Równania kwadratowe z parametrem

Co to jest parametr?

Aby móc rozwiązywać równania czy nierówności z parametrem, musisz dokładnie rozumieć różnicę między zmienną równania, a jego parametrem.

Zmienna równania to jego niewiadoma. Względem zmiennej rozwiązujemy równanie. (Najczęściej niewiadomą równania oznaczamy jako $x$ .)

Parametr w równaniu to litera, która "pełni rolę liczby".

Przykład 1

Mamy równanie:

$x+8=10$

Możemy to równanie rozwiązać i otrzymamy wartość niewiadomej $x$ . Wtedy:

$x=10-8=2$

Wprowadźmy parametr do tego równania:

$mx+8=10$

Teraz, nie mamy już jednego równania, ale mamy całą grupę równań, gdzie $m$ może przyjmować dowolne wartości.

$m=-1$ , $-x+8=10$

$m=1$ , $x+8=10$

$m=2$ , $2x+8=10$

$m=10$ , $10x+8=10$

...

Po wprowadzeniu parametru do równania, możemy sobie zadawać pytania:

Jakie wartości może przyjmować $m$ , aby rozwiązanie równania było dodatnie?
Jakie wartości może przyjmować $m$ , aby rozwiązanie równania było ujemne?
Dla jakich wartości parametru równanie nie ma rozwiązań?
... itd

Przykład 2

Dla jakich wartości parametru $m$ istnieje dodatnie rozwiązanie równania:

$mx+8=10$

W powyższym równaniu $x$ jest niewiadomą, a $m$ jest parametrem tego równania. Szukając rozwiązania tego równania, szukamy wartości $x$ (tak jak przy rozwiązywaniu równań bez parametru).

Rozwiążmy powyższe równanie:

$mx+8=10$

$mx=2$

$x=\cfrac{2}{m}$ ,

gdzie $m \neq 0$ .

Wyznaczyliśmy $x$ . Jednak celem tego zadania nie jest rozwiązanie równania, tylko określenie jakie wartości może przyjmować $m$ , aby rozwiązanie równania miało wartości dodatnie.

Wiemy, że rozwiązaniem jest:

$x=\cfrac{2}{m}$ .

Zatem, kiedy to rozwiązanie będzie dodatnie? Tylko wtedy, gdy będzie spełniona nierówność:

$\cfrac{2}{m}>0$

Jakie $m$ ją spełnia?

$m>0$ .

Zatem określiliśmy wartość parametru, dla którego rozwiązanie danego równania będzie dodatnie: $m\in \mathbb{R}^+$ .

Wyznaczanie założeń

Rozwiązując równania czy nierówności kwadratowe z parametrem najważniejsze jest, aby z treści zadania umieć wyznaczyć założenia, które muszą być spełnione. Na tym głównie się skupimy w dalszej części nauki.

Dane jest równanie:

$ax^2+bx+c=0$ ,

gdzie

$a,b,c \in \mathbb{R}$ ,

$a \neq 0$ ,

$x \in \mathbb{R}$ .

$\Delta=b^2-4ac$

Przypomnienie:

Bardzo ważne przy rozwiązywaniu równań kwadratowych z parametrem jest znajomość wzorów Viete'a:

Jeżeli równanie kwadratowe ma pierwiastki to:

$x_1+x_2=-\cfrac{b}{a}$

$x_1 * x_2 =\cfrac{c}{a}$

UWAGA!

Dane są dwie liczby rzeczywiste: $a$ i $b$ . Jeżeli te liczby spełniają warunek: $a* b>0$ to co możesz powiedzieć o znaku tych liczb? Są to liczby dodatnie, ujemne czy mają różne znaki?

Z pewnością są to liczby o takim samym znaku. Nie możemy na podstawie ich iloczynu określić czy obie te liczby są dodatnie czy ujemne, ale na pewno mają te same znaki, ponieważ:

Jeżeli $a>0$ i $b>0$ to $a* b>0$ .

- Jeżeli $a<0$ i $b<0$ to $a* b>0$ .

- Jeżeli $a>0$ i $b<0$ to $a* b<0$ .

Poniżej ćwiczenie dla Ciebie. Spróbuj wykonać taką analizę jak w powyższej uwadze.

Rozwiązanie równania kwadratowego z parametrem

Rozwiązując równania kwadratowe z parametrem, musisz uświadomić sobie kilka faktów:

Jeżeli...

$\Delta<0$ - to równanie nie ma pierwiastków,
$\Delta=0$ - to równanie ma jeden pierwiastek,
$\Delta \geq 0$ - to równanie ma dwa pierwiastki,
$\Delta>0$ - to równanie ma dwa różne pierwiastki.

Jeżeli równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki takie, że:

$x_1 * x_2 < 0$ - to są one różnych znaków.

$x_1 * x_2 > 0$ - to mają one takie same znaki.

$x_1+x_2>0$ i $x_1 * x_2>0$ - to są one dodatnie.

$x_1+x_2<0$ i $x_1 * x_2>0$ - to są one ujemne.

Przykład 3

Dla jakich wartości parametru $m$ równanie $mx^2+(m+1)x+4=0$ ma przynajmniej jedno rozwiązanie.

Rozwiązanie:

a) w pierwszym przypadku rozważamy, gdy dane równanie jest równaniem liniowym, tzn. współczynnik przy $x^2$ jest równy $0$ , czyli $m=0$ .

$0* x^2+(0+1)x+4=0$

$x+4=0$

$x=-4$

Otrzymaliśmy jedno rozwiązanie, zatem $m=0$ spełnia warunki zadania.

b) Zakładamy, że $m \neq 0$ oraz aby istniało przynajmniej jedno rozwiązanie równania to wyróżnik równania kwadratowego musi spełniać warunek: $\Delta \geq 0$ .

Wyróżnik tego równania to:

$\Delta=(m+1)^2-4m* 4=(m+1)^2-16m=m^2-14m+1$ .

Sprawdzamy dla jakich wartości parametru $m$ , spełniony jest warunek $\Delta \geq 0$ .:

Rozwiązujemy nierówność kwadratową o niewiadomej $m$ :

$m^2-14m+1 \geq 0$

$\Delta_m=(-14)^2-4=192$

$\sqrt{\Delta_m}=8\sqrt{3}$

$m_1=\cfrac{14+8\sqrt{3}}{2}=7+4\sqrt{3}$

$m_2=\cfrac{14-8\sqrt{3}}{2}=7-4\sqrt{3}$

Otrzymaliśmy przedział:

$m \in (-\infty,7-4\sqrt{3}]\cup [7+4\sqrt{3},+\infty)$

W podpunkcie b) zakładaliśmy, że $m \neq 0$ , stąd otrzymujemy przedział:

$m \in (-\infty,0)\cup(0,7-4\sqrt{3}] \cup [7+4\sqrt{3},+\infty)$

Podsumowanie:

Rozwiązaniem zadania jest suma przedziałów z podpunktu a) i b):

$m \in (-\infty,7-4\sqrt{3}]\cup [7+4\sqrt{3},+\infty)$

Przykład 4

Dla jakich wartości parametru $m$ równanie $mx^2+(m+1)x+4=0$ ma jedno rozwiązanie.

Rozwiązanie:

a) Tak jak w poprzednim zadaniu, najpierw sprawdzamy kiedy równanie jest liniowe, czyli $m = 0$ .

$0* x^2+(0+1)x+4=0$

$x+4=0$

$x=-4$

Otrzymaliśmy jedno rozwiązanie, zatem dla parametru $m=0$ warunek zadania jest spełniony.

b) Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie jeżeli $\Delta = 0$ . Czyli, gdy:

$m^2-14m+1 = 0$

Otrzymujemy, że:

$m_1=\cfrac{14+8\sqrt{3}}{2}=7+4\sqrt{3}$

$m_2=\cfrac{14-8\sqrt{3}}{2}=7-4\sqrt{3}$

Otrzymaliśmy dwa parametry $m_1$ i $m_2$ dla których równanie $mx^2+(m+1)x+4=0$ ma jedno rozwiązanie.

Podsumowanie:

Rozwiązaniami są wartości parametru $m$ otrzymane w podpunkcie a) i b), czyli

$m \in \{0,7-4\sqrt{3},7+4\sqrt{3}\}$

Przykład 5

Dla jakich wartości parametru $m$ równanie $mx^2+(m+1)x+4=0$ ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

Rozwiązanie:

a) Równanie jest kwadratowe, gdy $m \neq 0$ .

b) Jeżeli pierwiastki równania (rozwiązania) mają być różne to wyróżnik musi być dodatni.

$\Delta > 0$

$m^2-14m+1 > 0$

Podobne obliczenia wykonywaliśmy w Zadaniu 1. Tutaj nierówność jest ostra, zatem przedziałów nie domykamy. Rozwiązaniem nierówności jest :

$m \in (-\infty,7-4\sqrt{3})\cup (7+4\sqrt{3},+\infty)$

c) Jeżeli rozwiązania równania kwadratowego mają być dodatnie, to ich suma oraz ich iloczyn też muszą być dodatnie. Z wzorów Viete'a otrzymujemy:

$x_1+x_2=-\cfrac{b}{a}>0$

$x_1 * x_2 =\cfrac{c}{a}>0$

Sprawdzamy dla jakich wartości parametru $m$ zachodzą powyższe warunki:

- suma pierwiastków większa od zera

$-\cfrac{m+1}{m}>0$

$m(m+1)<0$

$m \in (-1,0)$

- iloczyn pierwiastków większy od zera

$\cfrac{4}{m}>0$

$m>0$

$m \in \mathbb{R}^+$

Podsumowanie:

Nie ma $m$ , które spełniałoby wszystkie warunki w podpunktach a), b) i c). Zatem równanie $mx^2+(m+1)x+4=0$ nie ma dwóch różnych pierwiastków dodatnich dla żadnej wartości parametru $m$ .

Przykład 6

Dla jakich wartości parametru $m$ równanie $mx^2+(m+1)x+4=0$ ma dwa rozwiązania ujemne.

Rozwiązanie:

a) Tak jak w poprzednich zadaniach, aby równanie było kwadratowe to współczynnik przy $x^2$ musi być różny od zera, czyli $m \neq 0$ .

b) Uwaga: tutaj nie zakładamy, że pierwiastki mają być różne, dlatego wystarczającym warunkiem jest, aby wyróżnik był nieujemny.

$\Delta \geq 0$

Taką samą nierówność rozwiązywaliśmy w Zadaniu 1. Wynik jaki otrzymaliśmy to:

$m \in (-\infty,7-4\sqrt{3}]\cup [7+4\sqrt{3},+\infty)$

c) Jeżeli rozwiązania równania kwadratowego mają być ujemne, to ich suma musi być ujemna, a iloczyn dodatni. Korzystając z wzorów Viete'a otrzymujemy:

$x_1+x_2=-\cfrac{b}{a}<0$

$x_1 * x_2 =\cfrac{c}{a}>0$

- suma pierwiastków ujemna:

$-\cfrac{m+1}{m}<0$

$m(m+1)>0$

$m \in ( -\infty, -1) \cup (0,+\infty)$

-iloczyn pierwiastków dodatni:

$\cfrac{4}{m}>0$

$m>0$

$m \in \mathbb{R}^+$

Podsumowanie:

Wybieramy $m$ , które spełnia wszystkie warunki z podpunktów a), b) i c):

$m \neq 0$

$m \in (-\infty,7-4\sqrt{3}]\cup [7+4\sqrt{3},+\infty)$

$m \in ( -\infty, -1) \cup (0,+\infty)$

$m \in \mathbb{R}^+$

$m$ , które spełnia wszystkie powyższe warunki to:

$m \in [7+4\sqrt{3},+\infty)$

Przykład 7

Dla jakich wartości parametru $m$ równanie $mx^2+(m+1)x+4=0$ ma dwa rozwiązania różnych znaków.

Rozwiązanie:

a) Tak jak w poprzednich zadaniach, aby równanie było kwadratowe to współczynnik przy $x^2$ musi być różny od zera, czyli $m \neq 0$ .

b) Aby istniały dwa rozwiązania różnych znaków, to wyróżnik musi być dodatni.

$\Delta > 0$

Taką samą nierówność rozwiązywaliśmy w Zadaniu 3. Wynik jaki otrzymaliśmy to:

$m \in (-\infty,7-4\sqrt{3})\cup (7+4\sqrt{3},+\infty)$

c) Aby rozwiązania miały różne znaki, to ich iloczyn musi być ujemny.

$x_1 * x_2 =\cfrac{c}{a}<0$

$\cfrac{4}{m}<0$

$m<0$

Podsumowanie:

Wybieramy $m$ , które spełnia wszystkie warunki z podpunktów a), b) i c):

$m \neq 0$

$m \in (-\infty,7-4\sqrt{3})\cup (7+4\sqrt{3},+\infty)$

$m <0$

$m$ , które spełnia wszystkie powyższe warunki to:

$m \in (-\infty,0)$

Przykład 8

Dla jakich wartości parametru $m$ równanie $mx^2+(m+1)x+4=0$ ma dwa rozwiązania, których suma kwadratów jest równa 5.

Rozwiązanie:

a) Tak jak w poprzednich zadaniach, aby równanie było kwadratowe to współczynnik przy $x^2$ musi być różny od zera, czyli $m \neq 0$ .

b) Aby istniały dwa rozwiązania, to wyróżnik musi być nieujemny.

$\Delta \geq 0$

Taką samą nierówność rozwiązywaliśmy w Zadaniu 1. Wynik jaki otrzymaliśmy to:

$m \in (-\infty,7-4\sqrt{3}]\cup [7+4\sqrt{3},+\infty)$

c) Warunek w treści zadania:

$x_1^2+x_2^2=5$

Aby sprawdzić ten warunek , to zapiszemy go używając sumy i iloczynu pierwiastków, zamiast sumy kwadratów pierwiastków:

$(x_1+x_2)^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2$

$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$

Czyli:

$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=5$

Pozostaje zatem znaleźć wszystkie wartości parametru $m$ , które spełniają równanie:

$(-\cfrac{b}{a})^2-2 * \cfrac{c}{a}=5$

$(-\cfrac{m+1}{m})^2-2 * \cfrac{4}{m}=5$

$\cfrac{(m+1)^2}{m^2}- \cfrac{8}{m}=5$

$\cfrac{(m+1)^2}{m^2}- \cfrac{8m}{m^2}=5$

$\cfrac{(m+1)^2-8m}{m^2}=5$

$(m+1)^2-8m=5m^2$

$m^2+2m+1-8m=5m^2$

$-4m^2-6m+1=0$

$4m^2+6m-1=0$

$\Delta_m=6^2-4* 4* (-1)=52$

Zadanie 1

Zbadaj dla jakich wartości parametru $m$ , wykres funkcji

$f(x)=m x^2+(m-1)x+m-1$
znajduje się nad osią $OX$

Zobacz rozwiązanie

Matura rozszerzona
0 komentarzy

Zadanie 2
Premium

Wyznacz te wartości parametru $m$ , dla których równanie

$mx^2+(m+6)x+4=0$

ma dwa różne rozwiązania, których suma kwadratów jest większa od $4$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura rozszerzona
2 komentarze

Zadanie 3
Premium

Wyznacz te wartości parametru $m$ , dla których równanie

$x^2-6mx+8m+1=0$

ma pierwiastki dodatnie.

Zobacz rozwiązanie

Matura rozszerzona
2 komentarze

Zadanie 4
Premium

Wyznacz te wartości parametru $m$ , dla których równanie

$(m+3)x^2+2mx+m+3=0$

ma dwa rozwiązania ujemne, których kwadrat różnicy jest równy $5$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura rozszerzona
1 komentarz

Zadanie 5
Premium

Zbadaj liczbę rozwiązań równania

$(m+2)x^2+(m+2)x-m=0$

w zależności od parametru $m$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura rozszerzona
2 komentarze

Zadanie 6
Premium

Dla każdej liczby rzeczywistej $b$ równanie $y=-2x^2+bx-3$ opisuje pewną parabolę. Wyznacz wszystkie wartości parametru $b$ , dla których wierzchołek paraboli leży pod osią $OX$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
4 komentarze

Zadanie 7
Premium

Zbadaj dla jakich wartości parametru $m$ , wykres funkcji
$f(x)=m x^2+(m-1)x+m-1$
ma dwa punkty wspólne z prostą o równaniu $y=3$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura rozszerzona
0 komentarzy

Zadanie 8
Premium

Wyznacz te wartości parametru $m$ , dla których iloczyn różnych pierwiastków równania

$x^2+4mx +4m^2+5m-7=0$

jest najmniejszy.

Zobacz rozwiązanie

Matura rozszerzona
0 komentarzy

Przeczytaj także:

4 komentarze

8915546 26.11.2019 20:47

Dlaczego w przykładzie 4b obliczamy m_1 i m_2? Czy to oznacza, że przy określaniu wartości parametru nie kierujemy się założeniem delta=0 =>1 pierwiastek?
kamtila 23.11.2020 12:21

Dlaczego w przykładzie 6 aby mieć dwa rozwiązania ujemne iloczyn pierwiastków musi być dodatni?
lukasz 24.11.2020 08:23

Jeżeli mnożysz przez siebie dwie liczby ujemne to wynik jest dodatni. Przy czym tutaj jest to warunek niewystarczyjący bo jeżeli pomnożysz przez siebie dwie liczby dodatnie to też otrzymasz wynik dodatni. Dlatego jest dodany ten drugi warunek na sumę. Dodając do siebie dwie liczby ujemne wynik jest ujemny, a dodając do siebie dwie liczby dodatnie to wynik zawsze będzie dodatni. Dopiero oba te warunki pozwalają okreslić warunki jakie muszą być spełnione przez parametr, aby rozwiązaniem były dwie liczby ujemne.
Malwinaliczy 26.07.2022 11:35

Dlaczego w przykładzie 6 w odpowiedzi jest przedział [7+4 3, +oo), a nie (0, 7-4 3] u [7+4 3, +oo)?

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz

Równania kwadratowe z parametrem

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Co to jest parametr?

Wyznaczanie założeń

Rozwiązanie równania kwadratowego z parametrem

Zadanie 1

Zadanie 2 Premium

Zadanie 3 Premium

Zadanie 4 Premium

Zadanie 5 Premium

Zadanie 6 Premium

Zadanie 7 Premium

Zadanie 8 Premium

4 komentarze

Dodaj komentarz

Zadanie 2
Premium

Zadanie 3
Premium

Zadanie 4
Premium

Zadanie 5
Premium

Zadanie 6
Premium

Zadanie 7
Premium

Zadanie 8
Premium