Czworokąt wpisany w okrąg

Twierdzenie: O czworokącie wpisanym w okrąg (1)

Czworokąt można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy suma miar przeciwległych kątów jest równa 180^{\circ}.

\alpha+\beta=\gamma+\delta

czworo<a href='katy-w-okregu'>kąt wpisany</a> w okąg

Twierdzenie: O czworokącie wpisanym w okrąg (2)

Jeżeli czworokąt wpisany jest w okrąg, to prawdziwa jest następująca zależność:

ac+bd=ef

Przykład 1

Wykaż, że jeżeli na trapezie da się opisać okrąg, to jest on równoramienny.

Wiemy, że na tym trapezie można opisać okrąg, zatem prawdziwa jest równość:

\alpha+\gamma=180^{\circ}

W trapezie, suma miar kątów przy jednym ramieniu jest równa 180^{\circ}, dlatego:

\beta+\gamma=180^{\circ}

Aby wykazać, że trapez jest równoramienny, musimy pokazać, że kąty przy podstawie mają taką samą miarę.

Z pierwszego równania otrzymujemy, że:

\gamma=180^{\circ}-\alpha

Podstawiamy to do drugiego równania:

\beta+180^{\circ}-\alpha=180^{\circ}

\beta-\alpha=0

\beta=\alpha


Zadanie 1

Kwadrat jest wpisany w okrąg o promieniu 6. Pole tego kwadratu wynosi:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Punkty  A=(1,2) oraz   C=(-2,3) są przeciwległymi wierzchołkami prostokąta ABCD. Środek okręgu opisanego na tym prostokącie znajduje się w punkcie:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Pole kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu 3 jest równe:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Pole koła opisanego na kwadracie o boku 6 wynosi:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Kwadrat jest wpisany w okrąg o promieniu 5. Pole tego kwadratu wynosi:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Oblicz pole koła.

 

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

Na czworokącie ABCD opisano okrąg. Punkt S jest środkiem tego okręgu, a odcinek AC jest jego średnicą. Styczna do okręgu w punkcie B jest równoległa do odcinka AC. Kąt \measuredangle ASD ma miarę 40^{\circ}. Oblicz miary wszystkich kątów wewnętrznych tego czworokąta.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

Punkty A=(9,-2) C=(1,2) są przeciwległymi wierzchołkami prostokąta ABCD. Promień okręgu opisanego na tym prostokącie wynosi:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

Oblicz miary kątów wewnętrznych czworokąta ABCD, jeżeli \alpha=50^{\circ}, a \beta=30^{\circ}.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz