Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

Oznaczmy przez  S_n sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, tzn,  S_n=a_1+a_2+...+a_n. Taką sumę możemy obliczyć korzystając ze wzoru:

 

Wzór: Suma n początkowych wyrazów ciagu geometrycznego.

S_n = \begin{cases}<br> n * a_1, & \text{ gdy } q=1 \\ <br> a_1* \cfrac{1-q^n}{1-q}, & \text{ gdy } q\neq1 \end{cases}

 

Przykład 1

Oblicz sumę 3 początkowych wyrazów ciągu geometrycznego danego wzorem ogólnym  a_n=2^n.

Aby obliczyć sumę korzystając  z powyższego wzoru, należy najpierw obliczyć a_1 i q:

a_1 = 2^1 = 2

q=\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=\cfrac{2^{n+1}}{2^n}=2

q=2.

Podstawiamy wartości do wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, przy czym za n podstawiamy 3 (bo liczymy sumę trzech wyrazów).

S_3= a_1* \cfrac{1-q^n}{1-q} = 2 * \cfrac{1 - 2^3}{1 - 2} = 2 * \cfrac{1 - 8}{-1} = 2 * 7 = 14


Przykład 2

Oblicz ile początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (a_n), danego wzorem ogólnym a_n=4 * 3^n, należy zsumować, aby otrzymać sumę równą 480.

S_n=a_1 * \cfrac{1 - q^n}{1 - q}

Z treści zadania wiemy, że:

a_n=4 * 3^n

Obliczmy, korzystając z tego wzoru pierwszy wyraz ciągu oraz jego iloraz.

Obliczamy pierwszy wyraz ciągu (a_n):

a_1=4 * 3^1=12

A teraz iloraz ciągu (a_n):

 q=\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=\cfrac{4 * 3^{n+1}}{4 * 3^n}=\cfrac{4 * 3^n * 3}{4 * 3^n} = 3

Czyli:

 a_1=12

 q=3

 

Podstawiamy te dane do wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:

 S_n= 12 * \cfrac{1 - 3^n}{ 1 - 3 }=12 * \cfrac{1 - 3^n}{ -2 } = -6 * (1 - 3^n) = 6* (3^n - 1)

Z treści zadania wiemy, że ta suma wynosi 480.

 S_n= 6 * (3^n - 1)=480

Otrzymaliśmy równanie, z którego obliczmy  n:

6 * (3^n - 1)=480

3^n-1 =80

 3^n =81

 n = 4

Zatem aby uzyskać sumę 480 dla rozważanego ciągu, należy zsumować 4 wyrazy.


Zadanie 1

Oblicz sumę czterech początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (b_n),\ n \in \mathbb{N} wiedząc, że b_1=2  oraz q=3.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Oblicz sumę wszystkich potęg liczby dwa o wykładniku naturalnym, mniejszym od stu.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Suma ciągu geometrycznego dana jest wzorem ogólnym S_n=3(2^n-1). Wyznacz iloraz tego ciągu.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Dany jest ciąg geometryczny (c_n). Wiemy, że pierwszy wyraz tego ciągu to \cfrac{4}{5}, natomiast iloraz tego ciągu wynosi  \cfrac{1}{5}. Suma n  początkowych wyrazów tego ciągu wyraża się wzorem ogólnym:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Sumę sześciu kolejnych potęg liczby 4 o wykładniku naturalnym, obliczymy korzystając ze wzoru:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Suma ciągu geometrycznego dana jest wzorem ogólnym S_n=3^n-1. Oblicz szósty wyraz tego ciągu.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

Ile razy musimy powtarzać składanie kartki na pół, aby podzielić ją na sześćdziesiąt cztery kawałki?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

Sumę pięciu kolejnych potęg liczby 3, obliczymy korzystając ze wzoru:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

Pan Rączka wpłaca co rok na konto oszczędnościowe 2 razy więcej pieniędzy niż w roku poprzednim. W pierwszym roku oszczędzania wpłacił na konto 100 zł. Oblicz jaką kwotę wpłacił na to konto Pan Rączka w ciągu sześciu lat.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

Rozwiąż równanie

6x+18x+54x+...+486x=66

jeżeli wiadomo, że składniki po lewej stronie tworzą ciąg geometryczny.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz