Nierówności kwadratowe z parametrem

Drukuj

Nierówności kwadratowe z parametrem

Przypomnienie:

Definicja: Nierówność kwadratowa

Nierównością kwadratową nazywamy każdą z nierówności:

$ax^2+bx+c>0$

$ax^2+bx+c \geq0$

$ax^2+bx+c<0$

$ax^2+bx+c \leq 0$

gdzie

$a,b,c \in \mathbb{R}$ - współczynniki

$a\neq 0$

$x \in \mathbb{R}$ - zmienna

Przed przystąpieniem do tej nauki musisz mieć opanowane zagadnienia z działu funkcja kwadratowa.

A teraz przejdźmy już do części właściwej tej nauki. Najszybciej wyjaśnimy wszystko na przykładach.

Przykład 1

Dla jakich wartości parametru $m$ , zbiorem rozwiązań nierówności $x^2+(m-3)x-m>0$ jest zbiór liczb rzeczywistych?

Po lewej stronie nierówności mamy dany wzór funkcji kwadratowej: $f(x)=x^2+(m-3)x-m$ . Ponieważ współczynnik kierunkowy przy $x^2$ jest równy $1$ (czyli jest dodatni), to parabola będąca wykresem funkcji $f$ ma ramiona skierowane w górę. Aby wszystkie wartości tej funkcji były dodatnie, to cała parabola musi znajdować się nad osią $OX$ .

Inaczej treść zadania, możemy sformułować jako:

Dla jakich wartości parametru $m$ wykres funkcji kwadratowej: $f(x)=x^2+(m-3)x-m$ znajduje się nad osią $OX$ .

Jeżeli parabola znajduje się nad osią $OX$ , to nie przecina jej w żadnym punkcie, czyli funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych. Oznacza to, że wyróżnik $\Delta$ jest ujemny. Na tej podstawie wyznaczymy wartości parametru $m$ .

$x^2+(m-3)x-m>0$

$\Delta=(m-3)^2-4* (-m)=m^2-6m+9+4m=m^2-2m+9$

Rozwiązujemy nierówność:

$\Delta <0$

$m^2-2m+9<0$

$\Delta_m=(-2)^2-4* 9=4-36=-32<0$

Wyróżnik $\Delta_m$ jest ujemny. Oznacza to, że nierówność $m^2-2m+9<0$ nie ma rozwiązań.

Nie ma takich $m$ , dla których wyróżnik $\Delta$ równania $x^2+(m-3)x-m>0$ byłby ujemny, czyli takich wartości parametru $m$ , dla których rozwiązaniem nierówności $x^2+(m-3)x-m>0$ byłby zbiór liczb rzeczywistych.

Przykład 2

Wyznacz te wartości parametru $m$ , dla których zbiór rozwiązań nierówności $mx^2-(m-4)x-2 < 0$ zawiera się w przedziale $(0,+\infty)$ .

Rozwiązywanie tego zadania musimy podzielić na trzy części, ze względu na to, że nie wiemy jaką wartość ma współczynnik kierunkowy przy $x^2$ .

Przypadki:

a) $m<0$

Jeżeli współczynnik kierunkowy jest ujemny, to parabola będąca wykresem funkcji kwadratowej po lewej stronie nierówności ma ramiona skierowane w dół. Parabola może przyjąć jedną z dwóch postaci:

Zbiór rozwiązań nierówności

$mx^2-(m-4)x-2 < 0$

to byłby przedział:

$(-\infty,x_1)\cup(x_2,+\infty)$

W tym wypadku nigdy nie wyznaczymy takich wartości $m$ , aby zbiór rozwiązań zawierał się w przedziale $(0,+\infty)$ .

Jeżeli parabola byłąby pod osią $OX$ , to zbiorem rozwiązań nierówności

$mx^2-(m-4)x-2 < 0$

byłby zbiór liczb rzeczywistych, który również nie może się zawierać w przedziale $(0,+\infty)$ .

Podsumowując, jeżeli $m<0$ , to zbiór rozwiązań nierówności nie może znajdować się w przedziale $(0,+\infty)$ .

b) $m=0$

Po podstawieniu $m=0$ do nierówności $mx^2-(m-4)x-2 < 0$ otrzymujemy:

$-(-4)x-2 < 0$

$4x-2 < 0$

$4x < 2$

$x < \cfrac{1}{2}$

Zbiór rozwiąząń to:

$(-\infty,\cfrac{1}{2})$

Zbiór ten nie zawiera się w zbiorze $(0,+\infty)$ , dlatego $m=0$ , również nie jest rozwiązaniem zadania.

c) $m>0$

Jeżeli $m>0$ , to parabola będąca wykresem funkcji kwadratowej po lewej stronie nierówności ma ramiona skierowane w górę. Parabola może przyjąć jedną z dwóch postaci:

1. Gdy wyróżnik $\Delta$ jest ujemny:

to parabola nie przecina osi $OX$ .

Nierówność

$mx^2-(m-4)x-2 < 0$

nie ma rozwiązań, ponieważ wszystkie wartości funkcji są dodatnie.

2. Gdy wyróżnik $\Delta$ jest nieujemny (czyli istnieją miejsca zerowe):

Zbiór rozwiązań nierówności

$mx^2-(m-4)x-2 < 0$

to byłby przedział:

$(x_1,x_2)$

Sprawdzamy kiedy wyróżnik jest nieujemny:

$\Delta=(m-4)^2-4* m * (-2)=m^2-8m+16+8m=m^2+16$

$m^2+16 \geq 0$

Rozwiązaniem tej nierówności jest zbiór liczb rzeczywistych:

$m \in \mathbb{R}$ .

Jeżeli wyróżnik jest nieujemny to rozwiązaniem jest przedział $(x_1,x_2)$ . Musimy teraz sprawdzić, kiedy taki przedział jest zawarty w przedziale $(0,+\infty)$ . Aby tak było, to oba pierwiastki $x_1$ i $x_2$ muszą być dodatnie (suma i iloczyn tych pierwiastków musi być dodatni). Korzystając z wzorów Viete'a otrzymujemy warunki:

$x_1+x_2=-\cfrac{b}{a}=\cfrac{m-4}{m}$

$x_1* x_2=\cfrac{c}{a}=\cfrac{-2}{m}$

Sprawdzamy, kiedy suma i iloczyn pierwiastków są dodatnie:

- suma pierwiastków

$\cfrac{m-4}{m}>0$

$m(m-4)>0$

$m \in (-\infty,0) \cup(4,+\infty)$

- iloczyn pierwiastków

$\cfrac{-2}{m}>0$

$m \in (-\infty,0)$

Wartości $m$ , dla których suma pierwiastków jest dodatnia i iloczyn to:

$m \in (-\infty,0)$

Na początku tego przypadku zakładaliśmy, że $m>0$ , dlatego też ten przedział nie jest rozwiązaniem.

Podsumowanie:

Brak rozwiązań.

Zadanie 1
Premium

Wyznacz te wartości parametru $m$ , dla których nierówność

$-\cfrac{1}{4}(m-5)x^2+(m-1)x+m+5>0$

jest spełniona dla każdego $x\in \mathbb{R}$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura rozszerzona
0 komentarzy

Zadanie 2
Premium

Wyznacz te wartości $x$ , dla których nierówność

$x(\cfrac{\sqrt{2}}{2}m+1)-\cfrac{1}{4}m^2-\sqrt{2}m-\cfrac{39}{2}<0$

jest prawdziwa dla każdego $m \in \mathbb{R}$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura rozszerzona
0 komentarzy

Zadanie 3
Premium

Wyznacz te wartości parametru $p$ , dla których parabola będąca wykresem funkcji

$f(x)=-3x^2+\cfrac{p}{2}x+p-\cfrac{1}{3}$

znajduje się pod prostą o równaniu

$y=(-\cfrac{p}{2}-2)x+\cfrac{7}{12}p+3$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura rozszerzona
1 komentarz

Zadanie 4
Premium

Pewna parabola jest opisana równaniem: $y=2x^2+bx+8$ , gdzie $b$ jest dowolną liczbą rzeczywistą. Wyznacz wszystkie wartości parametru $b$ , dla których wierzchołek paraboli leży nad osią $OX$ .