Zobacz rozwiązanieWykaż, że
,
dla pewnych liczb naturalnych .
Zobacz rozwiązanieUdowodnij, że dla każdego , wyrażenie przyjmuje stałą wartość.
Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych i , takich, że , i dowolnej liczby dodatniej , prawdziwa jest nierównośćZobacz rozwiązanie
Zobacz rozwiązanieWykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych i prawdziwa jest nierówność
Zobacz rozwiązanieUdowodnij, że wyrażenie , zawsze przyjmuje stałą wartość.
Zobacz rozwiązanieWykaż, że jeżeli do iloczynu trzech kolejnych liczb całkowitych dodamy wyraz środkowy, to otrzymamy sześcian wyrazu środkowego.
Zobacz rozwiązanieWykaż, że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb całkowitych jest liczbą nieparzystą.
Zobacz rozwiązanieUdowodnij, że dla każdej liczby naturalnej , liczba jest podzielna przez .
Zobacz rozwiązanieWykaż, że dla
Zobacz rozwiązanieW trójkącie z wierzchołka poprowadzono środkową, która przecięła bok w punkcie . Wiadomo, że . Wykaż, że jest to trójkąt prostokątny.
Zobacz rozwiązanieDany jest trójkąt prostokątny (patrz rysunek). jest wysokością opuszczoną z wierzchołka kąta prostego. Wykaż, że .
Zobacz rozwiązanieDany jest okrąg o środku w punkcie i promieniu . Na przedłużeniu cięciwy poza punkt odłożono odcinek równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty i poprowadzono prostą. Prosta przecina dany okrąg w punktach i (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta jest równa , to miara kąta jest równa ..
Zobacz rozwiązanieWykaż, że jeżeli jest długością krawędzi sześcianu, to długość przekątnej tego sześcianu możemy obliczyć korzystając ze wzoru .
Zobacz rozwiązanieWykaż, że dla .
Zobacz rozwiązanieWykaż, że dla dowolnych prawdziwa jest równość:
Zobacz rozwiązanieWykaż, że dla .
Zobacz rozwiązanieWykaż, korzystając z definicji, że funkcja dana wzorem , jest rosnąca.
Zobacz rozwiązanieWykaż, że jeżeli jest liczbą całkowitą, to suma współczynników wielomianu
jest także liczbą całkowitą.
Zobacz rozwiązanieWykaż, że prawdziwa jest równość .
Zobacz rozwiązanieWykaż, że prawdziwa jest tożsamość
Zobacz rozwiązanieUdowodnij, że prawdziwa jest równość dla wszystkich .
Zobacz rozwiązanieUdowodnij, że prawdziwa jest równość dla wszystkich .
Zobacz rozwiązanieSprawdź czy prawdziwa jest równość .
Zobacz rozwiązanieWykaż, że środkowe dzielą trójkąt na trójkątów o równych polach.
Zobacz rozwiązanieWykaż, że pole trójkąta i pole trójkąta są równe.
Zobacz rozwiązanieDany jest trójkąt jak na rysunku. Wykaż, że trójkąty i są podobne, jeżeli odcinki i są wysokościami trójkąta .
Zobacz rozwiązanieDany jest prostokąt (patrzy rysunek). Wewnątrz prostokąta leży punkt . Udowodnij, że:
Zobacz rozwiązanieKorzystając z podobieństwa trójkątów, udowodnij, że odcinek łączący środki boków dowolnego trapezu, ma długość równą średniej arytmetycznej długości jego podstaw.
Zobacz rozwiązanieUdowodnij, że jeżeli w pewnym czworokącie przekątne przecinają się na połowy, to jest on równoległobokiem.
Zobacz rozwiązanieUdowodnij twierdzenie o odcinkach łączących środki boków trójkąta.
Twierdzenie: O odcinkach łączących środki boków trójkąta
Punkty są środkami boków trójkąta .
Jest prawdą, że:
oraz
Zobacz rozwiązanieWykaż, że środki boków trapezu równoramiennego są wierzchołkami rombu.
Zobacz rozwiązanieWykaż, że objętość czworościanu foremnego o boku długości wynosi .
Zobacz rozwiązanieNiech będzie długością przekątnej sześcianu. Udowodnij, że objętość sześcianu można obliczyć korzystając ze wzoru