Potęgi

Potęgowanie

Niech $a,\ b \in \mathbb{R}$ .

Potęgowanie jest to działanie matematyczne wprowadzone po to, aby ułatwić zapis wielokrotnego mnożenia. Oznacza się je jako $a^n$ , gdzie $n$ jest ilością mnożonych przez siebie liczb $a$ . Czyli:

$a^n=\underset{n\ razy}{\underbrace{a* a...* a}}$

Definicja: Potęga

$a^n = b$

$a^n$ - n-ta potęga liczby $a$ ( $a$ do potęgi $n$ )

$n$ - wykładnik potęgi

$a$ - podstawa potęgi

$b$ - wynik potęgowania

Przykład:

$3^2 = 3 * 3 = 9$ - czytamy "trzy do potęgi drugiej lub trzy do kwadratu"

$3^3 = 3 * 3 * 3 = 9 * 3 = 27$ - czytamy "trzy do potęgi trzeciej lub trzy do sześcianu"

$3^4 = 3 * 3 * 3 * 3 = 9 * 3 * 3 = 27 * 3 = 81$ - czytamy "trzy do potęgi czwartej"

Potęgowanie jest operacją odwrotną do pierwiastkowania.

Wykładnik potęgi

Definicja: Potęga o wykładniku naturalnym.

Jeżeli wykładnik potęgi jest liczbą naturalną, to

$a^0 = 1$

Każda liczba $a\neq 0$ podniesiona do potęgi zerowej daje $1$ .

$a^1 = a$

Każda liczba podniesiona do pierwszej potęgi to ta sama liczba.

$a^n=\underbrace {a * a * ...* a}_{n\ \ razy}$

$n$ -ta potęga liczby $a$ , to $n$ krotny iloczyn tej liczby przez siebie.

dla $a \in \mathbb{R} \wedge n \in \mathbb{N}$

Przykład:

$2^0 = 1$

$6^1 = 6$

$2^2 = 2 * 2 = 4$

$10^3 = 10 * 10 * 10= 1000$

Definicja: Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym.

Jeżeli wykładnik potegi jest liczbą całkowitą ujemną, to

$a^{-n} = \cfrac{1}{a^n}$

dla $a \in \mathbb{R} \backslash \{0\} \wedge n \in \mathbb{N}$

$\left( \cfrac{a}{b} \right)^{-n} = \left(\cfrac{b}{a}\right)^{n}$ ,

dla $a * b \neq 0$

Przykład:

$2^{-2} = \cfrac{1}{2^2} = \cfrac{1}{4}$

$2^{-3} = \cfrac{1}{2^3} = \cfrac{1}{8}$

$\left(\cfrac{4}{5}\right)^{-2} = \left(\cfrac{5}{4}\right)^{2} = \cfrac{5^2}{4^2}=\cfrac{25}{16}$

$\left(\cfrac{1}{8}\right)^{-3} = 8^{3} =512$

Potęgowanie jest operacją odwrotną do pierwiastkowania. Oba te działania łączą się ze sobą. Można zatem potęgę zamieniać na pierwiastek i odwrotnie, pierwiastki zamieniać na potęgi. Aby to zrobić, posługujemy się następującymi wzorami:

Definicja: Potęga o wykładniku wymiernym dodatnim.

Jeżeli wykładnik potegi jest liczbą wymierną dodatnią, to

$a^{\cfrac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$

dla $a \in \mathbb{R^{+}} \cup \{0\}, m \in \mathbb{N}, n \in \mathbb{N} \backslash \{1\}$

Przykład:

Liczba $2$ podniesiona do potęgi $\cfrac{1}{2}$ , to poprostu pierwiastek kwadratowy z tej liczby:

$2^{\cfrac{1}{2}} = \sqrt[2]{2^1} = \sqrt{2}$

Liczba $5$ podniesiona do potęgi $\cfrac{1}{3}$ , to pierwiastek sześcienny z tej liczby:

$5^{\cfrac{1}{3}} = \sqrt[3]{5}$

Mianownik wykładnika potęgi, to zawsze stopień pierwiastka. Natomiast liczba znajdująca się w liczniku, to wykładnik liczby pod pierwiastkiem. Jak ponizej:

$3^{\frac{\color{blue}{2}}{\color{red}{3}}}= \sqrt[\color{red}{3}]{3^{\color{blue}{2}}}=\sqrt[3]{9}$

$5^{ \frac{ {\color{blue}{3}} }{ {\color{red}{4}} } } = \sqrt[{\color{red}{4}} ]{5^{ {\color{blue}{3}} } } = \sqrt[4]{125}$

Definicja: Potęga o wykładniku wymiernym ujemnym.

Jeżeli wykładnik potegi jest liczbą wymierną ujemną, to

$a^{-\cfrac{m}{n}} = \cfrac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$

dla $a \in \mathbb{R^{+}}, m \in \mathbb{N}, n \in \mathbb{N} \backslash \{1\}$

Przykład:

$2^{-\cfrac{1}{2}} = \cfrac{1}{\sqrt[2]{2^1}} = \cfrac{1}{\sqrt{2}}$

$3^{-\cfrac{2}{3}} = \cfrac{1}{\sqrt[3]{3^2}} = \cfrac{1}{\sqrt[3]{9}}$

$5^{-\cfrac{3}{4}} = \cfrac{1}{\sqrt[4]{5^3}} = \cfrac{1}{\sqrt[4]{125}}$

Działania na potęgach.

Powyżej zdefiniowane zostały potęgi o różnych wykładnikach. Teraz zajmiemy się działaniami jakie można na tych potęgach wykonywać.

Jeżeli $m,n \in \mathbb{R}$ i $a,b \in \mathbb{R^{+}}$ to:

Wzór: Iloczyn potęg o tych samych podstawach.

$a^m * a^n = a^{m + n}$

Przykład:

Jeżeli mnożymy przez siebie potęgi, o tych samych podstawach, to ich wykładniki dodajemy. A dlaczego tak? Zobacz na przykładzie:

$2^3=2* 2* 2$ Zgodnie z definicją mnożymy liczbę $2$ , trzy razy przez siebie.

$2^4=2* 2* 2* 2$ Zgodnie z definicją mnożymy liczbę $2$ , cztery razy przez siebie.

No a teraz, mamy przez siebie pomnożyć te potęgi. To w rezultacie, ile razy przez siebie mnożymy $2$ ?

${\color{red}{2^3}} * {\color{blue}{2^4}}={\color{red} {2* 2* 2}} * {\color{blue}{2* 2* 2* 2}}=2^{3+ 4} = 2^{7}$

Teraz zajmiemy się ilorazem potęg o tych samych podstawach.

Wzór: Iloraz potęg o tych samych podstawach.

$\cfrac{a^m}{a^n} = a^{m - n}$

Przykład:

A teraz krótkie wyjaśnienie, dlaczego wykładniki odejmujemy.

$2^3=2* 2* 2$ Zgodnie z definicją mnożymy liczbę $2$ , trzy razy przez siebie.

$2^4=2* 2* 2* 2$ Zgodnie z definicją mnożymy liczbę $2$ , cztery razy przez siebie.

Skracamy te same liczby powtarzające się w liczniku i mianowniku. W liczniku mamy $4$ dwójki, w mianowniku mamy $3$ dwójki. Czyli:

$\cfrac{\color{blue}{2^4}}{\color{red}{2^3}} =\cfrac{\color{blue}{2 * 2 * 2 * 2}}{\color{red}{2* 2* 2}}= 2^{4 - 3} = 2$

Wzór: Potęga iloczynu.

$(a * b)^m = a^m * b^m$

Potęga iloczynu jest równa iloczynowi potęg. Jeżeli potęgujemy iloczyn, to każdy składnik tego iloczynu podnosimy do tej samej potęgi.

Przykład:

$(2 * 4)^5 = 2^5 * 4^5$

Wzór: Potęga ilorazu

$\left(\cfrac{a}{b}\right)^m = \cfrac{a^m}{b^m}$

Potęga ilorazu jest równa ilorazowi potęg. Podnosząc ułamek do pewnej potęgi, zarówno licznik jak i mianownik podnosimy do tej samej potęgi.

Przykład:

$\left(\cfrac{3}{5}\right)^5 = \cfrac{3^5}{5^5}$

Wzór: Potęga potęgi.

$(a^m)^n = a^{m * n}$

Przykład:

$\left(10^2\right)^3 = 10^{2 * 3}$

Zadanie 1

$2^{4} : \sqrt[3]{8}+4$

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 2

Wynikiem działania $\cfrac{60^3}{9\sqrt{9}* 10^3}$ jest:

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
4 komentarze

Zadanie 3

Zapisz $\cfrac{32^{2}: (0,125)^{\cfrac{1}{3}} }{2 * (4^2)^3 }$ w postaci jednej potęgi.

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
19 komentarzy

Zadanie 4

Przedstaw $\cfrac{\left(\cfrac{8}{27}\right)^{\cfrac{1}{3}} * \left( \left(\cfrac{2}{3} \right)^2 \right)^3 }{ 2^4:3^4 }$ w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
4 komentarze

Zadanie 5

Dane są liczby $a = 3,6 * 10^{-12}$ oraz $b = 2,4 * 10^{-20}$ . Wtedy iloraz $\frac{a}{b}$ jest równy

Rozwiązanie video

Matura podstawowa
0 komentarzy
CKE

Zadanie 6

Liczba naturalna $n = 2^{14} * 5^{15}$ w zapisie dziesiętnym ma:

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
2 komentarze
CKE

Zadanie 7

Równość $(x\sqrt{2}-2)^2=(2+\sqrt{2})^2$ jest

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
1 komentarz
CKE

Zadanie 8
Premium

Oblicz $\cfrac{2^5+4^2* 3^6}{18+3^8}$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
2 komentarze

Zadanie 9
Premium

Oblicz ułamek:

$\cfrac{\left(\cfrac{1}{2}\right)^{-1}}{\left(\cfrac{3}{4}+1\right)^2}-\cfrac{2}{5}:2* \left(-\cfrac{1}{\sqrt[3]{27}}\right)$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 10
Premium

Liczba $3^{90} * 9^{30}$ jest równa:

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
1 komentarz

Zadanie 11
Premium

Liczba $5^{20} * 25^{30}$ jest równa:

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
3 komentarze

Zadanie 12
Premium

Liczba $81^{-3}* 27^{2}* 9^{-1}* 3^{0}$ zapisana w postaci jednej potęgi to

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 13
Premium

Oblicz:

$\left(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}\right)^4$

Zobacz rozwiązanie

Matura rozszerzona
8 komentarzy

Przeczytaj także:

Pierwiastki

16 komentarzy

gosia214 14.11.2011 13:58

Ogółem rozumiem, ale np. nie potrafię rozwiązać takiego zadania: Obliczyć czwartą część liczby 2 do potęgi 100. Jak zrobić takie coś?
konto-usuniete 14.11.2011 19:25

Daną mamy liczbę: $2^{100}$ . Jeżeli chcemy obliczyć jej czwartą część, tzn. że musimy podzielić tą liczbę na 4 części. Czyli: $2^{100} : 4$
Aby móc dzielić potęgi, to musimy mieć takie same podstawy. Zamieniamy więc $4$ na potęgę o podstawie dwa:
$4=2^2$ .
Wtedy otrzymujemy:
$2^{100} : 2^2$
Jeżeli dzielimy potęgi, to ich wykładniki odejmujemy, dlatego:
$2^{100} : 2^2=2^{100-2}=2^{98}$ .
balbi93 23.11.2011 16:29

nie potrafię wykonać zadania 2 . dokładniej :
2 do potęgi 5/3 * pierwiastek trzeciego stopnia z czterech do potęgi 2.
Mianowicie, rozumiem potęgi, jednak wynik nie zgadza mi się z podanymi odpowiedziami. do wyboru są wyniki: 8, pierwiastek trzeciego stopnia z dwóch, 6 do potęgi 10, pierwiastek 3 stopnia z 8.
proszę o pomoc.
konto-usuniete 23.11.2011 21:37

Rozwiązania zadań z kursu maturalnego są wysyłane kolejnego dnia.
stokrotka 18.12.2011 13:27

Mam pytanie odnośnie potęg.Jak odliczać potęge czegoś takiego : (4do potęgi2)do potęgi 3-za nawiasem-.? Czy potęgi 2i3 się mnoży?Był na to wzór,tylko nie mogę nigdzie znaleźć.
stokrotka 18.12.2011 13:29

I jeśli mam różne wykładniki i różne podstawy,to jak to się robi ? Np 2 do potęgi 3 * 3 do potęgi 4? Z góry dziękuję za wskazówki.
stokrotka 18.12.2011 13:41

Jak obliczać jeśli mamy w nawiasie ułamek i mamy do podnieść do potęgi też ułamka.Nie wiem jak to zrobić.
konto-usuniete 03.01.2012 20:32

Rozumiem, że chodzi np o taki przypadek:

$( \cfrac{2}{3} )^{\cfrac{3}{2}}$ ?

Możemy to przekształcić np tak:

$(\cfrac{2}{3})^{\cfrac{3}{2}}=((\cfrac{2}{3})^3)^{\cfrac{1}{2}}=(\cfrac{2^3}{3^3})^{\cfrac{1}{2}}=$

$=(\cfrac{8}{27})^{\cfrac{1}{2}}=\sqrt{\cfrac{8}{27}}$
niusia154 26.01.2012 15:28

jak obliczyc takie dzialanie (1/5) do potęgi minus 2^3?? takie zadania tez pojawiaja sie na maturze podstawowej??
konto-usuniete 12.04.2012 18:58

$(\cfrac{1}{5})^{-2^3}=5^2^3=5^8$
330paulina 24.11.2012 07:02

Jak moge obliczyc pierwiastek pod pierwiastkiem?
angelika1245 07.12.2012 20:42

\frac{a^-2*a^5}{|sqrt{a}}
kacper1 15.02.2013 09:51

Przepraszam ja mam pytanie: Jak sprawdzić ile razy wieksza jest liczba 3 do potegi minus 14 od liczby 3 do potegi minus 12?
Prosze o pomoc.
kacper1 15.02.2013 10:22

Pani Małgorzato!:) Jak obliczyc ten przykład:?
(1 i 3/4) do potegi 6 razy (2/7) do potegi 6?
koksownik1233 26.09.2013 12:10

Na wszystkie tu zadane pytania znam odpowiedzi:D
Proszę pytać, chętnie pomogę.
Np. możecie mi napisać prywatną wiadomość, na pewno odpowiem!:)
marekduda 08.09.2014 17:26

Od siebie dodam, że działania na potęgach rządzą się swoimi prawami i wzorami. W zadaniach z potęgami liczbę trzeba zamienić na wielokrotność: najczęściej 2 i 3. Kolejność wykonywania działań i umiejętność praktycznego wykorzystania wzorów potęg to podstawa! Ponadto bardzo fajny artykuł :) Do rozszerzenia tego artykułu polecam obejrzeć kilka filmików o potęgach z rozwiązaniami:

***