Ciąg geometryczny


Spis treści

  1. Co to jest ciąg geometryczny?
  2. N-ty wyraz ciągu geometrycznego.
  3. Wzór ogólny ciągu geometrycznego.
  4. Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.
  5. Zależność między wyrazami ciągu geometrycznego.

Co to jest ciąg geometryczny?

 

Definicja: Ciąg geometryczny

Ciąg nazywamy ciągiem geometrycznym jeżeli każdy wyraz tego ciągu począwszy od drugiego powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez pewną liczbę (iloraz ciągu). Tzn, dla każdego spełniony jest warunek:

UWAGA!

  nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego.

 

 

Przykład 1

 

Iloraz dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu wynosi .

itd.

  • Czy poniższe ciągi są ciągami geometrycznymi?
    Approved-icon Alert-icon

N-ty wyraz ciągu geometrycznego.

 

Definicja: N-ty wyraz ciągu geometrycznego

Chcąc obliczyć -ty wyraz ciągu geometrycznego korzystamy ze wzoru:

 

Przykład 2

Oblicz czwarty wyraz ciągu geometrycznego, którego pierwszy wyraz jest równy , a iloraz ciągu wynosi .

Z danych  w zadaniu wiemy, że:

 

Obliczamy czwarty wyraz tego ciągu, podstawiając dane z zadania do wzoru:

Zatem czwarty wyraz tego ciągu to .

Dopasuj elementy po prawej stronie do elementów po stronie lewej:

Jeżeli i to wynosi:
Jeżeli i to wynosi:
Jeżeli i to wynosi:

Wzór ogólny ciągu geometrycznego.

Ciąg geometryczny można opisać podając wzór ogólny tego ciągu. Wzór ten wynika z wzoru na - ty wyraz ciągu geometrycznego.

 

Przykład 3

Ciąg jest dany wzorem ogólnym . Sprawdź czy ten ciąg jest geometryczny.

 

Sprawdzamy czy istnieje liczba taka, że:

Zbadajmy zatem iloraz:

Jeżeli iloraz ten ma zawsze stałą wartość, to ciąg będzie ciągiem geometrycznym.

Zatem iloraz wyrazu przez jest zawsze stały i wynosi . Ciąg jest geometryczny.

 

UWAGA!

Jak zapisać wzór ogólny ciągu geometrycznego znając jego pierwszy wyraz oraz iloraz tego ciągu?

Podstawiamy te wartości do wzoru na - ty wyraz ciągu geometrycznego.

 

Przykład 4

Napisz wzór ogólny ciągu geometrycznego, którego pierwszy wyraz wynosi , a iloraz tego ciągu jest równy .

Wzór ogólny tego ciągu geometrycznego to:

  • Zaznacz co jest prawdą a co fałszem
    Approved-icon Alert-icon

  • Jeżeli i to
  • Jeżeli i to
  • Jeżeli to
  • Jeżeli i to
  • Jeżeli to .

Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

Oznaczmy przez sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, tzn, . Taką sumę możemy obliczyć korzystając ze wzoru:

 

Wzór: Suma n początkowych wyrazów ciagu geometrycznego.

 

Przykład 5

Oblicz sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego danego wzorem ogólnym .

Aby obliczyć sumę korzystając  z powyższego wzoru, należy najpierw obliczyć i :

.

Podstawiamy wartości do wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, przy czym za podstawiamy (bo liczymy sumę trzech wyrazów).


Przykład 6

Oblicz ile początkowych wyrazów ciągu geometrycznego , danego wzorem ogólnym , należy zsumować, aby otrzymać sumę równą .

Z treści zadania wiemy, że:


Obliczmy, korzystając z tego wzoru pierwszy wyraz ciągu oraz jego iloraz.

Obliczamy pierwszy wyraz ciągu :

A teraz iloraz ciągu :

Czyli:

 

Podstawiamy te dane do wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:

Z treści zadania wiemy, że ta suma wynosi .

Otrzymaliśmy równanie, z którego obliczmy :

Zatem aby uzyskać sumę dla rozważanego ciągu, należy zsumować wyrazy.

Dopasuj elementy po prawej do elementów po lewej. Zakładamy, że ciągi są geometryczne.

Wiemy, że , . Wtedy wynosi:
Wiemy, że . Wtedy wynosi:
Wiemy, że oraz, że . Wtedy wynosi:

Zależność między wyrazami ciągu geometrycznego.

Jeżeli są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego dla   to między nimi zachodzi zależność:

Wzór:  

 

Przykład 7

Wiadomo, że liczby w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny. Oblicz .

To zadanie bardzo łatwo rozwiązać, korzystając z powyższej zależności między wyrazami ciągu geometrycznego.

zatem

lub

Dopasuj elementy po prawej do elementów po lewej. Zakładamy, że ciągi są geometryczne.

Jeżeli to jest równy:
Wyraz w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny. Wtedy jest równy:
Wyrazy w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny. Wtedy jest równy:
lub



Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Przydatne

Inne osoby czytały także

  1. Ciąg arytmetyczny
  2. Obliczanie wartości na podstawie wzoru ogólnego ciągu
  3. Wzór rekurencyjny ciągu.

Zadania do przećwiczenia (6):

Liceum » Ciągi liczbowe » #49
0

Zbadaj czy ciąg dany wzorem ogólnym  jest ciągiem geometrycznym.


P
K
Liceum » Ciągi liczbowe » #501
1

Dane są dwa ciągi: - ciąg arytmetyczny i - ciąg geometryczny. Różnica ciągu jest taka sama jak iloraz ciągu . Wiadomo również, że . Oblicz:

a) różnicę ciągu

b)

c)

d) sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu


P
D
Liceum » Ciągi liczbowe » #713
0

Dany jest ciąg geometryczny . Jeżeli oraz to n-ty wyraz tego ciągu jest dany wzorem:


P
T
Liceum » Ciągi liczbowe » #1117
0

Liczby tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich. Zatem:


P
T
Liceum » Ciągi liczbowe » #1146
0

Dany jest ciąg geometryczny . Wiemy, że . Iloraz tego ciągu wynosi:


P
T
Liceum » Ciągi liczbowe » #717
0

Wskaż ciąg geometryczny:


P
T

Zobacz zadania z działu ciągi liczbowe(81)


Komentarze (
1
):