Nierówności kwadratowe z parametrem

Przypomnienie:

Definicja: Nierówność kwadratowa

Nierównością kwadratową nazywamy każdą z nierówności:

ax^2+bx+c>0

ax^2+bx+c \geq0

ax^2+bx+c<0

ax^2+bx+c \leq 0


gdzie

a,b,c \in \mathbb{R} - współczynniki

a\neq 0

x \in \mathbb{R} - zmienna

Przed przystąpieniem do tej nauki musisz mieć opanowane zagadnienia z działu funkcja kwadratowa.

 

A teraz przejdźmy już do części właściwej tej nauki. Najszybciej wyjaśnimy wszystko na przykładach.

 

Przykład 1

Dla jakich wartości parametru m, zbiorem rozwiązań nierówności x^2+(m-3)x-m>0 jest zbiór liczb rzeczywistych?

Po lewej stronie nierówności mamy dany wzór funkcji kwadratowej: f(x)=x^2+(m-3)x-m. Ponieważ współczynnik kierunkowy przy x^2 jest równy 1 (czyli jest dodatni), to parabola będąca wykresem funkcji f ma ramiona skierowane w górę. Aby wszystkie wartości tej funkcji były dodatnie, to cała parabola musi znajdować się nad osią OX.

Inaczej treść zadania, możemy sformułować jako:

Dla jakich wartości parametru m wykres funkcji kwadratowej: f(x)=x^2+(m-3)x-m znajduje się nad osią OX.

Jeżeli parabola znajduje się nad osią OX, to nie przecina jej w żadnym punkcie, czyli funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych. Oznacza to, że wyróżnik \Delta jest ujemny. Na tej podstawie wyznaczymy wartości parametru m.

x^2+(m-3)x-m>0

\Delta=(m-3)^2-4* (-m)=m^2-6m+9+4m=m^2-2m+9

Rozwiązujemy nierówność:

\Delta <0

m^2-2m+9<0

 \Delta_m=(-2)^2-4* 9=4-36=-32<0

Wyróżnik \Delta_m jest ujemny. Oznacza to, że nierówność m^2-2m+9<0 nie ma rozwiązań.

Nie ma takich m, dla których wyróżnik \Delta równania x^2+(m-3)x-m>0 byłby ujemny, czyli takich wartości parametru m, dla których rozwiązaniem nierówności x^2+(m-3)x-m>0 byłby zbiór liczb rzeczywistych.

 

Przykład 2

Wyznacz te wartości parametru m, dla których zbiór rozwiązań nierówności mx^2-(m-4)x-2 < 0 zawiera się w przedziale  (0,+\infty).

Rozwiązywanie tego zadania musimy podzielić na trzy części, ze względu na to, że nie wiemy jaką wartość ma współczynnik kierunkowy przy x^2.

Przypadki:

a) m<0

Jeżeli współczynnik kierunkowy jest ujemny, to parabola będąca wykresem funkcji kwadratowej po lewej stronie nierówności ma ramiona skierowane w dół. Parabola może przyjąć jedną z dwóch postaci:

1.

 

 

 

Zbiór rozwiązań nierówności 

mx^2-(m-4)x-2 < 0

to byłby przedział:

(-\infty,x_1)\cup(x_2,+\infty)

W tym wypadku nigdy nie wyznaczymy takich wartości m, aby zbiór rozwiązań zawierał się w przedziale  (0,+\infty).

2.

Jeżeli parabola byłąby pod osią OX, to zbiorem rozwiązań nierówności

mx^2-(m-4)x-2 < 0

byłby zbiór liczb rzeczywistych, który również nie może się zawierać w przedziale  (0,+\infty).

Podsumowując, jeżeli m<0, to zbiór rozwiązań nierówności nie może znajdować się w przedziale  (0,+\infty).

b) m=0

Po podstawieniu m=0 do nierówności mx^2-(m-4)x-2 < 0 otrzymujemy:

-(-4)x-2 < 0

4x-2 < 0

4x < 2

x < \cfrac{1}{2}

Zbiór rozwiąząń to:

(-\infty,\cfrac{1}{2})

Zbiór ten nie zawiera się w zbiorze  (0,+\infty), dlatego m=0, również nie jest rozwiązaniem zadania.

c) m>0

Jeżeli m>0, to parabola będąca wykresem funkcji kwadratowej po lewej stronie nierówności ma ramiona skierowane w górę. Parabola może przyjąć jedną z dwóch postaci:

1. Gdy wyróżnik  \Delta jest ujemny:


to parabola nie przecina osi OX.

Nierówność

mx^2-(m-4)x-2 < 0

nie ma rozwiązań, ponieważ wszystkie wartości funkcji są dodatnie.

2. Gdy wyróżnik \Delta jest nieujemny (czyli istnieją miejsca zerowe):

 

 

Zbiór rozwiązań nierówności 

mx^2-(m-4)x-2 < 0

to byłby przedział:

(x_1,x_2)

Sprawdzamy kiedy wyróżnik jest nieujemny:

\Delta=(m-4)^2-4* m * (-2)=m^2-8m+16+8m=m^2+16

m^2+16 \geq 0

Rozwiązaniem tej nierówności jest zbiór liczb rzeczywistych:

m \in \mathbb{R}.

 Jeżeli wyróżnik jest nieujemny to rozwiązaniem jest przedział (x_1,x_2). Musimy teraz sprawdzić, kiedy taki przedział  jest zawarty w przedziale  (0,+\infty). Aby tak było, to oba pierwiastki x_1  i x_2 muszą być dodatnie (suma i iloczyn  tych pierwiastków musi być dodatni). Korzystając z wzorów Viete'a otrzymujemy warunki:

x_1+x_2=-\cfrac{b}{a}=\cfrac{m-4}{m}

x_1* x_2=\cfrac{c}{a}=\cfrac{-2}{m}

Sprawdzamy, kiedy suma i iloczyn pierwiastków są dodatnie:

- suma pierwiastków

\cfrac{m-4}{m}>0

m(m-4)>0

 m \in (-\infty,0) \cup(4,+\infty)

- iloczyn pierwiastków

\cfrac{-2}{m}>0

m \in (-\infty,0)

Wartości m, dla których  suma pierwiastków jest dodatnia i iloczyn to:

m \in (-\infty,0)

 

Na początku tego przypadku zakładaliśmy, że m>0, dlatego też ten przedział nie jest rozwiązaniem. 

Podsumowanie:

Brak rozwiązań.


Zadanie 1

Wyznacz te wartości parametru m, dla których nierówność

-\cfrac{1}{4}(m-5)x^2+(m-1)x+m+5>0

jest spełniona dla każdego x\in \mathbb{R}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Wyznacz te wartości x, dla których nierówność

x(\cfrac{\sqrt{2}}{2}m+1)-\cfrac{1}{4}m^2-\sqrt{2}m-\cfrac{39}{2}<0

jest prawdziwa dla każdego m \in \mathbb{R}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Wyznacz te wartości parametru p, dla których parabola będąca wykresem funkcji

f(x)=-3x^2+\cfrac{p}{2}x+p-\cfrac{1}{3}

znajduje się pod prostą o równaniu

y=(-\cfrac{p}{2}-2)x+\cfrac{7}{12}p+3.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Pewna parabola jest opisana równaniem: y=2x^2+bx+8, gdzie b jest dowolną liczbą rzeczywistą. Wyznacz wszystkie wartości parametru b, dla których wierzchołek paraboli leży nad osią  OX.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz