{4}} ]{5^{ {\color{blue}{3}} } } = \sqrt[4]{125}

 

Definicja: Potęga o wykładniku wymiernym ujemnym.

Jeżeli wykładnik potegi jest liczbą wymierną ujemną, to

a^{-\cfrac{m}{n}} = \cfrac{1}{\sqrt[n]{a^m}}

dla a \in \mathbb{R^{+}}, m \in \mathbb{N}, n \in \mathbb{N} \backslash \{1\}

Przykład:

2^{-\cfrac{1}{2}} = \cfrac{1}{\sqrt[2]{2^1}} = \cfrac{1}{\sqrt{2}}

3^{-\cfrac{2}{3}} = \cfrac{1}{\sqrt[3]{3^2}} = \cfrac{1}{\sqrt[3]{9}}

5^{-\cfrac{3}{4}} = \cfrac{1}{\sqrt[4]{5^3}} = \cfrac{1}{\sqrt[4]{125}}

Działania na potęgach.

Powyżej zdefiniowane zostały potęgi o różnych wykładnikach. Teraz zajmiemy się działaniami jakie można na tych potęgach wykonywać.

 

Jeżeli  m,n \in \mathbb{R} i a,b \in \mathbb{R^{+}} to:

 

Wzór: Iloczyn potęg o tych samych podstawach.

a^m * a^n = a^{m + n}

 

Przykład:

Jeżeli mnożymy przez siebie potęgi, o tych samych podstawach, to ich wykładniki dodajemy. A dlaczego tak? Zobacz na przykładzie:

2^3=2* 2* 2 Zgodnie z definicją mnożymy liczbę 2, trzy razy przez siebie.

2^4=2* 2* 2* 2 Zgodnie z definicją mnożymy liczbę 2, cztery razy przez siebie.

No a teraz, mamy przez siebie pomnożyć te potęgi. To w  rezultacie, ile razy przez siebie mnożymy 2?

 

{\color{red}{2^3}}  * {\color{blue}{2^4}}={\color{red} {2* 2* 2}} *  {\color{blue}{2* 2* 2* 2}}=2^{3+ 4} = 2^{7}

Teraz zajmiemy się ilorazem potęg o tych samych podstawach.

Wzór: Iloraz potęg o tych samych podstawach.

\cfrac{a^m}{a^n} = a^{m - n}

 

Przykład:

A teraz krótkie wyjaśnienie, dlaczego wykładniki odejmujemy.

2^3=2* 2* 2 Zgodnie z definicją mnożymy liczbę 2, trzy razy przez siebie.

2^4=2* 2* 2* 2 Zgodnie z definicją mnożymy liczbę 2, cztery razy przez siebie.

Skracamy te same liczby powtarzające się w liczniku i mianowniku. W liczniku mamy 4 dwójki, w mianowniku mamy 3 dwójki. Czyli:

\cfrac{\color{blue}{2^4}}{\color{red}{2^3}}  =\cfrac{\color{blue}{2 * 2 * 2 * 2}}{\color{red}{2*  2* 2}}= 2^{4 - 3} = 2

 

Wzór: Potęga iloczynu.

(a * b)^m = a^m * b^m

Potęga iloczynu jest równa iloczynowi potęg. Jeżeli potęgujemy iloczyn, to każdy składnik tego iloczynu podnosimy do tej samej potęgi.

Przykład:

(2 * 4)^5 = 2^5 * 4^5

 

Wzór: Potęga ilorazu

\left(\cfrac{a}{b}\right)^m = \cfrac{a^m}{b^m}

Potęga ilorazu jest równa ilorazowi potęg. Podnosząc ułamek do pewnej potęgi, zarówno licznik jak i mianownik podnosimy do tej samej potęgi.

Przykład:

\left(\cfrac{3}{5}\right)^5 = \cfrac{3^5}{5^5}

 

 

Wzór: Potęga potęgi.

(a^m)^n = a^{m * n}

 

Przykład:

\left(10^2\right)^3 = 10^{2 * 3}


Zadanie 429

Zapisz \cfrac{32^{2}: (0,125)^{\cfrac{1}{3}} }{2 * (4^2)^3 } w postaci jednej potęgi.

Zadanie 637

Liczba 3^{90} * 9^{30} jest równa:

Zadanie 427

Przedstaw \cfrac{\left(\cfrac{8}{27}\right)^{\cfrac{1}{3}} * \left( \left(\cfrac{2}{3} \right)^2 \right)^3 }{ 2^4:3^4 } w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.

Zadanie 1673

Oblicz:

\cfrac{\left(\cfrac{1}{2}\right)^{-1}}{\left(\cfrac{3}{4}+1\right)^2}-\cfrac{2}{5}:2* \left(-\cfrac{1}{\sqrt[3]{27}}\right).

18 komentarzy

  1. Gosia214 20111114132247 thumb
    gosia214 14.11.2011 13:58

    Ogółem rozumiem, ale np. nie potrafię rozwiązać takiego zadania: Obliczyć czwartą część liczby 2 do potęgi 100. Jak zrobić takie coś?

  2. Default avatar
    konto-usuniete 14.11.2011 19:25

    Daną mamy liczbę: 2^{100}. Jeżeli chcemy obliczyć jej czwartą część, tzn. że musimy podzielić tą liczbę na 4 części. Czyli: 2^{100} : 4
    Aby móc dzielić potęgi, to musimy mieć takie same podstawy. Zamieniamy więc 4 na potęgę o podstawie dwa:
    4=2^2.
    Wtedy otrzymujemy:
    2^{100} : 2^2
    Jeżeli dzielimy potęgi, to ich wykładniki odejmujemy, dlatego:
    2^{100} : 2^2=2^{100-2}=2^{98}.

  3. Balbi93 20111120164045 thumb
    balbi93 23.11.2011 16:29

    nie potrafię wykonać zadania 2 . dokładniej :
    2 do potęgi 5/3 * pierwiastek trzeciego stopnia z czterech do potęgi 2.
    Mianowicie, rozumiem potęgi, jednak wynik nie zgadza mi się z podanymi odpowiedziami. do wyboru są wyniki: 8, pierwiastek trzeciego stopnia z dwóch, 6 do potęgi 10, pierwiastek 3 stopnia z 8.
    proszę o pomoc.

  4. Default avatar
    konto-usuniete 23.11.2011 21:37

    Rozwiązania zadań z kursu maturalnego są wysyłane kolejnego dnia.

  5. Default avatar
    stokrotka 18.12.2011 13:27

    Mam pytanie odnośnie potęg.Jak odliczać potęge czegoś takiego : (4do potęgi2)do potęgi 3-za nawiasem-.? Czy potęgi 2i3 się mnoży?Był na to wzór,tylko nie mogę nigdzie znaleźć.

  6. Default avatar
    stokrotka 18.12.2011 13:29

    I jeśli mam różne wykładniki i różne podstawy,to jak to się robi ? Np 2 do potęgi 3 * 3 do potęgi 4? Z góry dziękuję za wskazówki.

  7. Default avatar
    stokrotka 18.12.2011 13:41

    Jak obliczać jeśli mamy w nawiasie ułamek i mamy do podnieść do potęgi też ułamka.Nie wiem jak to zrobić.

  8. Default avatar
    konto-usuniete 03.01.2012 20:32

    Rozumiem, że chodzi np o taki przypadek:



    ( \cfrac{2}{3}   )^{\cfrac{3}{2}} ?



    Możemy to przekształcić np tak:

    (\cfrac{2}{3})^{\cfrac{3}{2}}=((\cfrac{2}{3})^3)^{\cfrac{1}{2}}=(\cfrac{2^3}{3^3})^{\cfrac{1}{2}}=

    =(\cfrac{8}{27})^{\cfrac{1}{2}}=\sqrt{\cfrac{8}{27}}


  9. Default avatar
    niusia154 26.01.2012 15:28

    jak obliczyc takie dzialanie (1/5) do potęgi minus 2^3?? takie zadania tez pojawiaja sie na maturze podstawowej??

  10. Default avatar
    konto-usuniete 12.04.2012 18:58

    (\cfrac{1}{5})^{-2^3}=5^2^3=5^8

  11. 330paulina 20121031182022 thumb
    330paulina 24.11.2012 07:02

    Jak moge obliczyc pierwiastek pod pierwiastkiem?

  12. Default avatar
    angelika1245 07.12.2012 20:42

    \frac{a^-2*a^5}{|sqrt{a}}

  13. Default avatar
    kacper1 15.02.2013 09:51

    Przepraszam ja mam pytanie: Jak sprawdzić ile razy wieksza jest liczba 3 do potegi minus 14 od liczby 3 do potegi minus 12?
    Prosze o pomoc.

  14. Default avatar
    kacper1 15.02.2013 10:22

    Pani Małgorzato!:) Jak obliczyc ten przykład:?
    (1 i 3/4) do potegi 6 razy (2/7) do potegi 6?

  15. Default avatar
    TheLisek 30.04.2013 13:12

    W zadaniach z tego tematu pojawiło się działanie 3^-3 (3 do minus trzeciej). Wychodzi mi ciągle 1/pierw.27 (jeden przez pierwiastek z 27) , podczas gdy tu pojawiła się odp. 1/27. Nie mogę się doszukać błędu, proszę o naprowadzenie.

  16. Koksownik1233 20130926115338 thumb
    koksownik1233 26.09.2013 12:10

    Na wszystkie tu zadane pytania znam odpowiedzi:D
    Proszę pytać, chętnie pomogę.
    Np. możecie mi napisać prywatną wiadomość, na pewno odpowiem!:)

  17. Default avatar
    konto-usuniete 11.12.2013 11:16

    Co do zadania 5 z wysyłanych materiałów:

    (2^5 + 12^2 x 3^6) / (18 + 3^8)

    i jest rozwiązanie:

    (2^5 + 4^2 x 3^6) / ( 9 x (2+3^6))

    jak z tego pierwszego równania doszliście do 2giego?

  18. Marekduda 20140908171934 thumb
    marekduda 08.09.2014 17:26

    Od siebie dodam, że działania na potęgach rządzą się swoimi prawami i wzorami. W zadaniach z potęgami liczbę trzeba zamienić na wielokrotność: najczęściej 2 i 3. Kolejność wykonywania działań i umiejętność praktycznego wykorzystania wzorów potęg to podstawa! Ponadto bardzo fajny artykuł :) Do rozszerzenia tego artykułu polecam obejrzeć kilka filmików o potęgach z rozwiązaniami:

    ***

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz