1. Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego
  2. Suma ciągu geometrycznego
  3. Zależność między wyrazami ciągu geometrycznego
  4. Ciąg geometryczny wzory
Drukuj

Co to jest ciąg geometryczny?

 

Definicja: Ciąg geometryczny

Ciąg (a_n)_{n \in \mathbb{N}} nazywamy ciągiem geometrycznym jeżeli każdy wyraz tego ciągu począwszy od drugiego powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez pewną liczbę q (iloraz ciągu). Tzn, dla każdego n spełniony jest warunek:

a_{n+1}=a_n* q

UWAGA!

q  nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego.

 

 

Przykład 1

1, 2, 4, 8, 16, ..., 256

 

Iloraz dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu wynosi 2.

a_1=1

a_2=a_1 * 2=1 * 2=2

a_3=a_2 * 2=2 * 2=4

itd.

Czy poniższe ciągi są ciągami geometrycznymi?

Ćwiczenia są dostępne dla zalogowanych uzytkowników posiadających konto premium

Wzór ogólny ciągu geometrycznego.

Ciąg geometryczny można opisać podając wzór ogólny tego ciągu. Wzór ten wynika z wzoru na n - ty wyraz ciągu geometrycznego.

 

Przykład 3

Ciąg (a_n) jest dany wzorem ogólnym a_n=2^n. Sprawdź czy ten ciąg jest geometryczny.

 

Sprawdzamy czy istnieje liczba q taka, że:

a_{n+1}=a_n * q

Zbadajmy zatem iloraz:

\cfrac{a_{n+1}}{a_n}

Jeżeli iloraz ten ma zawsze stałą wartość, to ciąg (a_n) będzie ciągiem geometrycznym.

a_n=2^n

a_{n+1}=2^{n+1}=2 * 2^n

\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=\cfrac{2 * 2^n}{2^n}=2

Zatem iloraz wyrazu a_{n+1} przez a_n jest zawsze stały i wynosi 2. Ciąg (a_n) jest geometryczny.

 

UWAGA!

Jak zapisać wzór ogólny ciągu geometrycznego (a_n) znając jego pierwszy wyraz oraz iloraz tego ciągu?

Podstawiamy te wartości do wzoru na n - ty wyraz ciągu geometrycznego.

 

Przykład 4

Napisz wzór ogólny ciągu geometrycznego, którego pierwszy wyraz wynosi 3, a iloraz tego ciągu jest równy  4 .

a_n=a_1 * q^{n-1}=3 * 4^{n-1}

Wzór ogólny tego ciągu geometrycznego to:

a_n=3 * 4^{n-1}

Zaznacz co jest prawdą a co fałszem

Ćwiczenia są dostępne dla zalogowanych uzytkowników posiadających konto premium

Zadanie 1

Wskaż ciąg geometryczny:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego  (a_n)  są potęgi liczby 3. Oblicz a_5.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Drugi wyraz ciągu geometrycznego jest równy 6, a czwarty 54. Zatem pierwszy wyraz tego ciągu to:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Wiadomo, że ciąg 1,\ 2,\ 4,... jest ciągiem geometrycznym. Jaki jest kolejny wyraz tego ciągu?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Ile wynosi iloraz następującego ciągu geometrycznego:

\cfrac{4}{3},\ -\cfrac{4}{9},\ \cfrac{4}{27},\ -\cfrac{4}{81}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6
Premium

Zbadaj czy ciąg (a_n) dany wzorem ogólnym  a_n=6 * 2^{3n+1} jest ciągiem geometrycznym.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7
Premium

Który z wzorów określa wyraz ogólny ciągu geometrycznego?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8
Premium

Dany jest ciąg geometryczny (c_n). Wiemy, że c_n=23^{n-15}. Iloraz tego ciągu wynosi:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9
Premium

Dane są dwa ciągi: (a_n) - ciąg arytmetyczny i (b_n) - ciąg geometryczny. Różnica ciągu (a_n) jest taka sama jak iloraz ciągu (b_n). Wiadomo również, że b_1=a_2,\ b_2=a_4,\ b_3=a_8. Oblicz:

a) różnicę ciągu (a_n)

b) a_8

c) b_7

d) sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu (a_n)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10
Premium

Wyznacz wzór ogólny ciągu geometrycznego (a_n), wiedząc że jego iloraz i wyraz pierwszy są liczbami dodatnimi oraz

a_2 * a_4=\cfrac{16}{9}

a_3 * a_5=\cfrac{64}{9} .

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

1 komentarz

  1. Default avatar
    czapa220793lol 17.06.2012 15:01

    wtf dułka z masłem

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz