Spis treści
- Co to jest ciąg geometryczny?
- N-ty wyraz ciągu geometrycznego.
- Wzór ogólny ciągu geometrycznego.
- Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.
- Zależność między wyrazami ciągu geometrycznego.
Co to jest ciąg geometryczny?
Ciąg nazywamy ciągiem geometrycznym jeżeli każdy wyraz tego ciągu począwszy od drugiego powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez pewną liczbę
(iloraz ciągu). Tzn, dla każdego
spełniony jest warunek:
nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego.
Iloraz dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu wynosi .
itd.
-
Czy poniższe ciągi są ciągami geometrycznymi?
-
-
-
-
N-ty wyraz ciągu geometrycznego.
Chcąc obliczyć -ty wyraz ciągu geometrycznego korzystamy ze wzoru:
Oblicz czwarty wyraz ciągu geometrycznego, którego pierwszy wyraz jest równy , a iloraz ciągu wynosi
.
Z danych w zadaniu wiemy, że:
Obliczamy czwarty wyraz tego ciągu, podstawiając dane z zadania do wzoru:
Zatem czwarty wyraz tego ciągu to .
Wzór ogólny ciągu geometrycznego.
Ciąg geometryczny można opisać podając wzór ogólny tego ciągu. Wzór ten wynika z wzoru na - ty wyraz ciągu geometrycznego.
Ciąg jest dany wzorem ogólnym
. Sprawdź czy ten ciąg jest geometryczny.
Sprawdzamy czy istnieje liczba taka, że:
Zbadajmy zatem iloraz:
Jeżeli iloraz ten ma zawsze stałą wartość, to ciąg będzie ciągiem geometrycznym.
Zatem iloraz wyrazu przez
jest zawsze stały i wynosi
. Ciąg
jest geometryczny.
Jak zapisać wzór ogólny ciągu geometrycznego znając jego pierwszy wyraz oraz iloraz tego ciągu?
Podstawiamy te wartości do wzoru na - ty wyraz ciągu geometrycznego.
Napisz wzór ogólny ciągu geometrycznego, którego pierwszy wyraz wynosi , a iloraz tego ciągu jest równy
.
Wzór ogólny tego ciągu geometrycznego to:
-
Zaznacz co jest prawdą a co fałszem
-
Jeżeli
i
to
-
Jeżeli
i
to
-
Jeżeli
to
-
Jeżeli
i
to
-
Jeżeli
to
.
Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.
Oznaczmy przez sumę
początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, tzn,
. Taką sumę możemy obliczyć korzystając ze wzoru:
Oblicz sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego danego wzorem ogólnym
.
Aby obliczyć sumę korzystając z powyższego wzoru, należy najpierw obliczyć i
:
.
Podstawiamy wartości do wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, przy czym za
podstawiamy
(bo liczymy sumę trzech wyrazów).
Oblicz ile początkowych wyrazów ciągu geometrycznego , danego wzorem ogólnym
, należy zsumować, aby otrzymać sumę równą
.
Z treści zadania wiemy, że:
Obliczmy, korzystając z tego wzoru pierwszy wyraz ciągu oraz jego iloraz.
Obliczamy pierwszy wyraz ciągu :
A teraz iloraz ciągu :
Czyli:
Podstawiamy te dane do wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:
Z treści zadania wiemy, że ta suma wynosi .
Otrzymaliśmy równanie, z którego obliczmy :
Zatem aby uzyskać sumę dla rozważanego ciągu, należy zsumować
wyrazy.
Zależność między wyrazami ciągu geometrycznego.
Jeżeli są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego dla
to między nimi zachodzi zależność:
Wiadomo, że liczby w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny. Oblicz
.
To zadanie bardzo łatwo rozwiązać, korzystając z powyższej zależności między wyrazami ciągu geometrycznego.
zatem
lub
Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski.
Dzięki :)
Komentarze (1
):
wtf dułka z masłem
Logowanie Aby dodać komentarz musisz się zalogować.
Nie masz
jeszcze konta?
Załóż darmowe konto w 30 sekund.
Rejestracja
Nie pamiętasz hasła?