1. Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego
  2. Suma ciągu geometrycznego
  3. Zależność między wyrazami ciągu geometrycznego
  4. Ciąg geometryczny wzory

Co to jest ciąg geometryczny?

 

Definicja: Ciąg geometryczny

Ciąg (a_n)_{n \in \mathbb{N}} nazywamy ciągiem geometrycznym jeżeli każdy wyraz tego ciągu począwszy od drugiego powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez pewną liczbę q (iloraz ciągu). Tzn, dla każdego n spełniony jest warunek:

a_{n+1}=a_n* q

UWAGA!

q  nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego.

 

 

Przykład 1

1, 2, 4, 8, 16, ..., 256

 

Iloraz dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu wynosi 2.

a_1=1

a_2=a_1 * 2=1 * 2=2

a_3=a_2 * 2=2 * 2=4

itd.

Czy poniższe ciągi są ciągami geometrycznymi?

Wzór ogólny ciągu geometrycznego.

Ciąg geometryczny można opisać podając wzór ogólny tego ciągu. Wzór ten wynika z wzoru na n - ty wyraz ciągu geometrycznego.

 

Przykład 3

Ciąg (a_n) jest dany wzorem ogólnym a_n=2^n. Sprawdź czy ten ciąg jest geometryczny.

 

Sprawdzamy czy istnieje liczba q taka, że:

a_{n+1}=a_n * q

Zbadajmy zatem iloraz:

\cfrac{a_{n+1}}{a_n}

Jeżeli iloraz ten ma zawsze stałą wartość, to ciąg (a_n) będzie ciągiem geometrycznym.

a_n=2^n

a_{n+1}=2^{n+1}=2 * 2^n

\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=\cfrac{2 * 2^n}{2^n}=2

Zatem iloraz wyrazu a_{n+1} przez a_n jest zawsze stały i wynosi 2. Ciąg (a_n) jest geometryczny.

 

UWAGA!

Jak zapisać wzór ogólny ciągu geometrycznego (a_n) znając jego pierwszy wyraz oraz iloraz tego ciągu?

Podstawiamy te wartości do wzoru na n - ty wyraz ciągu geometrycznego.

 

Przykład 4

Napisz wzór ogólny ciągu geometrycznego, którego pierwszy wyraz wynosi 3, a iloraz tego ciągu jest równy  4 .

a_n=a_1 * q^{n-1}=3 * 4^{n-1}

Wzór ogólny tego ciągu geometrycznego to:

a_n=3 * 4^{n-1}

Zaznacz co jest prawdą a co fałszem

Jeżeli  a_1=5 i q= 3 to a_n=5 * 3^{n-1}
Jeżeli a_1= -1 i q= 4 to a_n=- 4^n
Jeżeli a_n=\cfrac{1}{2} * 3^{n-1} to a_3=4.5
Jeżeli a_1= 6 i q= 2 to a_n=3 * 2^n
Jeżeli a_n=2^{n-1} to q=\cfrac{1}{2}.

Zadanie 1

Wskaż ciąg geometryczny:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego  (a_n)  są potęgi liczby 3. Oblicz a_5.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Drugi wyraz ciągu geometrycznego jest równy 6, a czwarty 54. Zatem pierwszy wyraz tego ciągu to:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Wiadomo, że ciąg 1,\ 2,\ 4,... jest ciągiem geometrycznym. Jaki jest kolejny wyraz tego ciągu?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Ile wynosi iloraz następującego ciągu geometrycznego:

\cfrac{4}{3},\ -\cfrac{4}{9},\ \cfrac{4}{27},\ -\cfrac{4}{81}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Zbadaj czy ciąg (a_n) dany wzorem ogólnym  a_n=6 * 2^{3n+1} jest ciągiem geometrycznym.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

Który z wzorów określa wyraz ogólny ciągu geometrycznego?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

Dany jest ciąg geometryczny (c_n). Wiemy, że c_n=23^{n-15}. Iloraz tego ciągu wynosi:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

Dane są dwa ciągi: (a_n) - ciąg arytmetyczny i (b_n) - ciąg geometryczny. Różnica ciągu (a_n) jest taka sama jak iloraz ciągu (b_n). Wiadomo również, że b_1=a_2,\ b_2=a_4,\ b_3=a_8. Oblicz:

a) różnicę ciągu (a_n)

b) a_8

c) b_7

d) sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu (a_n)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

Wyznacz wzór ogólny ciągu geometrycznego (a_n), wiedząc że jego iloraz i wyraz pierwszy są liczbami dodatnimi oraz

a_2 * a_4=\cfrac{16}{9}

a_3 * a_5=\cfrac{64}{9} .

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

1 komentarz

  1. Default avatar
    czapa220793lol 17.06.2012 15:01

    wtf dułka z masłem

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz