Rozkład liczby na czynniki pierwsze

Drukuj

Wstęp do rozkładania liczby na czynniki pierwsze

Zanim przejdziemy do praktycznego rozkładania liczby na czynniki pierwsze musimy omówić kilka podstawowych pojęć.

Definicja: Dzielnik liczby naturalnej

Dzielnikiem liczby naturalnej nazywamy każdą liczbę naturalną, która ją dzieli bez reszty.

Przykład 1

Weźmy dla przykładu liczbę $8$ . Ma ona $4$ dzielniki. Są nimi: $1,2,4,8$ .

Definicja: Liczba pierwsza

Liczba pierwsza, to taka liczba naturalna większa od $1$ , której jedynymi dzielnikami są $1$ i ona sama.

Przykład 2

Liczbami pierwszymi są:

$2,\ 3,\ 5,\ 7, ...$ .

Definicja: Liczba złożona

Liczbą złożoną nazywamy każdą liczbę naturalną większą od $1$ , która nie jest liczbą pierwszą, tzn. ma przynajmniej jeden dzielnik, który nie jest ani jedynką, ani nią samą.

Przykład 3

Liczbami złożonymi są:

$4,\ 6,\ 8,\ 9, ...$ .

Oceń czy zdania są prawdziwe czy fałszywe.

Ćwiczenia są dostępne dla zalogowanych uzytkowników posiadających konto premium

Rozkład liczby na czynniki pierwsze.

Definicja: Czynnik pierwszy

Czynnikiem pierwszym liczby naturalnej złożonej, nazywamy taką liczbę pierwszą, która jest dzielnikiem tej liczby.

Przykład 4

Dana jest liczba $12$ . Jakie czynniki pierwsze ma ta liczba?

Liczba $12$ ma tylko dwa czynniki pierwsze. Są to: $2$ i $3$ . Pozostałe jej dzielniki $1,4,6,12$ nie są liczbami pierwszymi.

Definicja: Liczby względnie pierwsze

Są to takie liczby, których jedynym wspólnym dzielnikiem jest liczba $1$ .

Przykład 5

Liczbami względnie pierwszymi są na przykład: $12$ i $7$ .

Wyjaśniliśmy już wszystkie potrzebne nam pojęcia związane z tą nauką. Teraz przedstawimy Podstawowe Twierdzenie Arytmetyki.

Twierdzenie: Podstawowe Twierdzenie Arytmetyki

Każda liczba naturalna większa od $1$ jest liczbą pierwszą lub iloczynem liczb pierwszych.

Przykład 6

$15=3 * 5$

Obie liczby $3$ i $5$ są liczbami pierwszymi. Nie mają innych dzielników poza $1$ i samą sobą. Spójrz również na poniższe przykłady:

$27=3 * 3 * 3$

$36=3* 3* 2* 2$

$114=3 * 2 * 19$

Definicja: Rozkład liczby na czynniki pierwsze

Rozkładem liczby $n$ na czynniki pierwsze, nazywamy zapisanie tej liczby jako iloczyn czynników pierwszych.

Teraz przedstawimy w jaki sposób rozkładamy liczby na czynniki pierwsze.

Algorytm rozkładu liczby na czynniki pierwsze

Aby rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze, wykonujemy kolejne dzielenia, tzn. szukamy najmniejszej liczby pierwszej, która dzieli daną liczbę i ją dzielimy. Otrzymany iloraz znów dzielimy przez najmniejszą liczbę pierwszą. Ten algorytm powtarzamy, aż otrzymamy jako iloraz liczbę $1$ . W ten sposób, otrzymamy wszystkie czynniki pierwsze.

Przykład 7

Rozłożymy liczbę $45$ na czynniki pierwsze, tzn. zapiszemy ją jako iloczyn liczb pierwszych.

Krok 1:

Krok 2:

Krok 3:

Krok 4:

Krok 5:

Rozkład liczby $45$ na czynniki pierwsze to:

$45=3 * 3 * 5$

Zadanie 1
Premium

Największy wspólny dzielnik pewnych liczb $a$ i $b$ wynosi $2$ , natomiast ich najmniejsza wspólna wielokrotność wynosi $84$ . Znajdź liczby $a$ i $b$ , jeżeli wiadomo, że obie te liczby są mniejsze od $20$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura rozszerzona
38 komentarzy

Zadanie 2

Wykaż, że

$a* b=NWD(a,b)* NWW(a,b)$ ,

dla pewnych liczb naturalnych $a,\ b$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura rozszerzona
37 komentarzy

Przeczytaj także:

3 komentarze

matkon58 28.01.2012 14:01

W końcu zrozumiałem NWD i MWW
tajpanRex 17.03.2012 18:47

w jaki sposób obliczyć NWD liczb 128 i 312 czy to jest liczba 624
konto-usuniete 12.04.2012 18:56

Trzeba obie liczby rozłożyć na czynniki i postępować zgodnie z opisanym powyżej algorytmem.

Ps. Dzielnik nie może być większy od samej liczby, zatem napewno nie będzie to 624.

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz

Strona korzysta z plików cookie w celu realizacji usług zgodnie z Polityką Prywatności. Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do cookie w twojej przeglądarce lub konfiguracji usługi.

Rozumiem