Ciąg geometryczny

0

Spis treści

  1. Co to jest ciąg geometryczny?
  2. N-ty wyraz ciągu geometrycznego.
  3. Wzór ogólny ciągu geometrycznego.
  4. Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.
  5. Zależność między wyrazami ciągu geometrycznego.

Co to jest ciąg geometryczny?

 

Definicja: Ciąg geometryczny

Ciąg [tex](a_n)_{n \in \mathbb{N}}[/tex] nazywamy ciągiem geometrycznym jeżeli każdy wyraz tego ciągu począwszy od drugiego powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez pewną liczbę [tex]q[/tex] (iloraz ciągu). Tzn, dla każdego [tex]n[/tex] spełniony jest warunek:

[tex]a_{n+1}=a_n\cdot q[/tex]

UWAGA!

[tex]q[/tex]  nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego.

 

 

Przykład 1

[tex]1, 2, 4, 8, 16, ..., 256[/tex]

 

Iloraz dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu wynosi [tex]2[/tex].

[tex]a_1=1[/tex]

[tex]a_2=a_1 \cdot 2=1 \cdot 2=2[/tex]

[tex]a_3=a_2 \cdot 2=2 \cdot 2=4[/tex]

itd.

Do góry
  • Czy poniższe ciągi są ciągami geometrycznymi?
    Approved-icon Alert-icon
  • $1,3,9,27,...$
  • $-1,-2,-4,...$
  • $1,3,5,7,...$
  • $-1,3,-9,27,...$

N-ty wyraz ciągu geometrycznego.

Do góry

 

Definicja: N-ty wyraz ciągu geometrycznego

Chcąc obliczyć [tex]n[/tex]-ty wyraz ciągu geometrycznego korzystamy ze wzoru:

[tex]a_n=a_1 \cdot  q^{n-1}[/tex]

 

Przykład 2

Oblicz czwarty wyraz ciągu geometrycznego, którego pierwszy wyraz jest równy [tex]1[/tex], a iloraz ciągu wynosi [tex]2[/tex].

Z danych  w zadaniu wiemy, że:

 

[tex]n=4[/tex]

[tex]a_1=1[/tex]

[tex]q=2[/tex]

Obliczamy czwarty wyraz tego ciągu, podstawiając dane z zadania do wzoru:

[tex]a_4=1 \cdot 2^{4-1} =2^3 =8[/tex]

Zatem czwarty wyraz tego ciągu to [tex]8[/tex].

Do góry
Dopasuj elementy po prawej stronie do elementów po stronie lewej:
Jeżeli $a_1 = 1$ i $q=3$ to $a_3$ wynosi:
Jeżeli $a_1 = -2$ i $q=3$ to $a_4$ wynosi:
Jeżeli $q = 3$ i $a_3 = 18$ to $a_1$ wynosi:
$9$
$-54$
$2$

Wzór ogólny ciągu geometrycznego.

Do góry

Ciąg geometryczny można opisać podając wzór ogólny tego ciągu. Wzór ten wynika z wzoru na [tex]n[/tex] - ty wyraz ciągu geometrycznego.

 

Przykład 3

Ciąg [tex](a_n)[/tex] jest dany wzorem ogólnym [tex]a_n=2^n[/tex]. Sprawdź czy ten ciąg jest geometryczny.

 

Sprawdzamy czy istnieje liczba [tex]q[/tex] taka, że:

[tex]a_{n+1}=a_n \cdot q[/tex]

Zbadajmy zatem iloraz:

[tex]\cfrac{a_{n+1}}{a_n}[/tex]

Jeżeli iloraz ten ma zawsze stałą wartość, to ciąg [tex](a_n)[/tex] będzie ciągiem geometrycznym.

[tex]a_n=2^n[/tex]

[tex]a_{n+1}=2^{n+1}=2 \cdot 2^n[/tex]

[tex]\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=\cfrac{2 \cdot 2^n}{2^n}=2[/tex]

Zatem iloraz wyrazu [tex]a_{n+1}[/tex] przez [tex]a_n[/tex] jest zawsze stały i wynosi [tex]2[/tex]. Ciąg [tex](a_n)[/tex] jest geometryczny.

 

UWAGA!

Jak zapisać wzór ogólny ciągu geometrycznego [tex](a_n)[/tex] znając jego pierwszy wyraz oraz iloraz tego ciągu?

Podstawiamy te wartości do wzoru na [tex]n[/tex] - ty wyraz ciągu geometrycznego.

 

Przykład 4

Napisz wzór ogólny ciągu geometrycznego, którego pierwszy wyraz wynosi [tex]3[/tex], a iloraz tego ciągu jest równy [tex] 4 [/tex].

[tex]a_n=a_1 \cdot q^{n-1}=3 \cdot 4^{n-1}[/tex]

Wzór ogólny tego ciągu geometrycznego to:

[tex]a_n=3 \cdot 4^{n-1}[/tex]

Do góry
  • Zaznacz co jest prawdą a co fałszem
    Approved-icon Alert-icon
  • Jeżeli $ a_1=5 $ i $q= 3 $ to $a_n=5 \cdot 3^{n-1} $
  • Jeżeli $a_1= -1 $ i $q= 4 $ to $a_n=- 4^n $
  • Jeżeli $a_n=\cfrac{1}{2} \cdot 3^{n-1}$ to $a_3=4.5$
  • Jeżeli $a_1= 6 $ i $q= 2 $ to $a_n=3 \cdot 2^n $
  • Jeżeli $a_n=2^{n-1}$ to $q=\cfrac{1}{2}$.

Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

Do góry

Oznaczmy przez [tex] S_n[/tex] sumę [tex]n[/tex] początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, tzn, [tex] S_n=a_1+a_2+...+a_n[/tex]. Taką sumę możemy obliczyć korzystając ze wzoru:

 

Wzór: Suma n początkowych wyrazów ciagu geometrycznego.

[tex]S_n = \begin{cases}
n \cdot a_1, & \text{ gdy } q=1 \\
a_1\cdot \cfrac{1-q^n}{1-q}, & \text{ gdy } q\neq1 
\end{cases}[/tex]

 

Przykład 5

Oblicz sumę [tex]3[/tex] początkowych wyrazów ciągu geometrycznego danego wzorem ogólnym [tex] a_n=2^n[/tex].

Aby obliczyć sumę korzystając  z powyższego wzoru, należy najpierw obliczyć [tex]a_1[/tex] i [tex]q[/tex]:

[tex]a_1 = 2^1 = 2[/tex]

[tex]q=\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=\cfrac{2^{n+1}}{2^n}=2[/tex]

[tex]q=2[/tex].

Podstawiamy wartości do wzoru na sumę [tex]n[/tex] początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, przy czym za [tex]n[/tex] podstawiamy [tex]3[/tex] (bo liczymy sumę trzech wyrazów).

[tex]S_3= a_1\cdot \cfrac{1-q^n}{1-q} = 2 \cdot \cfrac{1 - 2^3}{1 - 2} = 2 \cdot \cfrac{1 - 8}{-1} = 2 \cdot 7 = 14[/tex]


Przykład 6

Oblicz ile początkowych wyrazów ciągu geometrycznego [tex](a_n)[/tex], danego wzorem ogólnym [tex]a_n=4 \cdot 3^n[/tex], należy zsumować, aby otrzymać sumę równą [tex]480[/tex].

[tex]S_n=a_1 \cdot \cfrac{1 - q^n}{1 - q}[/tex]

Z treści zadania wiemy, że:

[tex]a_n=4 \cdot 3^n[/tex]

Obliczmy, korzystając z tego wzoru pierwszy wyraz ciągu oraz jego iloraz.

Obliczamy pierwszy wyraz ciągu [tex](a_n)[/tex]:

[tex]a_1=4 \cdot 3^1=12[/tex]

A teraz iloraz ciągu [tex](a_n)[/tex]:

[tex] q=\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=\cfrac{4 \cdot 3^{n+1}}{4 \cdot 3^n}=\cfrac{4 \cdot 3^n \cdot 3}{4 \cdot 3^n} = 3[/tex]

Czyli:

[tex] a_1=12[/tex]

[tex] q=3[/tex]

 

Podstawiamy te dane do wzoru na sumę [tex]n[/tex] początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:

[tex] S_n= 12 \cdot \cfrac{1 - 3^n}{ 1 - 3 }=12 \cdot \cfrac{1 - 3^n}{ -2 } = -6 \cdot (1 - 3^n) = 6\cdot (3^n - 1)[/tex]

Z treści zadania wiemy, że ta suma wynosi [tex]480[/tex].

[tex] S_n= 6 \cdot (3^n - 1)=480[/tex]

Otrzymaliśmy równanie, z którego obliczmy [tex] n[/tex]:

[tex]6 \cdot (3^n - 1)=480[/tex]

[tex]3^n-1 =80[/tex]

[tex] 3^n =81[/tex]

[tex] n = 4[/tex]

Zatem aby uzyskać sumę [tex]480[/tex] dla rozważanego ciągu, należy zsumować [tex]4[/tex] wyrazy.

Do góry
Dopasuj elementy po prawej do elementów po lewej. Zakładamy, że ciągi są geometryczne.
Wiemy, że $a_1=2$, $q=2$. Wtedy $S_{5}$ wynosi:
Wiemy, że $a_n=4^{n-1}$. Wtedy $S_3$ wynosi:
Wiemy, że $S_4=120$ oraz, że $q=3$. Wtedy $a_1$ wynosi:
$62$
$21$
$3$

Zależność między wyrazami ciągu geometrycznego.

Do góry

Jeżeli [tex]a_{n-1},\ a_n,\ a_{n+1}[/tex] są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego dla [tex]n \geq 2[/tex]  to między nimi zachodzi zależność:

Wzór:  

[tex]a_n^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}[/tex]

 

Przykład 7

Wiadomo, że liczby [tex]3,\ x,\ 27 [/tex] w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny. Oblicz [tex] x [/tex].

To zadanie bardzo łatwo rozwiązać, korzystając z powyższej zależności między wyrazami ciągu geometrycznego.

[tex]x^2= 3\cdot 27= 81 [/tex]

zatem

[tex]x=9[/tex] lub [tex]x=-9[/tex]

Do góry
Dopasuj elementy po prawej do elementów po lewej. Zakładamy, że ciągi są geometryczne.
Jeżeli $ a_1=2,\ a_3=8$ to $a_2$ jest równy:
Wyraz $ 4,\ 8,\ 2x+2$ w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny. Wtedy $ x $ jest równy:
Wyrazy $ 1,\ 2,\ x-2$ w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny. Wtedy $ x $ jest równy:
$ 4 $ lub $ -4 $
$7$
$6$


Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Zadania do przećwiczenia (4):

Liceum » Ciągi liczbowe » #49
0

Zbadaj czy ciąg [tex](a_n)[/tex] dany wzorem ogólnym  [tex]a_n=6 \cdot 2^{3n+1}[/tex] jest ciągiem geometrycznym.

P
K
Zobacz rozwiązanie
Podobne (5)
Liceum » Ciągi liczbowe » #501
1

Dane są dwa ciągi: [tex](a_n)[/tex] - ciąg arytmetyczny i [tex](b_n)[/tex] - ciąg geometryczny. Różnica ciągu [tex](a_n)[/tex] jest taka sama jak iloraz ciągu [tex](b_n)[/tex]. Wiadomo również, że [tex]b_1=a_2,\ b_2=a_4,\ b_3=a_8[/tex]. Oblicz:

a) różnicę ciągu [tex](a_n)[/tex]

b) [tex]a_8[/tex]

c) [tex]b_7[/tex]

d) sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu [tex](a_n)[/tex]

P
D
Zobacz rozwiązanie
Podobne (6)
Liceum » Ciągi liczbowe » #713
0

Dany jest ciąg geometryczny [tex](b_n),\ n \in \mathbb{N}[/tex]. Jeżeli [tex]q=3[/tex] oraz [tex]a_1=3[/tex] to n-ty wyraz tego ciągu jest dany wzorem:

P
T
Zobacz rozwiązanie
Podobne (1)
Liceum » Ciągi liczbowe » #717
0

Wskaż ciąg geometryczny:

P
T
Zobacz rozwiązanie
Podobne (1)

Komentarze (
0
):