Co to jest ciąg rekurencyjny?

Definiując ciąg \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} rekurencyjnie, podajemy jego pierwszy wyraz, oraz wzór jak obliczyć n+1-wszy wyraz ciągu na podstawie wyrazu n -tego.

Spójrz na przykłady:

\left\{\begin{matrix} a_1&=&3\\  a_{n+1}&=&2a_n+3 \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} b_1&=&1\\  b_{n+1}&=&b_n-8 \end{matrix}\right.

 

Przykład 1

Ciąg \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} dany jest rekurencyjnie:

\left\{\begin{matrix} a_1&=&3\\  a_{n+1}&=&2^n * a_n-4 \end{matrix}\right..

Oblicz trzeci wyraz tego ciągu.

Mamy dany wyraz pierwszy:

a_1=3

Musimy obliczyć wyraz drugi, aby kolejno obliczyć wyraz trzeci.

a_2=2^1 * a_1 -4=2 * 3 -4=2

a_3=2^2 * a_2 -4=4 * 2  -4=4

Trzeci wyraz tego ciągu to  a_3=4.

 

 

Przykład 2

Oblicz czwarty wyraz ciągu \{b_n\}_{n \in \mathbb{N}} danego rekurencyjnie:

 

\left\{\begin{matrix} b_1&=&-2\\  b_{n+1}&=&b_n^2 +b_n-6 \end{matrix}\right..

b_1=-2

b_2=b_1^2 +b_1-6=(-2)^2-2-6=-4

b_3=b_2^2 +b_2-6=(-4)^2-4-6=6

b_4=b_3^2 +b_3-6=6^2+6-6=36

Czwarty wyraz ciągu \{b_n\}_{n \in \mathbb{N}}  to b_4=36.

Dany jest rekurencyjnie ciąg \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}: \left\{\begin{matrix} a_1 = -1\\ a_{n+1}=3a_n^2\end{matrix}\right.


Zadanie 1

Ciąg (a_n) dany jest rekurencyjnie

\left\{\begin{matrix}a_1=2 \\ a_{n+1}=a_n+5\end{matrix}\right..

Znajdź wzór ogólny tego ciągu, a następnie oblicz sumę 10 początkowych wyrazów tego ciągu.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Ciąg (a_n)_{n \in \mathbb{N}} opisany jest rekurencyjnie:

\left\{\begin{matrix}a_1=1 \\ a_{n+1}=a_n(n+1)\end{matrix}\right.

Znajdź wzór ogólny ciągu (a_n)_{n \in \mathbb{N}}.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz