Miejsca zerowe funkcji kwadratowej

Przypomnienie: Miejscem zerowym funkcji jest każdy jej argument, dla którego wartość funkcji jest równa zero. Tzn. taki x, że f(x)=0

Wzory: Miejsca zerowe funkcji kwadratowej.

Liczba miejsc zerowych  funkcji kwadratowej f(x)=ax^2+bx+c  jest uzależniona od wartości wyróżnika   \Delta=b^2-4ac.

  • \Delta<0 - nie ma miejsc zerowych
  • \Delta=0 - jedno miejsce zerowe:

x_0=\cfrac{- b}{2a}

  • \Delta>0 - dwa miejsca zerowe:

x_1=\frac {-b-\sqrt{\Delta}}{2a} ,      x_2=\cfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

Przykład

Oblicz miejsca zerowe funkcji danej wzorem f(x)=x^2+2x-3.

Najpierw odczytamy wartości współczynników z wzoru funkcji:

a=1

b=2

c=-3

Obliczamy wartość wyróżnika \Delta :

\Delta=b^2-4ac=2^2+4 * 1 * 3=4+12=16

Wartość wyróżnika jest większa od zera, czyli  funkcja f ma dwa miejsca zerowe.

x_1=\frac {-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac {-2-\sqrt{16}}{2}=\cfrac{-2-4}{2}=\cfrac{-6}{2}=-3

x_2=\cfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac {-2+\sqrt{16}}{2}=\cfrac{-2+4}{2}=\cfrac{2}{2}=1

Zatem miejscami zerowymi funkcji fx_1=-3  i x_2=1.

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej

Gdy funkcja kwadratowa ma postać iloczynową to jej miejsca zerowe możemy odczytać bezpośrednio ze wzoru. Nie musimy robić żadnych obliczeń. To jest dodatkowa cecha tej postaci funkcji kwadratowej

f(x) = 3(x - x_1) (x - x_2)

W takim przypadku miejsca zerowe to x_1 i x_2

Zwróć uwagę, że we wzorze przed x_1 i x_2 jest znak 'minus'. Jeżeli mielibyśmy tam 'plus' to wartości miejsc zerowych byłyby mniejsze od zera np: 

f(x) = 2(x + 2)(x+5)

W tym przypadku, miejsca zerowe to x_1 = -2 i x_2 = -5 


Zadanie 1

Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej danej wzorem f(x) = x^2+3x+2 są:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej g danej wzorem g(x)=2x^2+3x-5 są liczby:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Miejscami zerowymi funkcji, której wykres znajduje się na poniższym rysunku są:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Na powyższym rysunku znajduje się wykres funkcji kwadratowej. Na jego podstawie wyznacz:

a) Miejsca zerowe funkcji

b) Współrzędne wierzchołka paraboli

c) Przedziały monotoniczności

d) Wzór funkcji

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem

f(x) = -2(x+3)(x-5)

Liczby x_1 i x_2 są różnymi miejscami zerowymi funkcji f. Zatem

Rozwiązanie video

Zadanie 6

Dla funkcj kwadratowej f(x)=(x+4)^2-10 wyznacz:

a) zbiór wartości,

b) miejsca zerowe,

c) przedziały monotoniczności.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

Podaj maksymalny przedział, do którego muszą należeć pierwiastki funkcji f(x)=ax^2+bx+c, aby spełnione były nierówności:

f(1)>0

f(5)<0

f(8)>0

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz