1. Wzór na deltę

Co to jest równanie kwadratowe?

Równanie kwadratowe

Równanie kwadratowe to równanie postaci

ax^2+bx+c=0

gdzie:

a \neq 0 \quad a,b,c \in \mathbb{R} - współczynniki równania kwadratowego

x \in \mathbb{R} - zmienna

Przykład 1

2x^2 + 2x + 2 = 0

2x^2 + 2x = 0

2x^2 = 0

Wszystkie z powyższych przykładów są prawidłowymi równaniami kwadratowymi. 

Wyróżnik równania kwadratowego

Wyróżnik równania kwadratowego

Wyróżnik równania kwadratowego ax^2+bx+c=0 to

\Delta = b^2-4ac

Jest to jeden z najważniejszych wzorów do zapamiętania. Będziesz z niego korzystał przy wielu zadaniach i to nie tylko z zakresu funkcji kwadratowej.

UWAGA!

Wyróżnik równania kwadratowego nazywany jest również deltą (\Delta). Obie te nazwy można stosować wymiennie.

Przykład 2

Jeżeli równanie kwadratowe ma postać 2x^2 - 3x + 2 = 0 to wyróżnik równania wynosi:

\Delta = (-3)^2 - 4 * 2 * 2 = 9 - 16 = -7

Rozwiązania równania kwadratowego

Liczba rozwiązań równania kwadratowego zależy od wartości delty. Rozwiązań może być dwa, jedno lub nie być żadnego.  Spójrz poniżej:

jeżeli \Delta > 0 to równanie kwadratowe posiada dwa rozwiązania, które obliczamy korzystając z wzorów:

x_1 = \cfrac{-b -\sqrt{\Delta}}{2a}

x_2 = \cfrac{-b +\sqrt{\Delta}}{2a}

jeżeli \Delta = 0 to równanie kwadratowe posiada jedno rozwiązanie (podwójne)

x_0 = -\cfrac{b}{2a}

jeżeli \Delta < 0 to równanie kwadratowe nie posiada rozwiązań

UWAGA!

Rozwiązania równania kwadratowego nazywane są również pierwiastkami równania kwadratowego.

Przykład 3

Znajdź rozwiązania równania 2x^2 + 2x - 12 = 0.

Liczymy deltę dla równania kwadratowego

\Delta = 2^2 - 4 * 2 * (-12) = 4 + 96 = 100

ponieważ \Delta > 0 zatem równanie posiada dwa rozwiązania

x_1 = \cfrac{-2 - \sqrt{100}}{2 * 2} = \cfrac{-2 - 10}{4} = \cfrac{-12}{4} = -3

x_2 = \cfrac{-2 + \sqrt{100}}{2 * 2} = \cfrac{-2 + 10}{4} = \cfrac{8}{4} = 2

Przykład 4

Znajdź rozwiązania równania 2x^2+4x+2=0.

Liczymy deltę dla równania kwadratowego

\Delta = 4^2 - 4 * 2 * 2 = 16 - 16 = 0

ponieważ \Delta = 0 zatem równanie posiada jedno rozwiązanie

x_0 = \cfrac{-4}{2 * 2} = -1

Przykład 5

Znajdź rozwiązania równania -4x^2 + 2x - 5 = 0.

Liczymy deltę dla równania kwadratowego

\Delta = 2^2 - 4 * (-4) * (-5) = 4 - 80 = -76

ponieważ \Delta < 0 zatem równanie nie posiada rozwiązań


Zadanie 1

Rozwiąż równanie: -3x^2+5x-1=0

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Rozwiąż równanie kwadratowe:

6x^2+x-1=0

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Rozwiąż równanie:

x^2-2x-15=2x+6

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Rozwiąż równanie: 2x^2-7x+3=0.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Rozwiąż równanie: x^2-4x-40=2x+32

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Jednym z rozwiązań równania  kwadratowego x^2+bx+\sqrt{3}=0  jest  liczba  -\sqrt{3}. Oblicz współczynnik b, a następnie drugi pierwiastek tego równania.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

Jednym z rozwiązań równania  x^2+x+c=0  jest  liczba  -2. Oblicz współczynnik c, a następnie drugi pierwiastek tego równania.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

Rozwiązaniami równania kwadratowego -x^2+3x+180=0 są liczby:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

Rozwiąż układ równań:

\left\{\begin{matrix} x^2+y^2-6y = -4 \\  x^2+5y = 26 \end{matrix}\right.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

Rozwiąż układ równań:

\left\{\begin{matrix}2x+y=6\\ xy=4\end{matrix}\right.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

Iloczyn kolejnych dwóch naturalnych liczb parzystych wynosi 48. Jakie to liczby?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12

Mniejszą z dwóch liczb spełniających równanie x^2+3x+2=0 jest:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13

Większą z dwóch liczb spełniających równanie x^2+x-6=0 jest:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14

Znajdź wyrazy ciągu (a_n)\ n \in \mathbb{N} danego wzorem ogólnym a_n=2n^2-6n-5, które są równe 15.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15

Wyznacz parametr a, tak aby rozwiązaniem poniższego równania była liczba 3,a następnie wyznacz drugie rozwiązanie tego równania.

x(x+5)-3x=5a

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 16

Wiedząc, że pierwiastkami równania  ax^2-bx-6=0 są liczby \cfrac{1}{2}  oraz   -6 oblicz współczynniki a  oraz  b.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 17

Wyznacz parametr a, tak aby rozwiązaniem poniższego równania była liczba 7,a następnie wyznacz drugie rozwiązanie tego równania.

x(x-2)+7x=21a

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 18

Jednym z rozwiązań równania  x^2+ax-18=0  jest  liczba  3. Oblicz współczynnik a, a następnie drugi pierwiastek tego równania.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 19

Dane są funkcje:  f(x)=x^2-9g(x)=2x+6.

a) narysuj wykresy funkcji f i g

b) rozwiąż równanie   f(x)=g(x)

c) rozwiąż nierówność:   f(x)>g(x-2)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 20

Znajdź wyrazy ciągu (a_n)\ n \in \mathbb{N} danego wzorem ogólnym a_n=2n^2-6n-5, które są równe 51.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 21

Liczba 2-\sqrt{7} jest pierwiastkiem równania x^2+ax-3=0. Jaką wartość ma współczynnik a?

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz