Drukuj

Co to jest nierówność kwadratowa?

Nierówność kwadratowa

Nierównością kwadratową nazywamy każdą z nierówności:

ax^2+bx+c>0

ax^2+bx+c \geq 0

ax^2+bx+c<0

ax^2+bx+c \leq 0


gdzie

a,b,c \in \mathbb{R} - współczynniki

a\neq 0

x \in \mathbb{R} - zmienna

Rozwiązanie nierówności kwadratowej

Rozwiązaniem nierówności kwadratowej najczęściej jest przedział liczb np x \in (2,5). Zdarza się, że x należy do całego zbioru liczb rzeczywistych.

To jak wygląda to rozwizanie zależy od kilku rzeczy: po pierwsze od współczynnika 'a' znajdującego się przy x kwadrat. Po drugie od wartości delty i tego czy wykres przecina oś OX. 

Rozwiązania nierówności dla a>0

W tej części lekcji omówmy rozwiązywanie nierówności kwadratowych dla a>0.

 

 Dla dodatniego a wykresem funkcji kwadratowej jest parabola y =ax^2+bx+c  skierowana ramionami do góry.

W zależności od znaku wyróżnika \Delta trójmian kwadratowy posiada miejsca zerowe lub nie, a wykres funkcji kwadratowej  (parabola) posiada punkty wspólne z osią OX lub nie.

Omówmy teraz wszystkie możliwe przypadki: 

Jeżeli a > 0 i \Delta < 0 to
zarys wykresu funkcji kwadratowej
nierówność rozwiązanie komentarz
ax^2 + bx+ c > 0 \mathbb{R} parabola leży w całości powyżej osi OX, zatem zbiorem rozwiązań jest cały zbiór liczb \mathbb{R}
ax^2 + bx+ c \geq 0 \mathbb{R}
ax^2 + bx+ c < 0 \varnothing żadna część paraboli nie leży poniżej osi OX, ani też nie ma z osią OX punktów wspólnych
ax^2 + bx+ c \leq 0 \varnothing
   
     
 Jeżeli a > 0 i \Delta = 0 to
 zarys wykresu funkcji kwadratowej 
nierówność rozwiązanie komentarz
ax^2 + bx+ c > 0 \mathbb{R} \backslash \{-\cfrac{b}{2a}\} prawie cała parabola leży powyżej osi OX za wyjątkiem punktu wspólnego z osią OX, zatem zbiorem rozwiązań jest cały zbiór liczb bez x_0 = -\cfrac{b}{2a}
ax^2 + bx+ c \geq 0 \mathbb{R} prawie cała parabola leży powyżej osi OX oraz posiada jeden punktu wspólny z osią OX, zatem zbiorem rozwiązań jest cały zbiór liczb \mathbb{R}
ax^2 + bx+ c < 0  \varnothing żadna część paraboli nie leży poniżej osi OX, zatem nierówność nie jest spełniona
ax^2 + bx+ c \leq 0  -\cfrac{b}{2a} żadna część paraboli nie leży poniżej osi OX, jedynie posiada ona punkt wspólny z osią OX w x_0 = -\cfrac{b}{2a}
     
     
Jeżeli a > 0 i \Delta > 0 to
zarys wykresu funkcji kwadratowej

nierówność
rozwiązanie komentarz
ax^2 + bx+ c > 0  (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty) cześć paraboli na lewo od najmniejszego pierwiastka x_1 i na prawo od największego pierwiastka x_2 leży powyżej osi OX
ax^2 + bx+ c \geq 0  (-\infty, x_1] \cup [x_2, +\infty) cześć paraboli na lewo od najmniejszego pierwiastka x_1 i na prawo od największego pierwiastka x_2 leży powyżej osi OX
ax^2 + bx+ c < 0  (x_1, x_2) cześć paraboli między najmniejszym pierwiastkiem x_1 i największym pierwiastkiem x_2 leży poniżej osi OX
ax^2 + bx+ c \leq 0   [x_1, x_2] cześć paraboli między najmniejszym pierwiastkiem x_1 i największym pierwiastkiem x_2 leży poniżej osi OX

Przykłady nierówności

 

Przykład:

 

Rozwiąż nierówność:

x^2-3x+3 > 0

 

Widzimy, że a = 1 > 0. Liczymy deltę

\Delta = (-3)^2 - 4 * 1 * 3 = 9 - 12 = -3

Spójrzmy jeszcze na wykres funkcji f(x)=x^2-3x+3:

Cała parabola znajduje się nad osią OX, zatem wszystkie wartości funkcji są dodatnie. Wyróżnik (delta) jest ujemny, oznacza to, że funkcja nie ma miejsc zerowych. Rozwiązaniem jest

x \in \mathbb{R}

 

Przykład:

Rozwiąż nierówność:

 

x^2-2x+1 > 0

 

Widzimy, że a = 1 > 0. Liczymy deltę

\Delta = (-2)^2 - 4 * 1 * 1 = 4 - 4 = 0

znajdujemy pierwiastek

x_0 = \cfrac{-(-2)}{2 * 1} = 1

Spójrzmy na rysunek pomocniczy:

\Delta = 0 rozwiązaniem jest

x \in \mathbb{R} \backslash \{ 1 \}

 

 

Przykład:

Rozwiąż nierówność:

 

2x^2-6x+4 \geq 0

 

Widzimy, że a = 2 > 0. Liczymy deltę

\Delta = (-6)^2 - 4 * 2 * 4 = 36 - 32 = 4

znajdujemy pierwiastki

x_1 = \cfrac{-(-6) - \sqrt{4}}{2 * 2} = \cfrac{6 - 2}{4} = 1

x_2 = \cfrac{-(-6) + \sqrt{4}}{2 * 2} = \cfrac{6 + 2}{4} = 2

Spójrzmy na rysunek pomocniczy:

ponieważ \Delta > 0 rozwiązaniem jest

x \in (-\infty, 1] \cup [2, +\infty)

 

Przykład:

Rozwiąż nierówność:

 

x^2+x-2 \leq 0

Widzimy, że a = 1 > 0. Liczymy deltę

\Delta = 1^2 - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9

znajdujemy pierwiastki

x_1 = \cfrac{-1 - \sqrt{9}}{2 * 1} = \cfrac{-1 - 3}{2} = -2

x_2 = \cfrac{-1 + \sqrt{9}}{2 * 1} = \cfrac{-1 + 3}{2} = 1

Spójrzmy na rysunek pomocniczy:

\Delta > 0 rozwiązaniem jest

x \in [-2, 1]

Nierówności dla a<0

W tej części lekcji zajmiemy się rozwiązywaniem nierówności kwadratowych dla współczynnika a<0.

Dla ujemnego a wykresem funkcji kwadratowej jest parabola y=ax^2+bx+c  skierowana ramionami w dół.

W zależności od znaku wyróżnika \Delta trójmian kwadratowy posiada miejsca zerowe lub nie, a wykres funkcji kwadratowa posiada punkty styczności z osią OX lub nie.

 

Jeżeli a < 0 i \Delta < 0 to
zarys wykresu funkcji kwadratowej
nierówność rozwiązanie komentarz
  • ax^2 + bx+ c > 0
\varnothing

żadna część paraboli nie leży powyżej osi OX, ani też nie ma z osią OX puntków styczności

  • ax^2 + bx+ c \geq 0
\varnothing
  • ax^2 + bx+ c < 0
\mathbb{R}

parabola leży w całości poniżej osi OX, zatem zbiorem rozwiązań jest cały zbiór liczb \mathbb{R}

  • ax^2 + bx+ c \leq 0
\mathbb{R}
     
     
Jeżeli a < 0 i \Delta = 0 to
zarys wykresu funkcji kwadratowej

nierówność rozwiązanie komentarz
  • ax^2 + bx+ c > 0
\varnothing żadna część paraboli nie leży powyżej osi OX, zatem nierówność nie jest spełniona
  • ax^2 + bx+ c \geq 0
-\cfrac{b}{2a} żadna część paraboli nie leży powyżej osi OX, jedynie posiada ona punkt styczności z osią OX dla argumentu x_0 = -\cfrac{b}{2a}
  • ax^2 + bx+ c < 0
\mathbb{R} \backslash \{-\cfrac{b}{2a}\} prawie cała parabola leży poniżej osi OX za wyjątkiem punktu styczności z osią OX, zatem zbiorem rozwiązań jest cały zbiór liczb bez x_0 = -\cfrac{b}{2a}
  • ax^2 + bx+ c \leq 0
\mathbb{R} prawie cała parabola leży poniżej osi OX oraz posiada jeden punktu styczności z osią OX, zatem zbiorem rozwiązań jest cały zbiór liczb \mathbb{R}
     
     
Jeżeli a < 0 i \Delta > 0 to
zarys wykresu funkcji kwadratowej

nierówność rozwiązanie komentarz
  • ax^2 + bx+ c > 0
(x_1, x_2) cześć paraboli między najmniejszym pierwiastkiem x_1 i największym pierwiastkiem x_2 leży powyżej osi OX
  • ax^2 + bx+ c \geq 0
   [x_1, x_2] cześć paraboli między najmniejszym pierwiastkiem x_1 i największym pierwiastkiem x_2 leży powyżej osi OX
  • ax^2 + bx+ c < 0
(-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty) cześć paraboli na lewo od najmniejszego pierwiastka x_1 i na prawo od największego pierwiastka x_2 leży poniżej osi OX
  • ax^2 + bx+ c \leq 0
(-\infty, x_1] \cup [x_2, +\infty) cześć paraboli na lewo od najmniejszego pierwiastka x_1 i na prawo od największego pierwiastka x_2 leży poniżej osi OX

Przykłady nierówności dla a<0

Przykład:
Rozwiąż nierówność:

-2x^2+6x-5 < 0

 

Widzimy, że a = -2 < 0. Liczymy deltę

\Delta = 6^2 - 4 * (-2) * (-5) = 36 - 40 = -4

Spójrzmy na rysunek pomocniczy:

\Delta < 0 rozwiązaniem jest

x \in \mathbb{R}

 

Przykład:

Rozwiąż nierówność:

-3x^2+6x-3 < 0

Widzimy, że a = -3 < 0. Liczymy deltę

\Delta = 6^2 - 4 * (-3) * (-3) = 36 - 36 = 0

znajdujemy pierwiastek

x_0 = \cfrac{-6}{2 * (-3)} = 1

Spójrzmy na rysunek pomocniczy:

\Delta = 0 rozwiązaniem jest

x \in \mathbb{R} \backslash \{ 1 \}

 

Przykład:
Rozwiąż nierówność:

-2x^2-6x-4 \leq 0

Widzimy, że a = -2 < 0. Liczymy deltę

\Delta = (-6)^2 - 4 * (-2) * (-4) = 36 - 32 = 4

znajdujemy pierwiastki

x_1 = \cfrac{-(-6) - \sqrt{4}}{2 * (-2)} = \cfrac{6 - 2}{-4} = -1

x_2 = \cfrac{-(-6) + \sqrt{4}}{2 * (-2)} = \cfrac{6 + 2}{-4} = -2

Spójrzmy na rysunek pomocniczy:

\Delta > 0 rozwiązaniem jest

x \in (-\infty, -2] \cup [-1, +\infty)

 

Przykład:
Rozwiąż nierówność:

-x^2-x+2 \geq 0

Widzimy, że a = -1 < 0. Liczymy deltę

\Delta = (-1)^2 - 4 * (-1) * 2 = 1 + 8 = 9

znajdujemy pierwiastki

x_1 = \cfrac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 * (-1)} = \cfrac{1 - 3}{-2} = 1

x_2 = \cfrac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 * (-1)} = \cfrac{1 + 3}{-2} = -2

 

Spójrzmy na rysunek pomocniczy:

\Delta > 0 rozwiązaniem jest

x \in [-2, 1]


Zadanie 1

Rozwiąż nierówność:

3x^2+7x+2 >0

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Rozwiąż nierówność: x^2+3x+2<0.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Rozwiąż nierówność x^2+4x-21\geq 0, a następnie zaznacz zbiór rozwiązań na osi liczbowej.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Rozwiąż nierówność x^2-x-\cfrac{3}{4} \leq 0, a następnie zaznacz zbiór rozwiązań na osi liczbowej.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Rozwiąż nierówność x^2+6x-7 \leq 0, a następnie zaznacz zbiór rozwiązań na osi liczbowej.

 

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Rozwiąż nierówność:x^2-9x+14<0.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7


Rozwiąż nierówność:

-x^2+5x-3>0

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

Rozwiąż nierówność -x^2+4x-3>0 a następnie zaznacz rozwiązanie na osi liczbowej.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

Zbiorem rozwiązań nierówności x^2<9 jest :

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

Zbiorem rozwiązań nierówności x^2 \geq 6x jest:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

Wskaż zbiór rozwiązań nierówności (x-3)(x+4)>0

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12

Ile jest liczb całkowitych spełniających nierówność (x-\sqrt{3})(x+\sqrt{2})<0?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13

Wskaż zbiór rozwiązań nierówności -2x^2+5x-3<0.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14

Rozwiąż nierówność -7x^2+4x+3\leq 0.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15

Rozwiąż nierówność 3(x-1)^2-4(x+4)-4<x^2-4x+1.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 16

Funkcja f dana jest wzorem  f(x)=-x^2+5x+6. Wyznacz te argumenty dla których ta funkcja przyjmuje wartości dodatnie.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 17

Funkcja f dana jest wzorem f(x)=3x^2+\cfrac{15}{2}x+3. Wyznacz dla jakich argumentów funkcja ta przyjmuje wartości niedodanie.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 18
Premium

Dla jakich argumentów x wartości funkcji f(x)=x^2+4x-2 są większe od wartości funkcji g(x)=x-2?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 19
Premium

Wyznacz wszystkie liczby całkowite spełniające nierówność: x^2-9x+18<0.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 20
Premium

Podaj dwa przykłady funkcji kwadratowej f(x)=ax^2+bx+c, dla której rozwiązaniem nierówności

f(x)>0 jest przedział x \in (-\infty,-3)\cup(5,+\infty).

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 21
Premium

Jakie warunki muszą być spełnione, aby nierówność ax^2+bx+c<0, była spełniona dla wszystkich liczb rzeczywistych?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 22
Premium

Ile wyrazów ujemnych ma ciąg (a_n) określony wzorem a_n=\cfrac{1}{4}n^2-3n+5 dla n \geq 1?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 23
Premium

Dane są funkcje:  f(x)=x^2-9g(x)=2x+6.

a) narysuj wykresy funkcji f i g

b) rozwiąż równanie   f(x)=g(x)

c) rozwiąż nierówność:   f(x)>g(x-2)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 24
Premium

Dla jakich x wartości funkcji f(x)=x^2-2x-1 są większe od wartości funkcji g(x)=4x+2?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 25
Premium

Ile wyrazów ciągu (b_n) o wyrazie ogólnym b_n=5n^2+6n-1 jest mniejszych od 60?

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz