Co to jest nierówność kwadratowa?
Nierównością kwadratową nazywamy każdą z nierówności:
gdzie
- współczynniki
- zmienna
Rozwiązanie nierówności kwadratowej
Rozwiązaniem nierówności kwadratowej najczęściej jest przedział liczb np . Zdarza się, że x należy do całego zbioru liczb rzeczywistych.
To jak wygląda to rozwizanie zależy od kilku rzeczy: po pierwsze od współczynnika 'a' znajdującego się przy x kwadrat. Po drugie od wartości delty i tego czy wykres przecina oś OX.
Rozwiązania nierówności dla a>0
W tej części lekcji omówmy rozwiązywanie nierówności kwadratowych dla .
Dla dodatniego wykresem funkcji kwadratowej jest parabola
skierowana ramionami do góry.
W zależności od znaku wyróżnika trójmian kwadratowy posiada miejsca zerowe lub nie, a wykres funkcji kwadratowej (parabola) posiada punkty wspólne z osią
lub nie.
Omówmy teraz wszystkie możliwe przypadki:
Jeżeli |
||
zarys wykresu funkcji kwadratowej | ||
![]() |
||
nierówność | rozwiązanie | komentarz |
|
parabola leży w całości powyżej osi |
|
|
||
|
żadna część paraboli nie leży poniżej osi |
|
|
||
Jeżeli |
||
zarys wykresu funkcji kwadratowej | ||
![]() |
||
nierówność | rozwiązanie | komentarz |
|
prawie cała parabola leży powyżej osi |
|
|
prawie cała parabola leży powyżej osi |
|
|
|
żadna część paraboli nie leży poniżej osi |
|
|
żadna część paraboli nie leży poniżej osi |
Jeżeli |
||
zarys wykresu funkcji kwadratowej | ||
|
||
nierówność |
rozwiązanie | komentarz |
|
|
cześć paraboli na lewo od najmniejszego pierwiastka |
|
|
cześć paraboli na lewo od najmniejszego pierwiastka |
|
|
cześć paraboli między najmniejszym pierwiastkiem |
|
|
cześć paraboli między najmniejszym pierwiastkiem |
Przykłady nierówności
Rozwiąż nierówność:
Widzimy, że . Liczymy deltę
Spójrzmy jeszcze na wykres funkcji :
Cała parabola znajduje się nad osią , zatem wszystkie wartości funkcji są dodatnie. Wyróżnik (delta) jest ujemny, oznacza to, że funkcja nie ma miejsc zerowych. Rozwiązaniem jest
Rozwiąż nierówność:
Widzimy, że . Liczymy deltę
znajdujemy pierwiastek
Spójrzmy na rysunek pomocniczy:
rozwiązaniem jest
Rozwiąż nierówność:
Widzimy, że . Liczymy deltę
znajdujemy pierwiastki
Spójrzmy na rysunek pomocniczy:
ponieważ rozwiązaniem jest
Rozwiąż nierówność:
Widzimy, że . Liczymy deltę
znajdujemy pierwiastki
Spójrzmy na rysunek pomocniczy:
rozwiązaniem jest
Nierówności dla a<0
W tej części lekcji zajmiemy się rozwiązywaniem nierówności kwadratowych dla współczynnika .
Dla ujemnego wykresem funkcji kwadratowej jest parabola
skierowana ramionami w dół.
W zależności od znaku wyróżnika trójmian kwadratowy posiada miejsca zerowe lub nie, a wykres funkcji kwadratowa posiada punkty styczności z osią
lub nie.
Jeżeli |
||
zarys wykresu funkcji kwadratowej | ||
![]() |
||
nierówność | rozwiązanie | komentarz |
|
żadna część paraboli nie leży powyżej osi |
|
|
||
|
parabola leży w całości poniżej osi |
|
|
||
Jeżeli |
||
zarys wykresu funkcji kwadratowej | ||
nierówność | rozwiązanie | komentarz |
|
żadna część paraboli nie leży powyżej osi |
|
|
żadna część paraboli nie leży powyżej osi |
|
|
prawie cała parabola leży poniżej osi |
|
|
prawie cała parabola leży poniżej osi |
|
Jeżeli |
||
zarys wykresu funkcji kwadratowej | ||
|
||
nierówność | rozwiązanie | komentarz |
|
cześć paraboli między najmniejszym pierwiastkiem |
|
|
|
cześć paraboli między najmniejszym pierwiastkiem |
|
cześć paraboli na lewo od najmniejszego pierwiastka |
|
|
cześć paraboli na lewo od najmniejszego pierwiastka |
Przykłady nierówności dla a<0
Widzimy, że . Liczymy deltę
Spójrzmy na rysunek pomocniczy:
rozwiązaniem jest
Rozwiąż nierówność:
Widzimy, że . Liczymy deltę
znajdujemy pierwiastek
Spójrzmy na rysunek pomocniczy:
rozwiązaniem jest
Widzimy, że . Liczymy deltę
znajdujemy pierwiastki
Spójrzmy na rysunek pomocniczy:
rozwiązaniem jest
Widzimy, że . Liczymy deltę
znajdujemy pierwiastki
Spójrzmy na rysunek pomocniczy:
rozwiązaniem jest
Zobacz rozwiązanieRozwiąż nierówność:
Zobacz rozwiązanieRozwiąż nierówność:
.
Zobacz rozwiązanieRozwiąż nierówność
, a następnie zaznacz zbiór rozwiązań na osi liczbowej.
Zobacz rozwiązanieRozwiąż nierówność
, a następnie zaznacz zbiór rozwiązań na osi liczbowej.
Zobacz rozwiązanieRozwiąż nierówność
, a następnie zaznacz zbiór rozwiązań na osi liczbowej.
Zobacz rozwiązanieRozwiąż nierówność:
.
Zobacz rozwiązanie
Rozwiąż nierówność:
Zobacz rozwiązanieRozwiąż nierówność
a następnie zaznacz rozwiązanie na osi liczbowej.
Zobacz rozwiązanieZbiorem rozwiązań nierówności
jest :
Zobacz rozwiązanieZbiorem rozwiązań nierówności
jest:
Zobacz rozwiązanieWskaż zbiór rozwiązań nierówności
Zobacz rozwiązanieIle jest liczb całkowitych spełniających nierówność
?
Zobacz rozwiązanieWskaż zbiór rozwiązań nierówności
.
Zobacz rozwiązanieRozwiąż nierówność
.
Zobacz rozwiązanieRozwiąż nierówność
.
Zobacz rozwiązanieRozwiąż nierówność
.
Zobacz rozwiązanieFunkcja
dana jest wzorem
. Wyznacz te argumenty dla których ta funkcja przyjmuje wartości dodatnie.
Zobacz rozwiązanieFunkcja
dana jest wzorem
. Wyznacz dla jakich argumentów funkcja ta przyjmuje wartości niedodanie.
Zobacz rozwiązanieDla jakich argumentów
wartości funkcji
są większe od wartości funkcji
?
Zobacz rozwiązanieWyznacz wszystkie liczby całkowite spełniające nierówność:
.
Zobacz rozwiązaniePodaj dwa przykłady funkcji kwadratowej
, dla której rozwiązaniem nierówności
jest przedział
.
Zobacz rozwiązanieJakie warunki muszą być spełnione, aby nierówność
, była spełniona dla wszystkich liczb rzeczywistych?
Zobacz rozwiązanieIle wyrazów ujemnych ma ciąg
określony wzorem
dla
?
Zobacz rozwiązanieDane są funkcje:
i
.
a) narysuj wykresy funkcji
i
b) rozwiąż równanie
c) rozwiąż nierówność:
Zobacz rozwiązanieDla jakich
wartości funkcji
są większe od wartości funkcji
?
Zobacz rozwiązanieIle wyrazów ciągu
o wyrazie ogólnym
jest mniejszych od
?
Przeczytaj także:
- Miejsca zerowe funkcji kwadratowej
- Zbiór wartości funkcji kwadratowej
- Monotoniczność funkcji kwadratowej
- Parabola
- Postacie funkcji kwadratowej
- Równania kwadratowe
- Równania kwadratowe z parametrem
- Nierówności kwadratowe z parametrem
- Wyznaczanie najmniejszej i największej wartości funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym
- Wzory Viete'a
- Zadania optymalizacyjne z funkcji kwadratowej
COMMENT_CONTENT