Działania na przedziałach liczbowych

Działania na przedziałach liczbowych, zostaną przedstawione przy poniższych oznaczeniach.

Przedział A, to:

A=(a,b]

Przedział B, to:

B=(c,d)

Oba przedziały spełniają jeszcze poniższe warunki:

a,b,c,d \in \mathbb{R}

a<c<b<d

Na przedziałach będziemy obliczać sumę, różnicę i ich iloczyn.

Suma przedziałów

Definicja: Suma przedziałów liczbowych

A\cup B.

Sumą przedziałów A i B nazywamy zbiór tych liczb rzeczywistych, które należą do przynajmniej jednego z tych przedziałów.

Przykład:

Dla przedziałów A i B zdefiniowanych na początku, sumą przedziałów jest:

Iloczyn przedziałów liczbowych

Definicja: Iloczyn przedziałów liczbowych. (część wspólna)
A\cap B.

Iloczynem przedziałów A i B nazywamy zbiór tych liczb rzeczywistych, które należą do obu tych przedziałów jednocześnie.

Przykład:

Dla przedziałów A i B zdefiniowanych na początku, iloczynem przedziałów jest:


 

Różnica przedziałów liczbowych

Definicja: Różnica przedziałów liczbowych.

A\backslash B

Różnicą przedziałów A i B nazywamy zbiór tych liczb rzeczywistych, które należą do A i nie należą do B.

Przykład:

Dla przedziałów A i B zdefiniowanych na początku, różnicą przedziałów jest

 

UWAGA!

Zwróć uwagę, że powyższym przykładzie punkt c należy do różnicy przedziałów A\backslash B!. Jest tak ze względu na to, że punkt c należy do przedziału A, natomiast nie należy do przedziału B. Zgodnie z definicją różnicy przedziałów, jest to zbiór tych punktów, które należą do pierwszego przedziału a nie należą do drugiego. Zatem ten punkt c musimy dołączyć.

 

 

Przykład podsumowujący:

Niech: A=(0,5] i B=[2,6], wtedy:

A=(0,5] - na rysunku zaznaczony kolorem zielonym i niebieskim

B=[2,6] - na rysunku zaznaczony kolorem żółtym i niebieskim

Kolorem niebieskim została zaznaczona część, która należy do obu przedziałów jednocześnie.

 

  • Suma przedziałów A i B, to

A \cup B=(0,6]

Znajdują się tu wszystkie liczby, które należą przynajmniej do jednego z przedziałów A lub B.

  • Iloczyn przedziałów, to inaczej mówiąc ich część wspólna. Jeżeli z przedziału A i B wybierzemy liczby, które należą jednocześnie do obu, to otrzymamy:

A \cap B=[2,5]

  • Różnica przedziałów. Tutaj mamy do rozważenia dwa przypadki. Możemy wskazać różnicę A \backslash B, czyli liczby, które należą do przedziału A,  a nie należą do przedziału B i wtedy otrzymamy:

A \backslash B=(0,2)

Z drugiej strony, możemy wskazać zbiór B\backslash A, czyli te liczby, które należą do zbioru B i nie należą do zbioru A, są to:

B \backslash A=(5,6]

Zaznacz, które zdanie jest prawdziwe, a które fałszywe.

A=(1,6), B=(0,10). Wtedy A \cup B=(0,10)
A=(1,6), B=(0,1). Wtedy A \cap B=\{1\}
A=(-7,2], B=(0,4]. Wtedy A \backslash B=(-7,0]
A=[-3,5), B=[0,2). Wtedy A \cap B=[0,2)
A=(1,+\infty), B=(0,10). Wtedy A \backslash B=(10,+\infty)

Zadanie 1

Jeżeli  A=(9;20]  oraz  B=[9;13)  to   A \cup B jest równe:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Jeżeli A=(-3;6] oraz B=[2;6) to  A \cap B jest równe:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Jeżeli  A=[0;6)   oraz   B=(2;7]  to  A \backslash B wynosi:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Zapisz za pomocą jednego przedziału zbiór A\cap B, gdzie A=(2,+\infty),\ B=(-10,15], a następnie zaznacz go na osi liczbowej.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Dane są przedziały A=(4,24),\ B=[2,7),\ C=(9,30]. Wskaż zbiór pusty:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

A jest przedziałem określonym następująco: A=(a,b), gdzie a<b oraz a,b są rozwiązaniami równania |x+9|=3. Przedział B powstaje przez przesunięcie wzdłuż osi w prawo przedziału A o 3 jednostki. Wyznacz wszystkie elementy, które należą do przedziału A, a nie należą do przedziału B.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

Znajdź wszystkie liczby rzeczywiste x takie, że:

  \left(\cfrac{1}{x}+3\right) \in (13,18].

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

Dane są zbiory A=[-1,5)  oraz   B=[1,6). Wskaż zbiór zawierający wszystkie liczby całkowite należące do A\cap B.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

Po przesunięciu przedziału A o trzy jednostki w prawo otrzymujemy przedział B. Wiadomo, że A\cap B=[3,7]. Wyznacz przedziały A i B.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

Przedział (2,9) składa się z liczb, które należą do przedziału A lub do przedziału B, natomiast przedział (3,7) złożony jest z liczb, które należą jednocześnie do A i do B. Wyznacz przedziały A i B, jeżeli wiadomo, ze są one postaci A=(a_1,a_2),\ B=(b_1,b_2) oraz że  a_1<b_1.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

Przedział A jest złożony z liczb rzeczywistych będących rozwiązaniem nierówności |x+9|<5,3, natomiast przedział B składa się z tych liczb rzeczywistych, które są rozwiązaniem nierówności |x-3|>1,2. Wyznacz wszystkie liczby całkowite, które należą jednocześnie do obu tych przedziałów.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12

A jest przedziałem określonym następująco: A=[a,b), gdzie a<b oraz a,b są rozwiązaniami równania |x-2|=3. Przedział B powstaje przez przesunięcie wzdłuż osi w lewo przedziału A o 2 jednostki. Wyznacz wszystkie elementy, które należą  jednocześnie do przedziału A i B.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13

Wiedząc, że

A=\{x\in \mathbb{R}: |2x-5|>3\},

B=\{x\in \mathbb{R}: \sqrt{9x^2+6x+1}<5\}

oblicz:

a) A\cup B,

b) B\backslash A.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

3 komentarze

  1. Kasiad 20111204135107 thumb
    Kasiad 11.12.2011 13:00

    Przedstawione są tu przykłady gdzie zbiory A i B są inne a gdyby były takie same to jak wyglądała by ich różnica ? Lekcja jest fajnie przedstawiona i tylko to jedno pytanie mnie nurtuje . Zgury dzięki :D

  2. Cordi 20120228224758 thumb
    Cordi 18.03.2012 21:49

    Pokrywają się, wszystkie punkty należą do obu zbiorów. Nie ma punktu, który należy tylko do jednego. Czyli byłby to po prostu zbiór pusty.

  3. Default avatar
    konto-usuniete 10.04.2012 19:20

    Zgadza się, jeżeli oba zbiory będą takie same, to ich różnica będzie zbiorem pustym.

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz