Drukuj

Obliczanie najmniejszej i największej wartości funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

Dane są:

1) funkcja kwadratowa określona wzorem  f(x)=ax^2+bx+c

2) przedział domknięty [x_1,x_2].

Zadaniem jakie teraz rozwiążemy jest wyznaczenie najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej w przedziale.

Przypomnienie:

Wierzchołek paraboli to punkt:

W=(p,q)=\left(-\cfrac{b}{2a},-\cfrac{\Delta}{4a}\right)

 

Pierwszym etapem w rozwiązywaniu tego typu zadań, jest określenie, gdzie znajduje się wierzchołek paraboli, a dokładniej pierwsza współrzędna tego wierzchołka p. Czyli:

  • Obliczamy  p=-\cfrac{b}{2a}
  • Jeżeli punkt p należy  do przedziału [x_1,x_2] wówczas obliczamy wartości funkcji w trzech punktach (na krańcach przedziału i w wierzchołku):

f(x_1)

f(x_2)

f(p)

i wybieramy spośród nich wartość maksymalną, bądź minimalną, w zależności od treści od zadania.

  • Jeżeli punkt p nie należy  do przedziału [x_1,x_2] wówczas obliczamy wartości funkcji w dwóch punktach (tylko na krańcach przedziału):

f(x_1)

f(x_2)

i wybieramy spośród nich wartość maksymalną, bądź minimalną, w zależności od treści zadania.

 

Przykład 1

Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji f danej wzorem f(x)=2x^2+8x+7 w przedziale [-4,-3].

 

Zgodnie z powyższym, najpierw sprawdzamy w jakim punkcie znajduje się wierzchołek paraboli:

p=-\cfrac{b}{2a}=-\cfrac{8}{2* 2}=-2

p\not\in [-4,-3]

 Ponieważ punkt p nie należy do przedziału  [-4,-3] to obliczamy wartości funkcji tylko na końcach przedziału:

f(-4)=2* (-4)^2+8 * (-4)+7=32-32+7=7

f(-3)=2 * (-3)^2+8 * (-3) +7=18-24+7=1

Dla lepszego zobrazowania tego zadania, poniżej został umieszczony wykres funkcji f:

 

Największa wartość funkcji f w przedziale  [-4,-3] to 7. Jest to wartość funkcji f dla argumentu x=-4.

Najmniejsza wartość funkcji f w przedziale  [-4,-3] to 1. Jest to wartość funkcji f dla argumentu x=-3.

 

 

Przykład 2

Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji f danej wzorem f(x)=x^2-6x+3 w przedziale  [2,5].

 

Najpierw sprawdzamy w jakim punkcie znajduje się wierzchołek paraboli:

p=-\cfrac{b}{2a}=-\cfrac{-6}{2* 1}=3

p \in [2,5]

Ponieważ punkt p należy do przedziału  [2,5] to obliczamy wartości funkcji w trzech punktach (na krańcach przedziału i w wierzchołku):

f(2)=2^2-6* 2+3=4-12+3=-5

f(5)=5^2-6* 5+3=25-30+3=-2

f(p)=f(3)=3^2- 6 * 3+3=9-18+3=-6

Dla lepszego zobrazowania tego zadania, poniżej został umieszczony wykres funkcji f:

 

Największa wartość funkcji f w przedziale  [2,5] to -2. Jest to wartość funkcji f dla argumentu x=5 .

Najmniejsza wartość funkcji f w przedziale  [2,5] to -6. Jest to wartość funkcji f dla argumentu x=3 .


Zadanie 1

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W=({2},{ -4}). Liczby 0 i 4 to miejsca zerowe funkcji f.

Największa wartość funkcji f w przedziale \langle 1, 4\rangle jest równa

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Jaka jest najmniejsza wartość funkcji f(x)=(x-5)^2+1 w przedziale [0,7]?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Jaka jest największa wartość funkcji f(x)=-(x-1)^2+3 w przedziale [-3,3]?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Jaka jest największa wartość funkcji f(x)=x^2-7 w przedziale [5,10]?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji f(x)=\cfrac{1}{3}x^2+2x-3 w przedziale [-3,0].

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6
Premium

Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji f(x)=2x^2-8x+11 w przedziale [-3,5].

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7
Premium

Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji f(x)=2x^2-8x+11 w przedziale [-2,6].

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8
Premium

Oblicz najmniejsza i największą wartość funkcji f o równaniu f(x)=3x^2+5x+1 w przedziale [1,3].

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9
Premium

Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji f(x)=-4x^2+8x+12 w przedziale [0,6].

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10
Premium

O funkcji kwadratowej f wiemy, że jest rosnąca w przedziale [-\cfrac{3}{2},+\infty), jednym z jej miejsc zerowych jest liczba -1 oraz, że jej wykres przecina oś OY w punkcie 6. Wyznacz wzór tej funkcji oraz jej najmniejszą i największą wartość w przedziale [-5,-4].

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz