1. Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego
  2. Suma ciągu arytmetycznego
  3. Zależność między wyrazami ciągu arytmetycznego
  4. Ciąg arytmetyczny wzory

Definicja ciągu arytmetycznego

Definicja: Ciąg arytmetyczny.

Ciąg liczbowy (a_n)_{n \in \mathbb{N}} nazywamy arytmetycznym, jeżeli  dla każdego n wyrażenie a_{n+1}-a_n ma stałą wartość równą r. Czyli:

a_{n+1}-a_n=r

Inaczej mówiąc ciąg ten powstaje w ten sposób, że do n - tego wyrazu tego ciągu dodajemy r i otrzymujemy wyraz n+1.

UWAGA!

r  nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.

Przykład:

1, 3, 5, 7, 9, ..., 21

Różnica między dwoma kolejnymi wyrazami tego ciągu wynosi 2.

a_1=1

a_2=a_1+2=1+2=3

a_3=a_2+2=3+2=5

itd.

Oceń czy poniższe ciągi są arytmetyczne:

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego

Ciąg arytmetyczny można opisać podając wzór ogólny tego ciągu. Wzór ten wynika z wzoru na n - ty wyraz ciągu arytmetycznego.

Przykład:

Sprawdź czy ciąg  (a_n) dany wzorem ogólnym a_n=2n-1 jest arytmetyczny.

 

Sprawdzamy zgodnie z definicją różnicę:

a_{n+1}-a_n

Jeżeli różnica ta ma zawsze stałą wartość, to ciąg (a_n) będzie ciągiem arytmetycznym.

a_n=2n-1

a_{n+1}=2(n+1)-1=2n+2-1=2n+1

a_{n+1}-a_n=2n+1-(2n-1)=2n+1-2n+1=2

Zatem różnica między kolejnymi wyrazami tego ciągu jest zawsze stała i wynosi 2. Ciąg (a_n) jest arytmetyczny.

 

 

Jak zapisać wzór ogólny ciągu arytmetycznego (a_n) znając jego pierwszy wyraz oraz różnicę tego ciągu?

Podstawiamy te wartości do wzoru na n - ty wyraz ciągu arytmetycznego i wyliczamy. Jak? Zobacz na poniższym przykładzie:

Przykład:

Napisz wzór ogólny ciągu arytmetycznego, którego pierwszy wyraz wynosi 3, a różnica tego ciągu jest równa 5.

a_n=a_1+(n-1)r=3+(n-1)* 5=3+5n-5=5n-2

Wzór ogólny tego ciągu arytmetycznego to:

a_n=5n-2

Zaznacz, które zdania są prawdziwe, a które fałszywe. Zakładamy, że ciągi są arytmetyczne.

Jeżeli a_1= 4 i r= 5 to a_n=5n-1
Jeżeli a_n=4n-1 to a_5=20
Jeżeli a_n=3n-2 to r=2

Zadanie 1

Wiadomo, że ciąg 0,\ 2,\ 4,... jest ciągiem arytmetycznym. Jaki jest kolejny wyraz tego ciągu?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Wyrazami ciągu arytmetycznego (a_n) są kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez 4 dają resztę  3. Oblicz a_9.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Piąty wyraz ciągu arytmetycznego to 15 i jest on o 6 większy od wyrazu trzeciego. Oblicz różnicę tego ciągu.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Ile wynosi różnica następującego ciągu arytmetycznego:

\cfrac{3}{2},\ \cfrac{27}{10},\ \cfrac{39}{10},\ \cfrac{51}{10}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Wskaż ciąg arytmetyczny:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Dany jest ciąg (a_n) określony wzorem a_n = \cfrac{5 - 2n}{6} dla n \ge 1. Ciąg ten jest:

Rozwiązanie video

Zadanie 7

Znajdź trzy liczby takie, że wstawione między liczby 4 oraz 16 tworzą ciąg arytmetyczny.

 

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem S_n=n(n+2). Oblicz różnicę tego ciągu, oraz jego czwarty wyraz.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

Dany jest ciąg arytmetyczny (a_n). Wyraz ogólny tego ciągu dany jest wzorem a_n=22+7n. Zatem różnica tego ciągu wynosi:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

Podaj wzór funkcji, która każdej liczbie naturalnej, przyporządkowuje n-ty wyraz ciągu arytmetycznego o różnicy 3 i pierwszym wyrazie równym 4 .

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

Znajdź trzy liczby takie, że wstawione między liczby 3 oraz 15 tworzą ciąg arytmetyczny.

 

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12

Liczby 6,\ x+5,\ 18 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Zatem liczba x  jest równa:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13

Wyznacz wzór ogólny ciągu arytmetycznego (b_n), wiedząc że

b_1 + b_5=7

b_2 + b_3=\cfrac{25}{4}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14

Wiek Ani, Bartka, Celiny i Dawida w podanej kolejności tworzy ciąg arytmetyczny. Suma wieku wszystkich dzieci wynosi 24. Wiemy też, że Celina ma 7 lat. Oblicz ile lat mają pozostałe dzieci..

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15

Który z wzorów określa wyraz ogólny ciągu arytmetycznego?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 16

Podaj wzór funkcji, która każdej liczbie naturalnej, przyporządkowuje n-ty wyraz ciągu arytmetycznego o różnicy 2 i pierwszym wyrazie równym 3.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 17

Dany jest ciąg arytmetyczny (a_n). Wiedząc, że a_3=9 oraz a_7=21 wyznacz wszystkie wyrazy tego ciągu, które są mniejsze od 17.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

5 komentarzy

  1. Karolinax21 20111126195455 thumb
    karolinax21 27.11.2011 14:51

    Wiemy, że S5=40 oraz, że r=3. Wtedy a1 wynosi: jak to zrobic bo nie wiem ? ;(

  2. Kasiad 20111204135107 thumb
    Kasiad 20.01.2012 18:35

    Lekcja naprawdę dobra. Super dobrane przykłady :D

  3. Default avatar
    konto-usuniete 21.01.2012 17:32

    Dziękujemy za pozytywną opinię:)

  4. Default avatar
    Arturo1466 11.11.2012 08:35

    Nie moge wgl tego zczaić.. ;/

  5. Marina147 20140210215013 thumb
    Marina147 17.02.2014 13:41

    Nie jest trudny ten dział, tylko trzeba dobrze pomyśleć. Fajne przykłady, zadania itp. z ciągami geometrycznymi jest trudniej, ale nie tak zle:)....

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz