Drukuj

Postać iloczynowa

Postać iloczynowa funkcji kwadratowej  pozwala bez wykonywania obliczeń odczytać jej miejsca zerowe. Postać iloczynowa nie istnieje, jeżeli wyróżnik funkcji jest mniejszy od zera!

\left\{\begin{array}{l l}nie\ istnieje,&gdy \Delta<0\\ f(x)=a(x-x_0)^2, & gdy \Delta = 0\\ f(x)=a(x-x_1)(x-x_2),& gdy \Delta>0\\ \end{array}\right.

gdzie:

x_0miejsce zerowe funkcji f

x_1,\ x_2 - dwa różne miejsca zerowe funkcji f

\Delta=b^2-4 a c - wyróżnik

Zamiana wzoru funkcji do postaci iloczynowej

Dana jest funkcja kwadratowa w postaci ogólnej f(x)=x^2+5x-6. Zapisz wzór tej funkcji w postaci iloczynowej.

Odczytujemy z wzoru ogólnego funkcji wartości współczynników:

a=1

b=5

c=-6

Aby zapisać funkcję kwadratową w postaci iloczynowej, należy najpierw obliczyć jej miejsca zerowe.

Obliczamy wyróżnik funkcji:

\Delta=b^2-4ac=5^2-4* 1* (-6)=25+24=49

Wyróżnik jest większy od zera, zatem funkcja ma dwa miejsca zerowe. Obliczamy je zgodnie z wzorami:

x_1=\frac {-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac {-5-\sqrt{49}}{2}=\frac {-5-7}{2}=\cfrac{-12}{2}=-6

x_2=\cfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac {-5+\sqrt{49}}{2}=\frac {-5+7}{2}=\cfrac{2}{2}=1

Zapisujemy wzór funkcji w postaci iloczynowej:

f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)=(x+6)(x-1)

Przykład 1

Odczytaj miejsca zerowe z postaci iloczynowej następujących funkcji kwadratowych: 

a) f(x)=2(x-2)(x+3)

b) f(x)=6(x+3)^2

c) f(x)=(x+1)(x+2)

d) f(x)=x(x-1)

 

a) f(x)=2(x-2)(x+3)

Miejscami zerowymi funkcj to: i fx_1=2 oraz x_2=-3.

Wartości te odczytujemy, porównując wzór funkcji  z wzorem ogólnym na postać iloczynową f(x)=a(x-x_1)(x-x_2).

f(x)=2(x-2)(x+3)=2(x-2)(x-(-3))

 

b) f(x)=6(x+3)^2

Miejscem zerowym funkcji f jest x_0=-3.

 

c) f(x)=(x+1)(x+2)

Miejscami zerowymi funkcji fx_1=-1 oraz x_2=-2.

 

d) f(x)=x(x-1)

Miejscami zerowymi funkcji fx_1=0 oraz x_2=1.

Zaznacz co jest prawdą a co fałszem

Ćwiczenia są dostępne dla zalogowanych uzytkowników posiadających konto premium

Zadanie 1

Dana  jest funkcja f(x)=(x-2)^2-9. Wskaż wzór tej funkcji w postaci iloczynowej.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz