Jesteś w: Matematyka
»
Tablice matematyczne
»
Liceum
»
Ciągi liczbowe
»
Ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny

Spis treści

Co to jest ciąg geometryczny?
N-ty wyraz ciągu geometrycznego.
Wzór ogólny ciągu geometrycznego.
Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.
Zależność między wyrazami ciągu geometrycznego.

Co to jest ciąg geometryczny?

Definicja: Ciąg geometryczny

Ciąg $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{(a_n)_{n \in \mathbb{N}}}$ nazywamy ciągiem geometrycznym jeżeli każdy wyraz tego ciągu począwszy od drugiego powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez pewną liczbę $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{q}$ (iloraz ciągu). Tzn, dla każdego $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{n}$ spełniony jest warunek:

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{a_{n+1}=a_n\cdot q}$

UWAGA!

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{q}$ nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego.

Przykład 1

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{1, 2, 4, 8, 16, ..., 256}$

Iloraz dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu wynosi $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{2}$ .

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{a_1=1}$

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{a_2=a_1 \cdot 2=1 \cdot 2=2}$

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{a_3=a_2 \cdot 2=2 \cdot 2=4}$

itd.

Do góry

N-ty wyraz ciągu geometrycznego.

Do góry

Definicja: N-ty wyraz ciągu geometrycznego

Chcąc obliczyć $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{n}$ -ty wyraz ciągu geometrycznego korzystamy ze wzoru:

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{a_n=a_1 \cdot q^{n-1}}$

Przykład 2

Oblicz czwarty wyraz ciągu geometrycznego, którego pierwszy wyraz jest równy $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{1}$ , a iloraz ciągu wynosi $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{2}$ .

Z danych w zadaniu wiemy, że:

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{n=4}$

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{a_1=1}$

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{q=2}$

Obliczamy czwarty wyraz tego ciągu, podstawiając dane z zadania do wzoru:

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{a_4=1 \cdot 2^{4-1} =2^3 =8}$

Zatem czwarty wyraz tego ciągu to $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{8}$ .

Do góry

Jeżeli $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{a_1 = 1}$ i $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{q=3}$ to $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{a_3}$ wynosi:

Jeżeli $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{a_1 = -2}$ i $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{q=3}$ to $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{a_4}$ wynosi:

Jeżeli $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{q = 3}$ i $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{a_3 = 18}$ to $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{a_1}$ wynosi:

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{9}$

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{-54}$

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{2}$

Wzór ogólny ciągu geometrycznego.

Do góry

Ciąg geometryczny można opisać podając wzór ogólny tego ciągu. Wzór ten wynika z wzoru na $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{n}$ - ty wyraz ciągu geometrycznego.

Przykład 3

Ciąg $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{(a_n)}$ jest dany wzorem ogólnym $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{a_n=2^n}$ . Sprawdź czy ten ciąg jest geometryczny.

Sprawdzamy czy istnieje liczba $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{q}$ taka, że:

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{a_{n+1}=a_n \cdot q}$

Zbadajmy zatem iloraz:

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{\cfrac{a_{n+1}}{a_n}}$

Jeżeli iloraz ten ma zawsze stałą wartość, to ciąg $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{(a_n)}$ będzie ciągiem geometrycznym.

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{a_n=2^n}$

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{a_{n+1}=2^{n+1}=2 \cdot 2^n}$

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=\cfrac{2 \cdot 2^n}{2^n}=2}$

Zatem iloraz wyrazu $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{a_{n+1}}$ przez $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{a_n}$ jest zawsze stały i wynosi $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{2}$ . Ciąg $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{(a_n)}$ jest geometryczny.

UWAGA!

Jak zapisać wzór ogólny ciągu geometrycznego $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{(a_n)}$ znając jego pierwszy wyraz oraz iloraz tego ciągu?

Podstawiamy te wartości do wzoru na $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{n}$ - ty wyraz ciągu geometrycznego.

Przykład 4

Napisz wzór ogólny ciągu geometrycznego, którego pierwszy wyraz wynosi $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{3}$ , a iloraz tego ciągu jest równy $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{ 4 }$ .

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{a_n=a_1 \cdot q^{n-1}=3 \cdot 4^{n-1}}$

Wzór ogólny tego ciągu geometrycznego to:

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{a_n=3 \cdot 4^{n-1}}$

Do góry

Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

Do góry

Oznaczmy przez $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{ S_n}$ sumę $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{n}$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, tzn, $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{ S_n=a_1+a_2+...+a_n}$ . Taką sumę możemy obliczyć korzystając ze wzoru:

Wzór: Suma n początkowych wyrazów ciagu geometrycznego.

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{S_n = \begin{cases} n \cdot a_1, & \text{ gdy } q=1 \\ a_1\cdot \cfrac{1-q^n}{1-q}, & \text{ gdy } q\neq1 \end{cases}}$

Przykład 5

Oblicz sumę $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{3}$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego danego wzorem ogólnym $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{ a_n=2^n}$ .

Aby obliczyć sumę korzystając z powyższego wzoru, należy najpierw obliczyć $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{a_1}$ i $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{q}$ :

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{a_1 = 2^1 = 2}$

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{q=\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=\cfrac{2^{n+1}}{2^n}=2}$

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{q=2}$ .

Podstawiamy wartości do wzoru na sumę $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{n}$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, przy czym za $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{n}$ podstawiamy $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{3}$ (bo liczymy sumę trzech wyrazów).

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{S_3= a_1\cdot \cfrac{1-q^n}{1-q} = 2 \cdot \cfrac{1 - 2^3}{1 - 2} = 2 \cdot \cfrac{1 - 8}{-1} = 2 \cdot 7 = 14}$

Przykład 6

Oblicz ile początkowych wyrazów ciągu geometrycznego $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{(a_n)}$ , danego wzorem ogólnym $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{a_n=4 \cdot 3^n}$ , należy zsumować, aby otrzymać sumę równą $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{480}$ .

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{S_n=a_1 \cdot \cfrac{1 - q^n}{1 - q}}$

Z treści zadania wiemy, że:

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{a_n=4 \cdot 3^n}$

Obliczmy, korzystając z tego wzoru pierwszy wyraz ciągu oraz jego iloraz.

Obliczamy pierwszy wyraz ciągu $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{(a_n)}$ :

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{a_1=4 \cdot 3^1=12}$

A teraz iloraz ciągu $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{(a_n)}$ :

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{ q=\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=\cfrac{4 \cdot 3^{n+1}}{4 \cdot 3^n}=\cfrac{4 \cdot 3^n \cdot 3}{4 \cdot 3^n} = 3}$

Czyli:

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{ a_1=12}$

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{ q=3}$

Podstawiamy te dane do wzoru na sumę $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{n}$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{ S_n= 12 \cdot \cfrac{1 - 3^n}{ 1 - 3 }=12 \cdot \cfrac{1 - 3^n}{ -2 } = -6 \cdot (1 - 3^n) = 6\cdot (3^n - 1)}$

Z treści zadania wiemy, że ta suma wynosi $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{480}$ .

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{ S_n= 6 \cdot (3^n - 1)=480}$

Otrzymaliśmy równanie, z którego obliczmy $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{ n}$ :

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{6 \cdot (3^n - 1)=480}$

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{3^n-1 =80}$

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{ 3^n =81}$

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{ n = 4}$

Zatem aby uzyskać sumę $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{480}$ dla rozważanego ciągu, należy zsumować $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{4}$ wyrazy.

Do góry

Wiemy, że $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{a_1=2}$ , $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{q=2}$ . Wtedy $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{S_{5}}$ wynosi:

Wiemy, że $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{a_n=4^{n-1}}$ . Wtedy $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{S_3}$ wynosi:

Wiemy, że $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{S_4=120}$ oraz, że $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{q=3}$ . Wtedy $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{a_1}$ wynosi:

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{62}$

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{21}$

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{3}$

Zależność między wyrazami ciągu geometrycznego.

Do góry

Jeżeli $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{a_{n-1},\ a_n,\ a_{n+1}}$ są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego dla $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{n \geq 2}$ to między nimi zachodzi zależność:

Wzór:

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{a_n^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}}$

Przykład 7

Wiadomo, że liczby $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{3,\ x,\ 27 }$ w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny. Oblicz $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{ x }$ .

To zadanie bardzo łatwo rozwiązać, korzystając z powyższej zależności między wyrazami ciągu geometrycznego.

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{x^2= 3\cdot 27= 81 }$

zatem

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{x=9}$ lub $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{x=-9}$

Do góry

Jeżeli $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{ a_1=2,\ a_3=8}$ to $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{a_2}$ jest równy:

Wyraz $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{ 4,\ 8,\ 2x+2}$ w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny. Wtedy $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{ x }$ jest równy:

Wyrazy $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{ 1,\ 2,\ x-2}$ w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny. Wtedy $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{ x }$ jest równy:

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{ 4 }$ lub $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{ -4 }$

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{7}$

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{6}$

Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Przydatne

Inne osoby czytały także

Zadania do przećwiczenia (6):

Liceum » Ciągi liczbowe » #49

Zbadaj czy ciąg $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{(a_n)}$ dany wzorem ogólnym $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{a_n=6 \cdot 2^{3n+1}}$ jest ciągiem geometrycznym.

Zobacz rozwiązanie

Podobne (5)

Liceum » Ciągi liczbowe » #501

Dane są dwa ciągi: $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{(a_n)}$ - ciąg arytmetyczny i $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{(b_n)}$ - ciąg geometryczny. Różnica ciągu $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{(a_n)}$ jest taka sama jak iloraz ciągu $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{(b_n)}$ . Wiadomo również, że $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{b_1=a_2,\ b_2=a_4,\ b_3=a_8}$ . Oblicz:

a) różnicę ciągu $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{(a_n)}$

b) $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{a_8}$

c) $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{b_7}$

d) sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{(a_n)}$

Zobacz rozwiązanie

Podobne (6)

Liceum » Ciągi liczbowe » #713

Dany jest ciąg geometryczny $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{(b_n),\ n \in \mathbb{N}}$ . Jeżeli $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{q=3}$ oraz $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{a_1=3}$ to n-ty wyraz tego ciągu jest dany wzorem:

Zobacz rozwiązanie

Podobne (1)

Liceum » Ciągi liczbowe » #1117

Liczby $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{\cfrac{3}{4},\ 1-x,\ \cfrac{3}{16}}$ tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich. Zatem:

Zobacz rozwiązanie

Podobne (4)

Liceum » Ciągi liczbowe » #1146

Dany jest ciąg geometryczny $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{(c_n)}$ . Wiemy, że $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{c_n=13^{n-13}}$ . Iloraz tego ciągu wynosi: