1. Działania na przedziałach liczbowych
  2. Zaznaczanie przedziałów liczbowych na osi

Przedział liczbowy ograniczony

Definicja: Przedział liczbowy ograniczony.

Niech: a,b \in \mathbb{R} oraz a<b.

Przedziałem liczbowym ograniczonym, nazywamy podzbiór zbioru liczb rzeczywistych jednej z następujących postaci:

(a,b) = \{x\in \mathbb{R}:x>a \wedge x<b \}

[a,b)=\{x\in \mathbb{R}: x \geq a \wedge x<b \}

(a,b]=\{x\in \mathbb{R}: x > a \wedge x \leq b \}

[a,b]=\{x\in \mathbb{R}: x \geq a \wedge x \leq b \}

Poniżej opis każdego z tych przedziałów.

 

  • (a,b) = \{x\in \mathbb{R}:x>a \wedge x<b \}

Do tego przedziału, należą wszystkie liczby rzeczywiste, większe od a i mniejsze od b. Przedział ten nazywamy (obustronnie) otwartym, ponieważ skrajne punkty a i b do niego nie należą.

Przedział otwarty oznaczamy nawiasem orkągłym  .

 

Przykład:

(2,5),\ (-25,70),\ (0,9),\ ...

 

  • [a,b)=\{x\in \mathbb{R}: x \geq a \wedge x<b \}

Do tego przedziału, należą wszystkie liczby rzeczywiste, większe  lub równe a i mniejsze od b. Przedział ten nazywamy lewostronnie domkniętym, ponieważ punkt a do tego zbioru należy, a punkt b nie.

Domknięcie przedziału oznaczamy nawiasem kwadratowym  lub < i >.

 

Przykład:

[-8,5),\ [-5,70),\ [0,44),\ ...

 

  • (a,b]=\{x\in \mathbb{R}: x > a \wedge x \leq b \}

Do tego przedziału, należą wszystkie liczby rzeczywiste, większe od a i mniejsze lub równe b. Przedział ten nazywamy prawostronnie domkniętym, ponieważ punkt a do tego zbioru nie należy, a punkt b tak.

 

Przykład:

(2,42],\ (-25,0],\ (4,9],\ ...

 

  • [a,b]=\{x\in \mathbb{R}: x \geq a \wedge x \leq b \}

Do tego przedziału, należą wszystkie liczby rzeczywiste, większe lub równe a i mniejsze lub równe b. Przedział ten nazywamy (obustronnie) domkniętym, ponieważ oba skrajne punkty a i b należą do tego zbioru.

 

Przykład:

[4,7],\ [3,25],\ [0,12],\ ...

Zaznacz, które zdania są prawdziwe, a które fałszywe.

Dany jest przedział (3,5]. Do tego przedziału należy liczba 5.
Dany jest przedział [4,5]. Do tego przedziału nie należy liczba 4 .
Dany jest przedział (-4,4). Do tego przedziału należy liczba -2.

Przedział liczbowy nieograniczony

Definicja: Przedział liczbowy nieograniczony.

Niech a\in \mathbb{R}.

Przedziałem liczbowym nieograniczonym nazywamy podzbiór liczb rzeczywistych, jednej z następujących postaci:

(a,+\infty)=\{x \in \mathbb{R}: x > a \}

[a,+\infty)=\{x \in \mathbb{R}: x \geq a \}

(-\infty, a)=\{x \in \mathbb{R}: x < a \}

(-\infty,a]=\{x \in \mathbb{R}: x \leq a \}

Tak jak poprzednio, wyjaśnię teraz co oznaczają poszczególne zapisy.

 

  • (a,+\infty)=\{x \in \mathbb{R}: x > a \}

Do tego przedziału należą wszystkie liczby rzeczywiste, które są większe od a. Przedział ten nazywamy otwartym, ponieważ punkt a do niego nie należy.

 

Przykład:

(2,+\infty),\ (-25,+\infty),\ (0,+\infty),\ ...

 

  • [a,+\infty)=\{x \in \mathbb{R}: x \geq a \}


Do tego przedziału należą wszystkie liczby rzeczywiste, które są większe lub równe a. Przedział ten nazywamy lewostronnie domkniętym, ponieważ punkt a do niego należy.

 

Przykład:

[-9,+\infty),\ [5,+\infty),\ [0,+\infty),\ ...

 

  • (-\infty, a)=\{x \in \mathbb{R}: x < a \}


Do tego przedziału należą wszystkie liczby rzeczywiste, które są mniejsze od a. Przedział ten nazywamy otwartym, ponieważ punkt a do niego nie należy.

 

Przykład:

(-\infty,8),\ (-\infty,99),\ (-\infty,0),\ ...

 

  • (-\infty,a]=\{x \in \mathbb{R}: x \leq a \}


Do tego przedziału należą wszystkie liczby rzeczywiste, które są mniejsze lub równe a. Przedział ten nazywamy prawostronnie domkniętym, ponieważ punkt a do niego należy.

 

Przykład:

(-\infty,91],\ (-\infty,2],\ (-\infty,0],\ ...

 


Zadanie 1

Wskaż do którego przedziału należy liczba \cfrac{\sqrt{2}}{2}-2\pi.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Najmniejszą liczbą nie należącą do przedziału nieograniczonego B jest -4. Jaki to przedział?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Najmniejszą liczbą należącą do przedziału nieograniczonego jest 4. Jaki to przedział?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Do przedziału nieograniczonego należy liczba 1, nie należy liczba 2, a największa liczba tego przedziału jest liczbą niewymierną. Podaj dwa przykłady przedziałów spełniających te warunki.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Skrajne liczby należące do pewnego przedziału są liczbami naturalnymi i mają tą własność, że liczba najmniejsza stanowi 6,25\% liczby największej tego przedziału. Podaj dwa przykłady przedziałów spełniających te warunki.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Jeżeli od największej liczby należącej do przedziału A odejmiemy 4, to otrzymamy liczbę najmniejszą należącą do tego przedziału. Znajdź przedział A wiedząc że największa liczba należąca do tego przedziału jest dwa razy większa od najmniejszej liczby tego przedziału.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

Zbiór P jest zbiorem wszystkich punktów na osi liczbowej, których suma odległości od punktów 5 i 7 jest nie większa niż 5. Wyznacz jakie punkty należą do zbioru P i zaznacz go na osi liczbowej.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

Wskaż przedział A, gdzie

A=\{x\in \mathbb{R}:-2<4x-4<6\}.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

9 komentarzy

  1. Default avatar
    daniel5022 12.10.2011 18:39

    Ostatni przedział w lekcji przedziały nieograniczone jest źle zrobiony

  2. Default avatar
    Ana 22.10.2011 15:34

    Zgadzam się z Danielem

  3. Lukasz 20120124104827 thumb
    lukasz 22.10.2011 15:42

    O który dokładnie chodzi? Bo nie widzę błędu.

  4. Niegrzeczna6666 20111106143449 thumb
    niegrzeczna6666 09.11.2011 16:57

    Ja tego nie kminie

  5. Default avatar
    konto-usuniete 09.11.2011 18:05

    A możesz dokładniej napisać co jest niejasne? Postaram się wyjaśnić.

  6. Matgeniusz3 20120822111618 thumb
    matgeniusz3 31.08.2012 10:01

    chodzi chyba o przedostatni przykład gdzie jest od -9 do nieskończoności

  7. Nekot 20130613083841 thumb
    nekot 13.06.2013 09:51

    Mi sie wydaje, ze ludzie czytajac przyklady, zaczynaja od slowa "Przyklad" (tam gdzie jest to oddzielone kreska), a nie od wypunktowania i moze sie wtedy mylic, bo "Przyklad" odnosi sie do tego co jest wyzej, a nie do tego ponizej. Tak jakby byl to przyklad dla danego zagadnienia i znajdowal sie miedzy kreska, a kreska. Jest to dosc mylace w kilku przykladach pod soba, ale rozumiem, ze taki jest format naglowkow, chociaz z drugiej strony, moze lepiej by bylo uzywac naglowka (przy slowie "Przyklad") bez podkreslenia?

  8. Poziomka007 20131104052730 thumb
    poziomka007 09.11.2013 14:47

    Dlaczego nie ma zadań do niektórych tematów?

  9. Ant 20150723070750 thumb
    ant 21.07.2015 10:28

    Uwaga ''nekot'' jest słuszna.
    --------------------------------------
    Mam inne zastrzeżenie:

    Norma międzynarodowa ISO 31-11 przewiduje następujące oznaczenia: x,y,:

    ]x,y[:= {z ϵ X: x < z < y} – zbiór / przedział otwarty,

    [x,y]:= {z ϵ X: x >= z =< y} – ... domknięty (obustronnie),

    [x,y[:= {z ϵ X: x >= z < y} – ... lewostronnie domknięty (prawostronnie otwarty),

    ]x,y]:= {z ϵ X: x < z =< y} – ... prawostronnie domknięty (lewostronnie otwarty).

    Stosowanie średnika lub przecinka wynika z zastosowanej konwencji dla separatora dziesiętnego.

    Nie rozumiem dlaczego szkoły nie przestrzegają przyjętego standardu - to tak jak poruszać się samochodem po drodze ze znakami drogowymi różnymi od powszechnie przyjętych.

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz