Przypomnienie z funkcji kwadratowej

Dane jest równanie kwadratowe:

ax^2+bx+c=0

gdzie

a,b,c \in \mathbb{R},

a \neq 0 ,

x \in \mathbb{R},

\Delta \geq 0.

Przypomnienie:

Przypomnijmy wzór na obliczanie wyróżnika równania kwadratowego:

\Delta=b^2-4ac

Wzór: Pierwiastki równania kwadratowego
Rozwiązania (pierwiastki) równania kwadratowego ax^2 +bx + c =  0, dla nieujemnego wyróżnika:

Jeżeli \Delta > 0 to równanie kwadratowe posiada dwa rozwiązania

x_1 = \cfrac{-b  -\sqrt{\Delta}}{2a}

x_2 = \cfrac{-b  +\sqrt{\Delta}}{2a}

Jeżeli \Delta = 0 to równanie kwadratowe posiada jedno rozwiązanie (podwójne)

x_0 = -\cfrac{b}{2a}

Dane jest równianie kwadratowe 5x^2+5x-4=0. Oceń poprawność zdań:

Równanie nie ma pierwiastków.
Równanie ma dwa różne pierwiastki.

Wzory Viete'a dla równania kwadratowego

Wzór: Wzory Viete'a dla równania kwadratowego

Jeżeli równanie kwadratowe ax^2+bx+c=0  (gdzie a\neq 0 )ma dwa rozwiązania x_1,\ x_2 to:

x_1+x_2=-\cfrac{b}{a}

x_1 * x_2=\cfrac{c}{a}

Przykład 1

Korzystając z wzorów Viete'a, oblicz sumę kwadratów pierwiastków równania x^2+x-30=0.

x^2+x-30=0

Sprawdzamy czy równanie ma dwa pierwiastki:

\Delta=1^2-4* 1 * (-30)=121>0

Wyróżnik jest nieujemny, zatem równanie ma pierwiastki.

Zgodnie z wzorami Viete'a wiemy, że:

x_1+x_2=-\cfrac{1}{1}=-1

x_1 * x_2= \cfrac{-30}{1}=-30

Mamy obliczyć sumę kwadratów pierwiastków, tzn:

x_1^2+x_2^2

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

(x_1+x_2)^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2

Przekształcamy powyższe równanie i otrzymujemy:

x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2

Obliczamy sumę kwadratów pierwiastków równania:

x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-1)^2-2* (-30)=1+60=61

UWAGA!

Wzory Viete'a mają szerokie zastosowanie przy rozwiązywaniu równań kwadratowych z parametrem i nierówności kwadratowych z parametrem.


Zadanie 1

Wyznacz te wartości parametru m, dla których iloczyn różnych pierwiastków równania

 x^2+4mx +4m^2+5m-7=0

jest najmniejszy.

 

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Wyznacz te wartości parametru m, dla których równanie

mx^2+(m+6)x+4=0

ma dwa różne rozwiązania, których suma kwadratów jest większa od 4 .

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Wyznacz te wartości parametru m, dla których równanie

x^2-6mx+8m+1=0

ma pierwiastki dodatnie.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Wyznacz sumę sześcianów pierwiastków równania:

x^2+2x-8=0

nie obliczając ich dokładnej wartości.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Wyznacz te wartości parametru m, dla których równanie

(m+3)x^2+2mx+m+3=0

ma dwa rozwiązania ujemne, których kwadrat różnicy jest równy 5.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz