1. Najmniejsza wspólna wielokrotność NWW
  2. Największy wspólny dzielnik NWD

Wstęp do rozkładania liczby na czynniki pierwsze

Zanim przejdziemy do praktycznego rozkładania liczby na czynniki pierwsze musimy omówić kilka podstawowych pojęć.

Definicja: Dzielnik liczby naturalnej

Dzielnikiem liczby naturalnej nazywamy każdą liczbę naturalną, która ją dzieli bez reszty.

Przykład 1

Weźmy dla przykładu liczbę 8 . Ma ona 4 dzielniki. Są nimi: 1,2,4,8.

Definicja: Liczba pierwsza

Liczba pierwsza, to taka liczba naturalna większa od 1, której jedynymi dzielnikami są 1 i ona sama.

Przykład 2

Liczbami pierwszymi są:

2,\ 3,\ 5,\ 7, ....

 

Definicja: Liczba złożona

Liczbą złożoną nazywamy każdą liczbę naturalną większą od 1, która nie jest liczbą pierwszą, tzn. ma przynajmniej jeden dzielnik, który nie jest ani jedynką, ani nią samą.

Przykład 3

Liczbami złożonymi są:

4,\ 6,\ 8,\ 9, ....

Oceń czy zdania są prawdziwe czy fałszywe.

Liczbami pierwszymi są: 5,11,15,17
Liczbami pierwszymi są: 1,17, 23, 31
Liczbami złożonymi są: 2,4,12,14
Liczbami złożonymi są: 10,22,33,42

Rozkład liczby na czynniki pierwsze.

Definicja: Czynnik pierwszy

Czynnikiem pierwszym liczby naturalnej złożonej, nazywamy taką liczbę pierwszą, która jest dzielnikiem tej liczby.

Przykład 4

Dana jest liczba 12. Jakie czynniki pierwsze ma ta liczba?

Liczba 12 ma tylko dwa czynniki pierwsze. Są to: 2 i 3. Pozostałe jej dzielniki  1,4,6,12 nie są liczbami pierwszymi.

Definicja: Liczby względnie pierwsze

Są to takie liczby, których jedynym wspólnym dzielnikiem jest liczba 1.

Przykład 5

Liczbami względnie pierwszymi są na przykład: 12 i 7.

Wyjaśniliśmy już wszystkie potrzebne nam pojęcia związane z tą nauką. Teraz przedstawimy Podstawowe Twierdzenie Arytmetyki.

Twierdzenie: Podstawowe Twierdzenie Arytmetyki

Każda liczba naturalna większa od 1 jest liczbą pierwszą lub iloczynem liczb pierwszych.

Przykład 6

15=3 * 5

Obie liczby 3 i 5 są liczbami pierwszymi. Nie mają innych dzielników poza 1 i samą sobą. Spójrz również na poniższe przykłady:

27=3 * 3 * 3

36=3* 3* 2* 2

114=3 * 2 * 19

Definicja: Rozkład liczby na czynniki pierwsze

Rozkładem liczby n na czynniki pierwsze, nazywamy zapisanie tej liczby jako iloczyn czynników pierwszych.

Teraz przedstawimy w jaki sposób rozkładamy liczby na czynniki pierwsze.

Algorytm rozkładu liczby na czynniki pierwsze

Aby rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze, wykonujemy kolejne dzielenia, tzn. szukamy najmniejszej liczby pierwszej, która dzieli daną liczbę i ją dzielimy. Otrzymany iloraz znów dzielimy przez najmniejszą liczbę pierwszą. Ten algorytm powtarzamy, aż otrzymamy jako iloraz liczbę 1. W ten sposób, otrzymamy wszystkie  czynniki pierwsze. 

Przykład 7

Rozłożymy liczbę 45 na czynniki pierwsze, tzn. zapiszemy ją jako iloczyn liczb pierwszych.

Krok 1:

Krok 2:


Krok 3:

Krok 4:

 

Krok 5:


Rozkład liczby 45 na czynniki pierwsze to:

45=3 * 3 * 5


Zadanie 1

Największy wspólny dzielnik pewnych liczb a i b wynosi 2, natomiast ich najmniejsza wspólna wielokrotność wynosi 84. Znajdź liczby a i b, jeżeli wiadomo, że obie te liczby są mniejsze od 20.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Wykaż, że

a* b=NWD(a,b)* NWW(a,b),

dla pewnych liczb naturalnych a,\ b.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

3 komentarze

  1. Matkon58 20111112181512 thumb
    matkon58 28.01.2012 14:01

    W końcu zrozumiałem NWD i MWW

  2. Tajpanrex 20120312204408 thumb
    tajpanRex 17.03.2012 18:47

    w jaki sposób obliczyć NWD liczb 128 i 312 czy to jest liczba 624

  3. Default avatar
    konto-usuniete 12.04.2012 18:56

    Trzeba obie liczby rozłożyć na czynniki i postępować zgodnie z opisanym powyżej algorytmem.

    Ps. Dzielnik nie może być większy od samej liczby, zatem napewno nie będzie to 624.

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz