Działania na przedziałach liczbowych

Drukuj

Działania na przedziałach liczbowych

Działania na przedziałach liczbowych, zostaną przedstawione przy poniższych oznaczeniach.

Przedział $A$ , to:

$A=(a,b]$

Przedział $B$ , to:

$B=(c,d)$

Oba przedziały spełniają jeszcze poniższe warunki:

$a,b,c,d \in \mathbb{R}$

$a<c<b<d$

Na przedziałach będziemy obliczać sumę, różnicę i ich iloczyn.

Suma przedziałów

Definicja: Suma przedziałów liczbowych

$A\cup B$ .

Sumą przedziałów $A$ i $B$ nazywamy zbiór tych liczb rzeczywistych, które należą do przynajmniej jednego z tych przedziałów.

Przykład:

Dla przedziałów $A$ i $B$ zdefiniowanych na początku, sumą przedziałów jest:

Iloczyn przedziałów liczbowych

Definicja: Iloczyn przedziałów liczbowych. (część wspólna)

$A\cap B$ .

Iloczynem przedziałów $A$ i $B$ nazywamy zbiór tych liczb rzeczywistych, które należą do obu tych przedziałów jednocześnie.

Przykład:

Dla przedziałów $A$ i $B$ zdefiniowanych na początku, iloczynem przedziałów jest:

Różnica przedziałów liczbowych

Definicja: Różnica przedziałów liczbowych.

$A\backslash B$

Różnicą przedziałów $A$ i $B$ nazywamy zbiór tych liczb rzeczywistych, które należą do $A$ i nie należą do $B$ .

Przykład:

Dla przedziałów $A$ i $B$ zdefiniowanych na początku, różnicą przedziałów jest

UWAGA!

Zwróć uwagę, że powyższym przykładzie punkt $c$ należy do różnicy przedziałów $A\backslash B$ !. Jest tak ze względu na to, że punkt $c$ należy do przedziału $A$ , natomiast nie należy do przedziału $B$ . Zgodnie z definicją różnicy przedziałów, jest to zbiór tych punktów, które należą do pierwszego przedziału a nie należą do drugiego. Zatem ten punkt $c$ musimy dołączyć.

Przykład podsumowujący:

Niech: $A=(0,5]$ i $B=[2,6]$ , wtedy:

$A=(0,5]$ - na rysunku zaznaczony kolorem zielonym i niebieskim

$B=[2,6]$ - na rysunku zaznaczony kolorem żółtym i niebieskim

Kolorem niebieskim została zaznaczona część, która należy do obu przedziałów jednocześnie.

Suma przedziałów $A$ i $B$ , to

$A \cup B=(0,6]$

Znajdują się tu wszystkie liczby, które należą przynajmniej do jednego z przedziałów $A$ lub $B$ .

Iloczyn przedziałów, to inaczej mówiąc ich część wspólna. Jeżeli z przedziału $A$ i $B$ wybierzemy liczby, które należą jednocześnie do obu, to otrzymamy:

$A \cap B=[2,5]$

Różnica przedziałów. Tutaj mamy do rozważenia dwa przypadki. Możemy wskazać różnicę $A \backslash B$ , czyli liczby, które należą do przedziału $A$ , a nie należą do przedziału $B$ i wtedy otrzymamy:

$A \backslash B=(0,2)$

Z drugiej strony, możemy wskazać zbiór $B\backslash A$ , czyli te liczby, które należą do zbioru $B$ i nie należą do zbioru $A$ , są to:

$B \backslash A=(5,6]$

Zaznacz, które zdanie jest prawdziwe, a które fałszywe.

Ćwiczenia są dostępne dla zalogowanych uzytkowników posiadających konto premium

Zadanie 1

Jeżeli $A=(9;20]$ oraz $B=[9;13)$ to $A \cup B$ jest równe:

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
2 komentarze

Zadanie 2

Jeżeli $A=(-3;6]$ oraz $B=[2;6)$ to $A \cap B$ jest równe:

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 3

Jeżeli $A=[0;6)$ oraz $B=(2;7]$ to $A \backslash B$ wynosi:

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
1 komentarz

Zadanie 4

Zapisz za pomocą jednego przedziału zbiór $A\cap B$ , gdzie $A=(2,+\infty),\ B=(-10,15]$ , a następnie zaznacz go na osi liczbowej.

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 5

Dane są przedziały $A=(4,24),\ B=[2,7),\ C=(9,30]$ . Wskaż zbiór pusty:

Zobacz rozwiązanie

Matura rozszerzona
0 komentarzy

Zadanie 6

$A$ jest przedziałem określonym następująco: $A=(a,b)$ , gdzie $a<b$ oraz $a,b$ są rozwiązaniami równania $|x+9|=3$ . Przedział $B$ powstaje przez przesunięcie wzdłuż osi w prawo przedziału $A$ o $3$ jednostki. Wyznacz wszystkie elementy, które należą do przedziału $A$ , a nie należą do przedziału $B$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 7

Znajdź wszystkie liczby rzeczywiste $x$ takie, że:

$\left(\cfrac{1}{x}+3\right) \in (13,18]$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 8
Premium

Dane są zbiory $A=[-1,5)$ oraz $B=[1,6)$ . Wskaż zbiór zawierający wszystkie liczby całkowite należące do $A\cap B$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
8 komentarzy

Zadanie 9
Premium

Po przesunięciu przedziału $A$ o trzy jednostki w prawo otrzymujemy przedział $B$ . Wiadomo, że $A\cap B=[3,7]$ . Wyznacz przedziały $A$ i $B$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 10
Premium

Przedział $(2,9)$ składa się z liczb, które należą do przedziału $A$ lub do przedziału $B$ , natomiast przedział $(3,7)$ złożony jest z liczb, które należą jednocześnie do $A$ i do $B$ . Wyznacz przedziały $A$ i $B$ , jeżeli wiadomo, ze są one postaci $A=(a_1,a_2),\ B=(b_1,b_2)$ oraz że $a_1<b_1$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
5 komentarzy

Zadanie 11
Premium

Przedział $A$ jest złożony z liczb rzeczywistych będących rozwiązaniem nierówności $|x+9|<5,3$ , natomiast przedział $B$ składa się z tych liczb rzeczywistych, które są rozwiązaniem nierówności $|x-3|>1,2$ . Wyznacz wszystkie liczby całkowite, które należą jednocześnie do obu tych przedziałów.

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
6 komentarzy

Zadanie 12
Premium

$A$ jest przedziałem określonym następująco: $A=[a,b)$ , gdzie $a<b$ oraz $a,b$ są rozwiązaniami równania $|x-2|=3$ . Przedział $B$ powstaje przez przesunięcie wzdłuż osi w lewo przedziału $A$ o $2$ jednostki. Wyznacz wszystkie elementy, które należą jednocześnie do przedziału $A$ i $B$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 13
Premium

Wiedząc, że

$A=\{x\in \mathbb{R}: |2x-5|>3\}$ ,

$B=\{x\in \mathbb{R}: \sqrt{9x^2+6x+1}<5\}$

oblicz:

a) $A\cup B$ ,

b) $B\backslash A$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura rozszerzona
2 komentarze

Przeczytaj także:

Zaznaczanie przedziałów liczbowych na osi

3 komentarze

Kasiad 11.12.2011 13:00

Przedstawione są tu przykłady gdzie zbiory A i B są inne a gdyby były takie same to jak wyglądała by ich różnica ? Lekcja jest fajnie przedstawiona i tylko to jedno pytanie mnie nurtuje . Zgury dzięki :D
Cordi 18.03.2012 21:49

Pokrywają się, wszystkie punkty należą do obu zbiorów. Nie ma punktu, który należy tylko do jednego. Czyli byłby to po prostu zbiór pusty.
konto-usuniete 10.04.2012 19:20

Zgadza się, jeżeli oba zbiory będą takie same, to ich różnica będzie zbiorem pustym.

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz

Strona korzysta z plików cookie w celu realizacji usług zgodnie z Polityką Prywatności. Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do cookie w twojej przeglądarce lub konfiguracji usługi.

Rozumiem

Działania na przedziałach liczbowych

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki