Zobacz rozwiązanieWykaż, że
,
dla pewnych liczb naturalnych
.
Zobacz rozwiązanieUdowodnij, że dla każdego
, wyrażenie
przyjmuje stałą wartość.
Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistychZobacz rozwiązaniei
, takich, że
, i dowolnej liczby dodatniej
, prawdziwa jest nierówność
Zobacz rozwiązanieWykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych
i
prawdziwa jest nierówność
Zobacz rozwiązanieUdowodnij, że wyrażenie
, zawsze przyjmuje stałą wartość.
Zobacz rozwiązanieWykaż, że jeżeli do iloczynu trzech kolejnych liczb całkowitych dodamy wyraz środkowy, to otrzymamy sześcian wyrazu środkowego.
Zobacz rozwiązanieWykaż, że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb całkowitych jest liczbą nieparzystą.
Zobacz rozwiązanieUdowodnij, że dla każdej liczby naturalnej
, liczba
jest podzielna przez
.
Zobacz rozwiązanieWykaż, że
dla
Zobacz rozwiązanieW trójkącie
z wierzchołka
poprowadzono środkową, która przecięła bok
w punkcie
. Wiadomo, że
. Wykaż, że jest to trójkąt prostokątny.
Zobacz rozwiązanieDany jest trójkąt prostokątny (patrz rysunek).
jest wysokością opuszczoną z wierzchołka kąta prostego. Wykaż, że
.
Zobacz rozwiązanieDany jest okrąg o środku w punkcie
i promieniu
. Na przedłużeniu cięciwy
poza punkt
odłożono odcinek
równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty
i
poprowadzono prostą. Prosta
przecina dany okrąg w punktach
i
(zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta
jest równa
, to miara kąta
jest równa
..
Zobacz rozwiązanieWykaż, że jeżeli
jest długością krawędzi sześcianu, to długość przekątnej tego sześcianu możemy obliczyć korzystając ze wzoru
.
Zobacz rozwiązanieWykaż, że
dla
.
Zobacz rozwiązanieWykaż, że dla dowolnych
prawdziwa jest równość:
Zobacz rozwiązanieWykaż, że
dla
.
Zobacz rozwiązanieWykaż, korzystając z definicji, że funkcja dana wzorem
,
jest rosnąca.
Zobacz rozwiązanieWykaż, że jeżeli
jest liczbą całkowitą, to suma współczynników wielomianu
jest także liczbą całkowitą.
Zobacz rozwiązanieWykaż, że prawdziwa jest równość
.
Zobacz rozwiązanieWykaż, że prawdziwa jest tożsamość
Zobacz rozwiązanieUdowodnij, że prawdziwa jest równość
dla wszystkich
.
Zobacz rozwiązanieUdowodnij, że prawdziwa jest równość
dla wszystkich
.
Zobacz rozwiązanieSprawdź czy prawdziwa jest równość
.
Zobacz rozwiązanieWykaż, że środkowe dzielą trójkąt na
trójkątów o równych polach.
Zobacz rozwiązanieWykaż, że pole trójkąta
i pole trójkąta
są równe.
Zobacz rozwiązanieDany jest trójkąt
jak na rysunku. Wykaż, że trójkąty
i
są podobne, jeżeli odcinki
i
są wysokościami trójkąta
.
![]()
Zobacz rozwiązanieDany jest prostokąt
(patrzy rysunek). Wewnątrz prostokąta leży punkt
. Udowodnij, że:
Zobacz rozwiązanieKorzystając z podobieństwa trójkątów, udowodnij, że odcinek łączący środki boków dowolnego trapezu, ma długość równą średniej arytmetycznej długości jego podstaw.
Zobacz rozwiązanieUdowodnij, że jeżeli w pewnym czworokącie przekątne przecinają się na połowy, to jest on równoległobokiem.
Zobacz rozwiązanieUdowodnij twierdzenie o odcinkach łączących środki boków trójkąta.
Twierdzenie: O odcinkach łączących środki boków trójkąta
Punkty
są środkami boków trójkąta
.
Jest prawdą, że:
oraz
Zobacz rozwiązanieWykaż, że środki boków trapezu równoramiennego są wierzchołkami rombu.
Zobacz rozwiązanieWykaż, że objętość czworościanu foremnego o boku długości
wynosi
.
Zobacz rozwiązanieNiech
będzie długością przekątnej sześcianu. Udowodnij, że objętość sześcianu można obliczyć korzystając ze wzoru