Wartości ciągu na podstawie wzoru ogólnego.

Mając wzór na wyraz ogólny ciągu  możemy obliczyć jego wyrazy.

n we wzorze ogólnym ciągu jest liczbą naturalną począwszy od 1 - określa numer liczonego wyrazu.

 

 

Przykład 1

Wyznacz cztery kolejne wyrazu ciągu danego wzorem ogólnym a_n = 3n+2^n.

 

 

Liczymy wyraz pierwszy, we wzorze na a_n podstawiamy n=1

a_1 = 3 * 1 + 2^1 = 3 + 2 = 5

oraz kolejne trzy wyrazy

a_2 = 3 * 2 + 2^2 = 6 + 4 = 10

a_3 = 3 * 3 + 2^3 = 9 + 8 = 17

a_4 = 3 * 4 + 2^4 = 12 + 16 = 28

 

 

Przykład 2

Wyznacz piąty wyrazu ciągu (b_n) danego wzorem ogólnym b_n = 3n -4.

 

 

Za n we wzorze na wyraz ciągu (b_n) podstawiamy 5, otrzymujemy:

b_5 = 3 * 5 - 4 = 15 - 4 = 11

Obliczanie ilości wyrazów ciągu spełniających zadane kryteria.

Jeżeli mamy dany wzór ogólny ciągu to możemy obliczyć ile jest wyrazów spełniających określone kryterium.

Przykład 3

Wyznacz wszystkie ujemne wyrazy ciągu (a_n) danego wzorem ogólnym a_n = 3n - 18.

 

Rozwiązujemy nierówność a_n < 0 ze względu na n, które jest naturalne począwszy od 1.

Mamy

3n - 18 < 0

3n < 18

n < 6

Zatem wyrazów ciągu (a_n) ujemnych jest 5 dla n=\{1, 2, 3, 4, 5\}.

 

Przykład 4

Ciąg (b_n ) dany jest wzorem b_n = 5n^2. Sprawdź czy istnieje wyraz tego ciągu równy 125.

 

Rozwiązujemy równość b_n = 125 ze względu na n, które jest naturalne począwszy od 1.

Mamy

5n^2 = 125

n^2 = 25

n = 5 \vee n = -5

ponieważ n jest naturalne więc mamy

n=5

Zatem piąty wyraz ciągu (b_n) jest równy 125.

 

Przykład 5

Ciąg (c_n ) dany jest wzorem c_n = 5n^2. Sprawdź czy istnieje wyraz tego ciągu równy 120.


Rozwiązujemy równość c_n = 120 ze względu na n, które jest naturalne począwszy od 1.

Mamy

5n^2 = 120

n^2 = 24

n = \sqrt{24} \vee n = -\sqrt{24}

n = 2\sqrt{6} \vee n = -2\sqrt{6}

ponieważ n musi być naturalne, zatem nie istnieje wyraz ciągu (c_n) taki, że c_n = 120 .

 

Przykład 6

Ile jest wyrazów ciągu d_n = 4n-12 większych od -2 i nie większych od 2?

 

Rozwiązujemy nierówności

d_n > -2 \wedge d_n \leq 2

z pierwszego warunku mamy

4n - 12 > -2

4n > 10

n > \cfrac{10}{4}

n > \cfrac{5}{2}

ponieważ n jest naturalne to:

n \in \{ 3, 4, 5, ... \}

Z drugiego warunku mamy

4n - 12 \leq 2

4n \leq 14

n \leq \cfrac{14}{4}

n \leq \cfrac{7}{2}

ponieważ n jest naturalne to:

n \in \{ 1, 2, 3 \}

n musi spełniać obie nierówności jednocześnie, czyli:

n \in \{ 3, 4, 5, ... \} \wedge n \in \{ 1, 2, 3 \}

Jest tylko jedna liczba, która należy do obu zbiorów jednocześnie, jest to:

n=3

Otrzymujemy, że tylko  trzeci wyraz ciągu  (d_n) spełnia warunki zadania.

Zaznacz co jest prawdą a co fałszem

Ciąg dany wzorem a_n=n^2 - 8n ma 7 wyrazów ujemnych.
Ciąg dany wzorem b_n=3 - 7n nie ma wyrazu równego -32
Pierwszym dodatnim wyrazem ciągu c_n=2^n - 2n jest wyraz trzeci.

Rekurencyjne obliczanie wyrazów ciągu.

Znając  wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu możemy obliczyć rekurencyjnie kolejne wyrazy ciągu.

a_n = S_n - S_{n-1}

Wynika to z faktu, że

S_n = S_{n-1} + a_n, dla n>1

Przykład 7

Znajdź trzeci i czwarty wyraz ciągu, którego suma wynosi S_n = 3 * {\cfrac{n+1}{n}}.

 

Liczymy wyraz trzeci

a_3 = S_3 - S_2 = 3 * {\cfrac{3+1}{3}} - 3 *{\cfrac{2+1}{2}} = 4 - \cfrac{9}{2} = \cfrac{8}{2} - \cfrac{9}{2} = -\cfrac{1}{2}

liczymy wyraz czwarty

a_4=S_4-S_3=3* \cfrac{4+1}{4}-3 * \cfrac{3+1}{3}=3* \cfrac{5}{4}-4=\cfrac{15}{4}-\cfrac{16}{4}=-\cfrac{1}{4}

 

Przykład 8

Znajdź piąty wyraz ciągu, którego suma wynosi S_n = 2^n + 1.

 

Liczymy wyraz piąty

a_5 = S_5 - S_4 = 2^5 + 1 - (2^4 + 1) = 2^5 + 1 - 2^4 - 1 = 2^5 - 2^4

a_5 = 2^5 - 2^4 = 32-16 = 16

 

Przykład 9

Znajdź pierwszy wyraz ciągu, którego suma wynosi S_n = 3n+7.

 

Zauważmy, że  a_1=S_1.

a_1= 3 * 1 + 7 = 3 + 7 = 10


Zadanie 1

Dany jest ciąg   (a_n)  określony wzorem a_n=\cfrac{3n^2}{n^2-n+1} dla n \in \mathbb{N}. Oblicz a_2,\ a_4,\ a_5.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Dany jest ciąg (b_n), o wyrazie ogólnym b_n=3n^2-5n. Oblicz sumę trzech początkowych wyrazów tego ciągu.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Dany jest ciąg (a_n) określony wzorem a_n=\cfrac{(-1)^n * n}{2n^2+3n+1} dla n \in \mathbb{N}. Oblicz a_2,\ a_3,\ a_4.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Dany jest ciąg (a_n) określony wzorem a_n=\cfrac{(-1)^n * n}{2n^2+3n+1} dla n \in \mathbb{N}. Oblicz a_3,\ a_4,\ a_6.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Ile wyrazów ujemnych ma ciąg (a_n) określony wzorem a_n=n^2-11n+24 dla n \geq 1?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Dany jest ciąg (a_n) określony wzorem a_n=\cfrac{(-1)^n * n}{2n^2+3n+3} dla n \in \mathbb{N}. Oblicz a_2,\ a_4.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

Dany jest ciąg (a_n) określony wzorem a_n=\cfrac{3n}{n^2+5n+1} dla n \in \mathbb{N}. Zatem a_3 wynosi

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

Jeżeli suma pewnego ciągu dana jest wzorem ogólnym S_n=n^2+5n, to pierwszy wyraz tego ciągu to:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

Dany jest ciąg (a_n) określony wzorem a_n=\cfrac{2n+1}{n^2+4n+1} dla n \in\mathbb{N}. Zatem a_4 wynosi

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

Jeżeli suma pewnego ciągu dana jest wzorem ogólnym S_n=5n^2-2 to suma początkowych 5 wyrazów tego ciągu wynosi:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

Jeżeli suma pewnego ciągu dana jest wzorem ogólnym S_n=3n^2-3 to suma początkowych 3 wyrazów tego ciągu wynosi:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12

Ile wyrazów ujemnych ma ciąg (a_n) określony wzorem a_n=\cfrac{1}{4}n^2-3n+5 dla n \geq 1?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13

Dany jest ciąg arytmetyczny (a_n). Wiedząc, że a_3=9 oraz a_7=21 wyznacz wszystkie wyrazy tego ciągu, które są mniejsze od 17.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14

Ile wyrazów ciągu (a_n) określonego wzorem ogólnym a_n=\cfrac{n+4}{n+1} jest większych od \cfrac{4}{3}?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15

Znajdź wszystkie ujemne wyrazy ciągu a_n=3n^2-2n-40.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 16

Suma ciągu (a_n) dana jest wzorem S_n=n^2-4n. Oblicz a_{20} i sprawdź ile wyrazów tego ciągu (a_n) jest mniejszych od 30.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 17

Znajdź wyrazy ciągu (a_n)\ n \in \mathbb{N} danego wzorem ogólnym a_n=2n^2-6n-5, które są równe 15.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 18

Ile wyrazów ciągu (b_n) o wyrazie ogólnym b_n=5n^2+6n-1 jest mniejszych od 60?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 19

Znajdź wyrazy ciągu (a_n)\ n \in \mathbb{N} danego wzorem ogólnym a_n=2n^2-6n-5, które są równe 51.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 20

Ile wyrazów ciągu (a_n) określonego wzorem ogólnym a_n=\cfrac{n+5}{n+1} jest większych od \cfrac{3}{2}?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 21

Wyznacz wzrór ogólny ciągu (a_n), jeżeli wiadomo, że suma wyrazów tego ciągu dana jest wzorem S_n=\cfrac{3n^2-5n}{2}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 22

Dany jest ciąg (a_n)  określony wzorem ogólnym a_n=\cfrac{n+2}{n+6}. Który wyraz tego ciągu jest równy \cfrac{3}{5}?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 23

Znajdź najmniejszy wyraz ciągu (a_n), gdzie a_n=4n^2-9n-28.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz