Co to jest najmniejsza wspólna wielokrotność?

Definicja: Wielokrotność liczby

Wielokrotnością liczby naturalnej a nazywamy taką liczbę b, że istnieje liczba naturalna k taka, że:

b=a* k

Definicja jest dość zawiła. Zobacz przykład a na pewno się to rozjaśni.

Przykład 10

Wielokrotności liczby 5 to:

5 \ bo \ 5 * 1 = 5

10 \ bo \ 5 * 2= 10

15 \ bo \ 5 * 3 = 15

itd 

Definicja: Najmniejsza wspólna wielokrotność

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb jest to najmniejsza liczba różna od zera, która jest jednocześnie wielokrotnością obu tych liczb. Najmniejszą wspólną wielokrotność oznaczamy przez NWW.

Przykład 11

NWW(24,56)=?

Kolejne wielokrotności liczby 24 to:

24,48,72,96,120,144,168,192,...

Kolejne wielokrotności liczby 56 to:

56,112,168,224,...

 

Najmniejsza liczba, która występuje jako wielokrotność obu liczb (24 i 56) to: 168.

NWW(24,56)=168

 

Algorytm znajdywania NWW

Metoda I:

Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb, to najpierw te liczby rozkładamy na czynniki pierwsze. Następnie sprawdzamy czy istnieją czynniki, które się pojawiają w obu rozkładach. Jeżeli tak, to te czynniki powtarzające się z jedno z nich wykreślamy. Mnożymy wszystkie pozostałe czynniki przez siebie i w ten sposób otrzymujemy najmniejszą wspólną wielokrotność.

Przykład 12

NWW(45,36)=?

Najpierw obie liczby rozkładamy na czynniki pierwsze:

Widzimy, że w obu rozkładach pojawiają się liczby 3, zatem z jednego z nich je wykreślamy.


Pozostałe czynniki mnożymy przez siebie:

3 * 3 * 5 * 2 * 2= 180

Zatem:

NWW(45,36)=180

Metoda II:

Najmniejszą wspólną wielokrotność możemy obliczyć także, korzystając ze związku NWW i NWD

NWW(a,b)=\cfrac{a* b}{NWD(a,b)}

 

Prawdziwe są także następujące wzory:

NWD(a,b)=NWD(p^k* q^l,p^m* q^n)=p^{min(k,m)}q^{min(l,n)}

NWW(a,b)=NWW(p^k* q^l,p^m* q^n)=p^{max(k,m)}q^{max(l,n)}

gdzie

min(x,y) oznacza mniejszą z liczb x lub y.

max(x,y) oznacza większą z liczb x lub y.


Zadanie 1

Największy wspólny dzielnik pewnych liczb a i b wynosi 2, natomiast ich najmniejsza wspólna wielokrotność wynosi 84. Znajdź liczby a i b, jeżeli wiadomo, że obie te liczby są mniejsze od 20.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Wykaż, że

a* b=NWD(a,b)* NWW(a,b),

dla pewnych liczb naturalnych a,\ b.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz