Drukuj

Zadanie 1

Wykaż, że

a* b=NWD(a,b)* NWW(a,b),

dla pewnych liczb naturalnych a,\ b.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Udowodnij, że dla każdego x \in (-\cfrac{3}{2},5), wyrażenie |2x+3|+2|x-5| przyjmuje stałą wartość.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y, takich, że x<y, i dowolnej liczby dodatniej a, prawdziwa jest nierówność \frac{x+a}{y+a}+\frac{y}{x}>2
Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność

3a^2 - 2ab +3b^2 \ge 0

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Udowodnij, że wyrażenie \cfrac{3\sqrt{4a^2-4a+1}}{2|2a-1|}, zawsze przyjmuje stałą wartość.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Wykaż, że jeżeli do iloczynu trzech kolejnych liczb całkowitych dodamy wyraz środkowy, to otrzymamy sześcian wyrazu środkowego.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

Wykaż, że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb całkowitych jest liczbą nieparzystą.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n, liczba 5^n-1 jest podzielna przez 4 .

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

Wykaż, że a* b \leq\cfrac{a^2}{2}+\cfrac{b^2}{2} dla a,\ b\in \mathbb{R}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

W trójkącie ABC z wierzchołka C poprowadzono środkową, która przecięła bok AB w punkcie D. Wiadomo, że |AD|=|BD|=|CD|. Wykaż, że jest to trójkąt prostokątny.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11


 

Dany jest trójkąt prostokątny (patrz rysunek). h jest wysokością opuszczoną z wierzchołka kąta prostego. Wykaż, że h=\cfrac{ab}{c}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12

Dany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu r. Na przedłużeniu cięciwy AB poza punkt B odłożono odcinek BC równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty C i S poprowadzono prostą. Prosta CS przecina dany okrąg w punktach D i E (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta ACS jest równa \alpha, to miara kąta ASD jest równa 3\alpha..


Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13

Wykaż, że jeżeli a jest długością krawędzi sześcianu, to długość przekątnej tego sześcianu możemy obliczyć korzystając ze wzoru d=a\sqrt{3}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14
Premium

Wykaż, że \cfrac{1}{a^2}-\cfrac{2}{ab}+\cfrac{1}{b^2} \geq 0 dla a,b\in \mathbb{R}\backslash\{0\}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15
Premium

Wykaż, że dla dowolnych a,\ b \in \mathbb{R^+} prawdziwa jest  równość:

a^3+b^3\geq a^2b+ab^2

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 16
Premium

Wykaż, że (a+b)^2\geq 2ab dla a,b\ \in \mathbb{R}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 17
Premium

Wykaż, korzystając z definicji, że funkcja dana wzorem f(x)=4x-5, x\in \mathbb{R} jest rosnąca.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 18
Premium

Wykaż, że jeżeli m jest liczbą całkowitą, to suma współczynników wielomianu

W(x)=\left( \cfrac{4m^3}{m-\cfrac{1}{2}}x^4-2mx^3-2x^2-\cfrac{1}{2m-1}\right)^{12}

jest także liczbą całkowitą.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 19
Premium

Wykaż, że prawdziwa jest równość \tan^2\alpha-\cfrac{1}{\tan^2\alpha}=\cfrac{1}{\cos^2\alpha}-\cfrac{1}{\sin^2\alpha}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 20
Premium

Wykaż, że prawdziwa jest tożsamość

 \sin(x-y)* \sin(x+y)=(\sin x -\sin y)* (\sin x +\sin y)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 21
Premium

Udowodnij, że prawdziwa jest równość \tan^2\alpha+1=\cfrac{1}{\cos^2\alpha} dla wszystkich \alpha\in[0,90^{\circ}).

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 22
Premium

Udowodnij, że prawdziwa jest równość \cfrac{1}{\sin^2\alpha}-\cot^2\alpha=1 dla wszystkich  \alpha\in (0,90^{\circ}].

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 23
Premium

Sprawdź czy prawdziwa jest równość  (\sin\alpha+\cos\alpha)^2=1+\sin2\alpha.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 24
Premium

Wykaż, że środkowe dzielą trójkąt na 6 trójkątów o równych polach.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 25
Premium

 

Wykaż, że pole trójkąta  ASD i pole trójkąta BSC są równe.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 26
Premium

Dany jest trójkąt ABC jak na rysunku. Wykaż, że trójkąty AEO i BCE są podobne, jeżeli odcinki AD i BE są wysokościami trójkąta ABC.

 

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 27
Premium

Dany jest prostokąt ABCD (patrzy rysunek). Wewnątrz prostokąta leży punkt M. Udowodnij, że:

|AM|^2+|CM|^2=|BM|^2+|DM|^2

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 28
Premium

Korzystając z podobieństwa trójkątów, udowodnij, że odcinek łączący środki boków dowolnego trapezu, ma długość równą średniej arytmetycznej długości jego podstaw.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 29
Premium

 Udowodnij, że jeżeli w pewnym czworokącie przekątne przecinają się na połowy, to jest on równoległobokiem.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 30
Premium

Udowodnij twierdzenie o odcinkach łączących środki boków trójkąta.

Twierdzenie: O odcinkach łączących środki boków trójkąta

Punkty K,\ L,\ M są środkami boków trójkąta ABC.

 

Jest prawdą, że:

KL || AB

LM || BC

KM || AC

 oraz

|KL|=\cfrac{1}{2}|AB|

|LM|=\cfrac{1}{2}|BC|

|KM|=\cfrac{1}{2}|AC|

 

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 31
Premium

Wykaż, że środki boków trapezu równoramiennego są wierzchołkami rombu.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 32
Premium

Wykaż, że objętość czworościanu o boku długości a wynosi V=\cfrac{a^3\sqrt{2}}{12}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 33
Premium

Niech   d będzie  długością  przekątnej sześcianu. Udowodnij, że objętość sześcianu można obliczyć korzystając ze wzoru V=\cfrac{d^3}{3\sqrt{3}}

Zobacz rozwiązanie