Przedziały monotoniczności funkcji kwadratowej
Przypomnijmy, że wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt
, gdzie
i
.
Funkcja kwadratowa ma różne przedziały monotoniczności, w zależności od współczynnika . W związku tym rozpatrzymy dwa przypadki.
1) a>0
Jeżeli współczynnik jest większy od zera, wówczas ramiona paraboli są skierowane do góry. Jak na rysunku poniżej:
Wynika stąd, że funkcja :
- maleje w przedziale
(kolor zielony)
- rośnie w przedziale
(kolor niebieski)
2) a<0
Jeżeli współczynnik jest mniejszy od zera, wówczas ramiona paraboli są skierowane w dół. Jak na rysunku poniżej:
Wynika stąd, że funkcja
- rośnie w przedziale
(kolor niebieski)
- maleje w przedziale
(kolor zielony)
Zauważ, że jeżeli wzór funkcji kwadratowej jest podany w postaci kanonicznej, tzn:
to bez zbędnych obliczeń, możemy podać jej przedziały monotoniczności.
Podaj maksymalne przedziały w których funkcje rosną, gdzie:
a)
b)
a)
Współczynnik we wzorze funkcji
jest większy od zera, zatem ramiona paraboli będącej wykresem tej funkcji są skierowane do góry. Funkcja jest przedstawiona w postaci kanonicznej, zatem możemy z jej wzoru odczytać współrzędne wierzchołka paraboli. Pierwsza współrzędna tego wierzchołka to
. Zgodnie z powyższym opisem odnośnie odczytywania przedziałów monotoniczności, funkcja
rośnie w przedziale
.
Maksymalny przedział, w którym funkcja rośnie to:
b)
Współczynnik we wzorze funkcji
jest mniejszy od zera, zatem ramiona paraboli będącej wykresem tej funkcji są skierowane w dół. Podobnie jak wyżej z wzoru funkcji odczytujemy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli. Pierwsza współrzędna tego wierzchołka to
. Zgodnie z powyższym opisem odnośnie odczytywania przedziałów monotoniczności, funkcja
rośnie w przedziale
.
Maksymalny przedział, w którym funkcja rośnie to:
Zaznacz co jest prawdą a co fałszem
Zobacz rozwiązanieFunkcja
dana jest wzorem
. Funkcja ta maleje w przedziale:
Zobacz rozwiązanieFunkcja
dana jest wzorem
. Funkcja ta rośnie w przedziale:
Zobacz rozwiązanie
Na powyższym rysunku znajduje się wykres funkcji kwadratowej. Na jego podstawie wyznacz:
a) Miejsca zerowe funkcji
b) Współrzędne wierzchołka paraboli
c) Przedziały monotoniczności
d) Wzór funkcji
Zobacz rozwiązanieWskaż wzór funkcji kwadratowej, która jest rosnąca w przedziale
.
Zobacz rozwiązanieZnajdź wszystkie funkcje kwadratowe, które są malejące w przedziale
i których zbiór wartości to przedział
.
Zobacz rozwiązanieFunkcja kwadratowa
jest malejąca w przedziale
, a najmniejsza wartość tej funcji wynosi
. Wskaż prawidłową odpowiedź.
Zobacz rozwiązanieDla funkcji kwadratowej
wyznacz:
a) zbiór wartości,
b) miejsca zerowe,
c) przedziały monotoniczności.
Przeczytaj także:
- Miejsca zerowe funkcji kwadratowej
- Zbiór wartości funkcji kwadratowej
- Parabola
- Postacie funkcji kwadratowej
- Równania kwadratowe
- Nierówności kwadratowe
- Równania kwadratowe z parametrem
- Nierówności kwadratowe z parametrem
- Wyznaczanie najmniejszej i największej wartości funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym
- Wzory Viete'a
- Zadania optymalizacyjne z funkcji kwadratowej
COMMENT_CONTENT