Drukuj

Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

Oznaczmy przez  S_n sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, tzn,  S_n=a_1+a_2+...+a_n. Taką sumę możemy obliczyć korzystając ze wzoru:

Wzór: Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

 S_n=\cfrac{(a_1+a_n)n}{2}

Korzystając z tego, że

a_n=a_1+(n-1)r

wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego możemy także zapisać jako:

  S_n=\cfrac{(a_1+a_n)n}{2}=\cfrac{[a_1+a_1+(n-1)r]n}{2}=\cfrac{[2a_1+(n-1)r]n}{2}

 

Przykład:
Oblicz sumę 5 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego danego wzorem ogólnym  a_n=5n-1.

 

Aby skorzystać ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, musimy znać pierwszy i n - ty wyraz ciągu.

W zadaniu mam dany ciąg za pomocą wzoru ogólnego:

 a_n=5n-1

I mamy obliczyć sumę pięciu początkowych wyrazów tego ciągu. Obliczamy zatem, za pomocą wzoru ogólnego wyraz pierwszy i piąty:

 a_1=5 * 1-1=4

 a_5=5 * 5-1=24

Podstawiamy wartości do wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, przy czym za n podstawiamy 5 ( bo liczymy sumę pięciu wyrazów).

 S_5=\cfrac{(a_1+a_5)* 5}{2}=\cfrac{(4+24)* 5}{2}=70

 

 

Przykład2:

Oblicz ile początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (a_n) , danego wzorem ogólnym a_n=5n+2, należy zsumować, aby otrzymać sumę równą 295.

 

S_n=\cfrac{[2a_1+(n-1)r]n}{2}

Z treści zadania wiemy, że:

a_n=5n+2

Obliczmy, korzystając z tego wzoru pierwszy wyraz ciągu oraz jego różnicę.

Pierwszy wyraz ciągu (a_n):

 a_1=5* 1+2=7

A teraz różnicę ciągu (a_n):

 r=a_{n+1}-a_n=5(n+1)+2-(5n+2)=5n+5+2-5n-2=5

Czyli:

 a_1=7

 r=5

 

Podstawiamy te dane do wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:

 S_n=\cfrac{(2* 7+(n-1)* 5)n}{2}=\cfrac{(14+5n-5)n}{2}=\cfrac{(9+5n)n}{2}

Z treści zadania wiemy, że ta suma wynosi 295.

 S_n=\cfrac{(9+5n)n}{2}=295

Otrzymaliśmy równanie, z którego obliczmy  n:

 \cfrac{(9+5n)n}{2}=295

 (9+5n)n=295* 2

 (9+5n)n=590

 9n+5n^2=590

 5n^2+9n-590=0

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe:

Obliczamy \Delta:

 \Delta=b^2-4ac=(-9)^2-4* 5* (-590)=81+11800=11881

Obliczamy pierwiastek \sqrt{\Delta}:

\sqrt{\Delta}=\sqrt{11881}=109

Obliczamy pierwiastki równania kwadratowego:

 n_1=\cfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\cfrac{-9+109}{10}=\cfrac{100}{10}=10

  n_2=\cfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\cfrac{-9-109}{10}<0  to rozwiązanie odrzucamy, ponieważ n jest ilością zsumowanych wyrazów, więc nie może być liczbą ujemną.

 


Zadanie 1

Oblicz sumę pięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego  (a_n) wiedząc, że:

r=4

a_1=3

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Dany jest ciąg arytmetyczny (a_n). Wiedząc, że a_3=9 oraz a_7=21 oblicz sumę pierwszych siedmiu wyrazów tego ciągu.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (a_n),\ n\in \mathbb{N}, danego wzorem ogólnym a_n=3n+2.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych od 10 do 100.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem S_n=n(n+2). Oblicz różnicę tego ciągu, oraz jego czwarty wyraz.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Suma naturalnych liczb parzystych, mniejszych od 50 wynosi:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

Suma naturalnych liczb parzystych, mniejszych od 70 wynosi:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

Jaś odkłada do skarbonki co miesiąc o 5 złotych więcej niż w poprzednim. W pierwszym miesiącu oszczędzania włożył do skarbonki 10  zł. Oblicz jaką kwotę uzbiera Jaś po dwóch latach oszczędzania.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9
Premium

Wiek Ani, Bartka, Celiny i Dawida w podanej kolejności tworzy ciąg arytmetyczny. Suma wieku wszystkich dzieci wynosi 24. Wiemy też, że Celina ma 7 lat. Oblicz ile lat mają pozostałe dzieci..

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10
Premium

Wyznacz sumę wszystkich wyrazów ciągu arytmetycznego (b_n), które są mniejsze od sześciu, wiedząc że:

b_1 + b_5=7

b_2 + b_3=\cfrac{25}{4}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11
Premium

Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych od 21 do 81.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12
Premium

Ciąg (a_n)n\in \mathbb{N} tworzą kolejne liczby, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 4. Oblicz sumę 20 początkowych wyrazów tego ciągu.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13
Premium

Dany jest ciąg arytmetyczny (a_n). Wiemy, że pierwszy wyraz tego ciągu to 3, natomiast różnica tego ciągu wynosi 6. Suma n początkowych wyrazów tego ciągu wyraża się wzorem ogólnym:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14
Premium

Dane są dwa ciągi: (a_n) - ciąg arytmetyczny i (b_n) - ciąg geometryczny. Różnica ciągu (a_n) jest taka sama jak iloraz ciągu (b_n). Wiadomo również, że b_1=a_2,\ b_2=a_4,\ b_3=a_8. Oblicz:

a) różnicę ciągu (a_n)

b) a_8

c) b_7

d) sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu (a_n)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15
Premium

Ciąg (a_n)_{n \geq 1} jest ciągiem arytmetycznym, o wyrazach dodatnich. Wiedząc, że:

a_2+a_3+a_4=27,

\cfrac{1}{a_2}+\cfrac{1}{a_3}+\cfrac{1}{a_4}=\cfrac{13}{36},

oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 16
Premium

Rozwiąż równanie

\left(\cfrac{x}{2}+5\right)+\left(\cfrac{x}{2}+10\right)+\left(\cfrac{x}{2}+15\right)+...+\left(\cfrac{x}{2}+50\right)=310

jeżeli wiadomo, że składniki po lewej stronie tworzą ciąg arytmetyczny.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz