Czworokąty opisane na okręgu

Twierdzenie: O czworokącie opisanym na okręgu

Czworokąt wypukły można opisać na  okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległych boków są sobie równe.

a+c=b+d

 

 

 

UWAGA!

W dowolny czworokąt można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy dwusieczne wszystkich kątów tego czworokąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem tego okręgu.

 

Przykład 1

W trapez o obwodzie 54\ cm wpisano okrąg o promieniu r=4\ cm. Jedno ramię tego trapezu jest dłuższe od drugiego o 7\ cm. Oblicz długości podstaw tego trapezu.

Ponieważ  w trapez można wpisać okrąg, to między bokami zachodzi zależność:

a+b=c+d

Obwód tego trapezu wynosi 54\ cm. Suma długości ramion jest równa połowie tego obwodu:

c+d=27\ cm

Z treści zadania wiemy, że

d=c+7

Obliczamy długości ramion:

c+c+7=27\ cm

2c=20\ cm

c=10\ cm

d=10\ cm +7\ cm=17\ cm

Z rysunku  widzimy, że:

b=|AE|+|EF|+|FB|

|EF|=a

h=2r=2* 4=8\ cm

Z twierdzenia Pitagorasa, zastosowanego do trójkątów AED i FBC obliczymy długości odcinków |AE| i |FB|.

 |AE|^2+(2r)^2=c^2

 |AE|^2+8^2=10^2

 |AE|^2=100-64=36

|AE|=6

 

 |FB|^2+(2r)^2=d^2

 |FB|^2+8^2=17^2

 |FB|^2=289-64=225

|FB|=15

 

b=|AE|+|EF|+|FB| =6+a+15=21+a

 

Ponieważ w trapez jest wpisany okrąg, to suma długości podstaw jest równa połowie obwodu:

a+b=27\ cm

a+21+a=27\ cm

2a=6\ cm

 

a=3\ cm

b=21\ cm+3\ cm=24\ cm


Zadanie 1

Pole koła wpisanego w kwadrat o boku 8 wynosi:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

W czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg. Dane są |BC|=a, |CD|=b oraz |\angle BAD|=\alpha.  Wiadomo, że |AB|=|AD|. Oblicz obwód czworokąta ABCD.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

 

a) Opisz za pomocą układu nierówności czworokąt opisany na rysunku.

b) Sprawdź czy w ten czworokąt można wpisać okrąg.

c) Oblicz pole czworokąta ABCD.

 

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz