Co to jest parametr?

Aby móc rozwiązywać równania  czy nierówności z parametrem, musisz dokładnie rozumieć różnicę między zmienną równania, a jego parametrem.

Zmienna równania to jego niewiadoma. Względem zmiennej rozwiązujemy równanie. (Najczęściej niewiadomą równania oznaczamy jako x.)

Parametr w równaniu to litera, która "pełni rolę liczby".

Przykład 1

Mamy równanie:

x+8=10

Możemy to równanie rozwiązać i otrzymamy wartość niewiadomej x.  Wtedy:

x=10-8=2

Wprowadźmy parametr do tego równania:

mx+8=10

Teraz, nie mamy już jednego równania, ale mamy całą grupę równań, gdzie m może przyjmować dowolne wartości.

m=-1,   -x+8=10

m=1,   x+8=10

m=2 ,   2x+8=10

m=10 ,   10x+8=10

...

Po wprowadzeniu parametru do równania, możemy sobie zadawać pytania:

  • Jakie wartości może przyjmować m, aby rozwiązanie równania było dodatnie?
  • Jakie wartości może przyjmować m, aby rozwiązanie równania było ujemne?
  • Dla jakich wartości parametru równanie nie ma rozwiązań?
  • ... itd
Przykład 2

Dla jakich wartości parametru m istnieje dodatnie rozwiązanie równania:

mx+8=10

W powyższym równaniu x jest niewiadomą, a m jest parametrem tego równania. Szukając rozwiązania tego równania, szukamy wartości x (tak jak przy rozwiązywaniu równań bez parametru).

Rozwiążmy powyższe równanie:

mx+8=10

mx=2

x=\cfrac{2}{m},

gdzie m \neq 0.

Wyznaczyliśmy x. Jednak celem tego zadania nie jest rozwiązanie równania, tylko określenie  jakie wartości może przyjmować m, aby rozwiązanie równania miało wartości dodatnie.

Wiemy, że rozwiązaniem jest:

x=\cfrac{2}{m}.

Zatem, kiedy to rozwiązanie będzie dodatnie? Tylko wtedy, gdy będzie spełniona nierówność:

\cfrac{2}{m}>0

Jakie m ją spełnia?

m>0.

Zatem określiliśmy wartość parametru, dla którego rozwiązanie danego równania będzie dodatnie: m\in \mathbb{R}^+.

Wyznaczanie założeń

Rozwiązując równania czy nierówności kwadratowe z parametrem najważniejsze jest, aby z treści zadania umieć wyznaczyć założenia, które muszą być spełnione. Na tym głównie się skupimy w dalszej części nauki.

Dane jest równanie:

ax^2+bx+c=0,

gdzie

a,b,c \in \mathbb{R},

a \neq 0 ,

x \in \mathbb{R}.

\Delta=b^2-4ac

Przypomnienie:

Bardzo ważne przy rozwiązywaniu równań kwadratowych z parametrem jest znajomość wzorów Viete'a:

Jeżeli równanie kwadratowe ma pierwiastki to:

x_1+x_2=-\cfrac{b}{a}

x_1 * x_2 =\cfrac{c}{a}

UWAGA!

Dane są dwie liczby rzeczywiste: a i b. Jeżeli te liczby spełniają warunek: a* b>0 to co możesz powiedzieć o znaku tych liczb? Są to liczby dodatnie, ujemne czy mają różne znaki?

Z pewnością są to liczby o takim samym znaku. Nie możemy na podstawie ich iloczynu określić czy obie te liczby są dodatnie czy ujemne, ale na pewno mają te same znaki, ponieważ:

Jeżeli a>0 i b>0 to a* b>0.

- Jeżeli a<0 i b<0 to a*  b>0.

- Jeżeli a>0 i b<0 to a*   b<0.

Poniżej ćwiczenie dla Ciebie. Spróbuj wykonać taką analizę jak w powyższej uwadze.

Rozwiązanie równania kwadratowego z parametrem

Rozwiązując równania kwadratowe z parametrem, musisz uświadomić sobie kilka faktów:

Jeżeli...

  • \Delta<0 - to równanie nie ma pierwiastków,
  • \Delta=0 - to równanie ma jeden pierwiastek,
  • \Delta \geq 0 - to równanie ma dwa pierwiastki,
  • \Delta>0 - to równanie ma dwa różne pierwiastki.

Jeżeli równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki takie, że:

x_1 * x_2 < 0 - to są one różnych znaków.

x_1 * x_2 > 0 - to mają one takie same znaki.

x_1+x_2>0 i x_1 * x_2>0 - to są one dodatnie.

x_1+x_2<0 i x_1 * x_2>0 - to są one ujemne.

Przykład 3

Dla jakich wartości parametru m równanie mx^2+(m+1)x+4=0 ma przynajmniej jedno rozwiązanie.

Rozwiązanie:

a) w pierwszym przypadku rozważamy, gdy dane równanie jest równaniem liniowym, tzn. współczynnik przy x^2 jest równy 0, czyli m=0.

0* x^2+(0+1)x+4=0

x+4=0

x=-4

Otrzymaliśmy jedno rozwiązanie, zatem m=0 spełnia warunki zadania.

b) Zakładamy, że m \neq 0 oraz aby istniało przynajmniej jedno rozwiązanie równania to wyróżnik równania kwadratowego musi spełniać warunek: \Delta \geq 0.

Wyróżnik tego równania to:

\Delta=(m+1)^2-4m*   4=(m+1)^2-16m=m^2-14m+1.

Sprawdzamy dla jakich wartości parametru m, spełniony jest warunek \Delta \geq 0.:

Rozwiązujemy nierówność kwadratową o niewiadomej m:

m^2-14m+1 \geq 0

\Delta_m=(-14)^2-4=192

\sqrt{\Delta_m}=8\sqrt{3}

m_1=\cfrac{14+8\sqrt{3}}{2}=7+4\sqrt{3}

m_2=\cfrac{14-8\sqrt{3}}{2}=7-4\sqrt{3}

Otrzymaliśmy przedział:

m \in (-\infty,7-4\sqrt{3}]\cup [7+4\sqrt{3},+\infty)

W podpunkcie b) zakładaliśmy, że m \neq 0, stąd otrzymujemy przedział:

m \in (-\infty,0)\cup(0,7-4\sqrt{3}]  \cup [7+4\sqrt{3},+\infty)

Podsumowanie:

Rozwiązaniem zadania jest suma przedziałów z podpunktu a) i b):

m \in (-\infty,7-4\sqrt{3}]\cup [7+4\sqrt{3},+\infty)

Przykład 4

Dla jakich wartości parametru m równanie mx^2+(m+1)x+4=0 ma jedno rozwiązanie.

Rozwiązanie:

a) Tak jak w poprzednim zadaniu, najpierw sprawdzamy kiedy równanie jest liniowe, czyli m = 0.

0* x^2+(0+1)x+4=0

x+4=0

x=-4

Otrzymaliśmy jedno rozwiązanie, zatem dla parametru m=0 warunek zadania jest spełniony.

b) Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie jeżeli \Delta = 0. Czyli, gdy:

m^2-14m+1 = 0

Otrzymujemy, że:

m_1=\cfrac{14+8\sqrt{3}}{2}=7+4\sqrt{3}

m_2=\cfrac{14-8\sqrt{3}}{2}=7-4\sqrt{3}

Otrzymaliśmy dwa parametry m_1 i m_2 dla których równanie  mx^2+(m+1)x+4=0 ma jedno rozwiązanie.

Podsumowanie:

Rozwiązaniami są wartości parametru m otrzymane w podpunkcie a) i b), czyli

m \in \{0,7-4\sqrt{3},7+4\sqrt{3}\}

Przykład 5

Dla jakich wartości parametru m równanie mx^2+(m+1)x+4=0 ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

Rozwiązanie:

a) Równanie jest kwadratowe, gdy m \neq 0.

b) Jeżeli pierwiastki równania (rozwiązania) mają być różne to wyróżnik musi być dodatni.

\Delta > 0

m^2-14m+1 > 0

Podobne obliczenia wykonywaliśmy w Zadaniu 1. Tutaj nierówność jest ostra, zatem przedziałów nie domykamy. Rozwiązaniem nierówności jest :

m \in (-\infty,7-4\sqrt{3})\cup   (7+4\sqrt{3},+\infty)

c) Jeżeli rozwiązania równania kwadratowego mają być dodatnie, to ich suma oraz ich iloczyn też muszą być dodatnie. Z wzorów Viete'a otrzymujemy:

x_1+x_2=-\cfrac{b}{a}>0

x_1 * x_2   =\cfrac{c}{a}>0

Sprawdzamy dla jakich wartości parametru m  zachodzą powyższe warunki:

- suma pierwiastków większa od zera

-\cfrac{m+1}{m}>0

m(m+1)<0

m \in (-1,0)

- iloczyn pierwiastków większy od zera

\cfrac{4}{m}>0

m>0

m \in \mathbb{R}^+

Podsumowanie:

Nie ma m, które spełniałoby wszystkie warunki w podpunktach a), b) i c). Zatem równanie mx^2+(m+1)x+4=0 nie ma dwóch różnych pierwiastków dodatnich dla żadnej wartości parametru m.

Przykład 6

Dla jakich wartości parametru m równanie mx^2+(m+1)x+4=0 ma dwa rozwiązania ujemne.

Rozwiązanie:

a) Tak jak w poprzednich zadaniach, aby równanie było kwadratowe to współczynnik przy x^2 musi być różny od zera, czyli m \neq 0.

b) Uwaga: tutaj nie zakładamy, że pierwiastki mają być różne, dlatego wystarczającym warunkiem jest, aby wyróżnik był nieujemny.

\Delta \geq 0

Taką samą nierówność rozwiązywaliśmy w Zadaniu 1. Wynik jaki otrzymaliśmy to:

m \in (-\infty,7-4\sqrt{3}]\cup [7+4\sqrt{3},+\infty)

c) Jeżeli rozwiązania równania kwadratowego mają być ujemne, to ich suma musi być ujemna, a iloczyn dodatni. Korzystając z wzorów Viete'a otrzymujemy:

x_1+x_2=-\cfrac{b}{a}<0

x_1 * x_2   =\cfrac{c}{a}>0

- suma pierwiastków ujemna:

-\cfrac{m+1}{m}<0

m(m+1)>0

m \in ( -\infty, -1) \cup (0,+\infty)

-iloczyn pierwiastków dodatni:

\cfrac{4}{m}>0

m>0

m \in \mathbb{R}^+

Podsumowanie:

Wybieramy m, które spełnia wszystkie warunki z podpunktów a), b) i c):

m \neq 0

m \in (-\infty,7-4\sqrt{3}]\cup [7+4\sqrt{3},+\infty)

m \in ( -\infty, -1) \cup (0,+\infty)

m \in \mathbb{R}^+

m, które spełnia wszystkie powyższe warunki to:

 m \in [7+4\sqrt{3},+\infty)

Przykład 7

Dla jakich wartości parametru m równanie mx^2+(m+1)x+4=0 ma dwa rozwiązania różnych znaków.


Rozwiązanie:

a) Tak jak w poprzednich zadaniach, aby równanie było kwadratowe to współczynnik przy x^2 musi być różny od zera, czyli m \neq 0.

b) Aby istniały dwa rozwiązania różnych znaków, to wyróżnik musi być dodatni.

\Delta > 0

Taką samą nierówność rozwiązywaliśmy w Zadaniu 3. Wynik jaki otrzymaliśmy to:

m \in (-\infty,7-4\sqrt{3})\cup (7+4\sqrt{3},+\infty)

c) Aby rozwiązania miały różne znaki, to ich iloczyn musi być ujemny.

x_1 * x_2    =\cfrac{c}{a}<0

\cfrac{4}{m}<0

m<0

Podsumowanie:

Wybieramy m, które spełnia wszystkie warunki z podpunktów a), b) i c):

m \neq 0

m \in (-\infty,7-4\sqrt{3})\cup (7+4\sqrt{3},+\infty)

m <0

m, które spełnia wszystkie powyższe warunki to:

m \in (-\infty,0)

Przykład 8

Dla jakich wartości parametru m równanie mx^2+(m+1)x+4=0 ma dwa rozwiązania, których suma kwadratów jest równa 5.

Rozwiązanie:

a) Tak jak w poprzednich zadaniach, aby równanie było kwadratowe to współczynnik przy x^2 musi być różny od zera, czyli m \neq 0.

b) Aby istniały dwa rozwiązania, to wyróżnik musi być nieujemny.

\Delta \geq 0

Taką samą nierówność rozwiązywaliśmy w Zadaniu 1. Wynik jaki otrzymaliśmy to:

m \in (-\infty,7-4\sqrt{3}]\cup [7+4\sqrt{3},+\infty)

c) Warunek w treści zadania:

x_1^2+x_2^2=5

Aby sprawdzić ten warunek , to zapiszemy go używając sumy i iloczynu pierwiastków, zamiast sumy kwadratów pierwiastków:

(x_1+x_2)^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2

x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2

Czyli:

(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=5

Pozostaje zatem znaleźć wszystkie wartości parametru m, które spełniają równanie:

(-\cfrac{b}{a})^2-2 *  \cfrac{c}{a}=5

(-\cfrac{m+1}{m})^2-2 *  \cfrac{4}{m}=5

\cfrac{(m+1)^2}{m^2}-  \cfrac{8}{m}=5

\cfrac{(m+1)^2}{m^2}-  \cfrac{8m}{m^2}=5

\cfrac{(m+1)^2-8m}{m^2}=5

(m+1)^2-8m=5m^2

m^2+2m+1-8m=5m^2

-4m^2-6m+1=0

4m^2+6m-1=0

\Delta_m=6^2-4* 4* (-1)=52


Zadanie 1

Zbadaj dla jakich wartości parametru m, wykres funkcji

f(x)=m x^2+(m-1)x+m-1

znajduje się nad osią OX

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Wyznacz te wartości parametru m, dla których równanie

mx^2+(m+6)x+4=0

ma dwa różne rozwiązania, których suma kwadratów jest większa od 4 .

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Wyznacz te wartości parametru m, dla których równanie

x^2-6mx+8m+1=0

ma pierwiastki dodatnie.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Wyznacz te wartości parametru m, dla których równanie

(m+3)x^2+2mx+m+3=0

ma dwa rozwiązania ujemne, których kwadrat różnicy jest równy 5.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Zbadaj liczbę rozwiązań równania

(m+2)x^2+(m+2)x-m=0

w zależności od parametru m.

 

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Dla każdej liczby rzeczywistej b  równanie y=-2x^2+bx-3  opisuje pewną parabolę. Wyznacz wszystkie wartości parametru b, dla których wierzchołek paraboli leży pod osią  OX.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

Zbadaj dla jakich wartości parametru m, wykres funkcji

f(x)=m x^2+(m-1)x+m-1

ma dwa punkty wspólne z prostą o równaniu  y=3.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

Wyznacz te wartości parametru m, dla których iloczyn różnych pierwiastków równania

 x^2+4mx +4m^2+5m-7=0

jest najmniejszy.

 

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz