1. Pole kwadratu
  2. Obwód kwadratu
  3. Przekątna kwadratu

Co to jest kwadrat?

Kwadrat to czworokąt, który ma wszystkie kąty proste i wszystkie boki taj samej długości.


Własności kwadratu:

  • Suma kątów w kwadracie to 360 stopni.
  • Każdy kwadrat jest prostokątem.
  • Pole kwadratu
  •  P = a^2
  • Obwód kwadratu
  •  Obw = 4a
  • Przekątne kwadratu
    • są równej długości
    • przecinają sie w połowie
    • przecinają sie pod kątem prostym
  • Punkt przecięcia przekątnych jest środkiem okręgu opisanego i wpisanego w kwadrat
  • Promień okręgu opisanego jest równy połowie długości przekątnej kwadratu
  •  R = \frac{1}{2}d
  • Promień okręgu wpisanego w kwadrat jest równa połowie długości boku tego kwadratu
  • r = \frac{1}{2}a


R = \cfrac{a\sqrt{2}}{2}

r = \cfrac{1}{2}a

 

Przykład 1

Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie wynosi  4 . Oblicz długość boku tego kwadratu.

 

Z treści zadania wiemy, że R=4, zatem:

4 = \cfrac{a\sqrt{2}}{2}

Obliczamy a, czyli długość boku kwadratu:

8 = a\sqrt{2}

a=\cfrac{8}{\sqrt{2}}

Usuwamy niewymierność z mianownika:

a=\cfrac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}.

 

Przykład 2

Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat jest równa 6. Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym kwadracie.

Z treści zadania wiemy, że r=6. Aby obliczyć długość promienia okręgu opisanego na kwadracie, musimy znać długość boku kwadratu, ponieważ

R = \cfrac{a\sqrt{2}}{2}

Obliczamy długość boku kwadratu, korzystając ze wzoru, na długość promienia okręgu wpsanego w kwadrat:

r = \cfrac{1}{2}a

Podstawiamy za r 6:

6 = \cfrac{1}{2}a

a=12

Mając już długość boku kwadratu, obliczamy szukany promień:

R = \cfrac{12\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}.

Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie, wynosi 6\sqrt{2}.

Przykład 3

Jeżeli pole kwadratu wynosi 10, to jaką długość ma promień okręgu wpisanego w ten kwadrat?

 

Aby obliczyć dłguość promienia okręgu wpisanego w kwadrat, musimy znać długość boku tego kwadratu. Wtedy podstawiając a do wzoru

r=\cfrac{a}{2}

obliczymy szukany promień. W treści zadania nie mamy danej długości boku kwadratu, ale za to wiemy ile wynosi pole tego kwadratu. Czyli:

a^2=10.

 Z podanej zależności, obliczymy długosć boku. Ponieważ długość boku nie może być wartością ujemną, to

a=\sqrt{10}.

Obliczamy długość szukanego promienia:

r=\cfrac{a}{2}=\cfrac{\sqrt{10}}{2}.

Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat wynosi \cfrac{\sqrt{10}}{2}.

Zaznacz co jest prawdą, a co fałszem.

Jeżeli d=2\sqrt{2}, to P=4.
Jeżeli R=6, to d=12.
Jeżeli P=25, to R=\cfrac{5\sqrt{2}}{2}.

Czy kwadrat jest prostokątem?

Tak, każdy kwadrat jest szczególnym przypadkiem prostokąta.

Zadanie 1

Kwadrat jest wpisany w okrąg o promieniu 6. Pole tego kwadratu wynosi:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Dany jest kwadrat  ABCD o boku długości a. Punkty K i L są środkami boków kwadratu. Oblicz długość odcinka MN.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Oblicz długość odcinka AM i MK, jeżeli czworokąt ABCD jest kwadratem o boku długości \sqrt{5}. Punkt K jest środkiem boku CD.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz