Przedziały monotoniczności funkcji kwadratowej

Przypomnijmy, że wykresem funkcji kwadratowej f(x)=ax^2+bx+c jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt  W=(p,q), gdzie p=-\cfrac{b}{2a}  i  q=-\cfrac{\Delta}{4a}.

Funkcja kwadratowa ma różne przedziały monotoniczności, w zależności od współczynnika a. W związku tym rozpatrzymy dwa przypadki.

1) a>0

Jeżeli współczynnik a jest większy od zera, wówczas ramiona paraboli są skierowane do góry. Jak na rysunku poniżej:


Wynika stąd, że  funkcja f:

  • maleje w przedziale (-\infty,p] (kolor zielony)
  • rośnie w przedziale [p,+\infty) (kolor niebieski)

2) a<0

Jeżeli współczynnik a jest mniejszy od zera, wówczas ramiona paraboli są skierowane w dół. Jak na rysunku poniżej:


Wynika stąd, że funkcja f

  • rośnie w przedziale (-\infty,p] (kolor niebieski)
  • maleje w przedziale [p,+\infty) (kolor zielony)
UWAGA!

Zauważ, że jeżeli wzór funkcji kwadratowej jest podany w postaci kanonicznej, tzn:

f(x)=a(x-p)^2+q

to bez zbędnych obliczeń, możemy podać jej przedziały monotoniczności.

 

Przykład 1

Podaj maksymalne przedziały w których funkcje f,\ g rosną, gdzie:

 

a) f(x)=2(x-9)^2+7

b) g(x)=-(x+3)^2+1

 

a) f(x)=2(x-9)^2+7

Współczynnik a we wzorze funkcji f jest większy od zera, zatem ramiona paraboli będącej wykresem tej funkcji są skierowane do góry.  Funkcja jest przedstawiona w postaci kanonicznej, zatem możemy z jej wzoru odczytać współrzędne wierzchołka paraboli. Pierwsza współrzędna tego wierzchołka to p=9. Zgodnie z powyższym opisem odnośnie odczytywania przedziałów monotoniczności, funkcja f rośnie w przedziale [p,+\infty).

Maksymalny przedział, w którym funkcja f rośnie to:

[9,+\infty)

b) g(x)=-(x+3)^2+1

 Współczynnik a we wzorze funkcji g jest mniejszy od zera, zatem ramiona paraboli będącej wykresem tej funkcji są skierowane w dół.  Podobnie jak wyżej z wzoru funkcji odczytujemy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli.  Pierwsza współrzędna tego wierzchołka to p=-3. Zgodnie z powyższym opisem odnośnie odczytywania przedziałów monotoniczności, funkcja g rośnie w przedziale (-\infty,p].

Maksymalny przedział, w którym funkcja g rośnie to:

(-\infty,-3]

Zaznacz co jest prawdą a co fałszem

Funkcja f dana wzorem f(x)=(x-2)^2+9 rośnie w przedziale [9,+\infty).
Funkcja g dana wzorem g(x)=(x+3)^2+5 maleje w przedziale (-\infty,-3].
Funkcja h dana wzorem h(x)=-8(x+5)^2-7 rośnie w przedziale (-\infty,-5].

Zadanie 1

Funkcja f dana jest wzorem f(x)=x^2-3x+2. Funkcja ta maleje w przedziale:

 

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Funkcja g dana jest wzorem g(x)=-x^2+4x+12. Funkcja ta rośnie w przedziale:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Na powyższym rysunku znajduje się wykres funkcji kwadratowej. Na jego podstawie wyznacz:

a) Miejsca zerowe funkcji

b) Współrzędne wierzchołka paraboli

c) Przedziały monotoniczności

d) Wzór funkcji

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Wskaż wzór funkcji kwadratowej, która jest rosnąca w przedziale [5,+\infty).

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Znajdź wszystkie funkcje kwadratowe, które są malejące w przedziale (-\infty,6] i których zbiór wartości to przedział [3,+\infty).

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Funkcja kwadratowa f(x)=ax^2+bx+c jest malejąca w przedziale (-\infty, 1], a najmniejsza wartość tej funcji wynosi -5.  Wskaż prawidłową odpowiedź.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

Dla funkcj kwadratowej f(x)=(x+4)^2-10 wyznacz:

a) zbiór wartości,

b) miejsca zerowe,

c) przedziały monotoniczności.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz