Ciąg arytmetyczny

[tex]1, 3, 5, 7, 9, ..., 21[/tex]

Oblicz siódmy wyraz ciągu arytmetycznego, którego pierwszy wyraz jest równy [tex]6[/tex], a różnica ciągu wynosi [tex]5[/tex].

[tex]n=7[/tex]

[tex]a_1=6[/tex]

[tex]r=5[/tex]

Obliczamy siódmy wyraz tego ciągu, podstawiając dane z zadania do wzoru:

[tex]a_7=6+(7-1) \cdot 5=6+6 \cdot 5=36[/tex]

Zatem siódmy wyraz tego ciągu to [tex]36[/tex].

Sprawdź czy ciąg  [tex](a_n)[/tex] dany wzorem ogólnym [tex]a_n=2n-1[/tex] jest arytmetyczny.

 

Sprawdzamy zgodnie z definicją różnicę:

[tex]a_{n+1}-a_n[/tex]

Jeżeli różnica ta ma zawsze stałą wartość, to ciąg [tex](a_n)[/tex] będzie ciągiem arytmetycznym.

[tex]a_n=2n-1[/tex]

[tex]a_{n+1}=2(n+1)-1=2n+2-1=2n+1[/tex]

[tex]a_{n+1}-a_n=2n+1-(2n-1)=2n+1-2n+1=2[/tex]

Zatem różnica między kolejnymi wyrazami tego ciągu jest zawsze stała i wynosi [tex]2[/tex]. Ciąg [tex](a_n)[/tex] jest arytmetyczny.

Oblicz sumę [tex]5[/tex] początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego danego wzorem ogólnym [tex] a_n=5n-1[/tex].

 

Aby skorzystać ze wzoru na sumę [tex]n[/tex] początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, musimy znać pierwszy i [tex]n[/tex] - ty wyraz ciągu.

W zadaniu mam dany ciąg za pomocą wzoru ogólnego:

[tex] a_n=5n-1[/tex]

I mamy obliczyć sumę pięciu początkowych wyrazów tego ciągu. Obliczamy zatem, za pomocą wzoru ogólnego wyraz pierwszy i piąty:

[tex] a_1=5 \cdot 1-1=4[/tex]

[tex] a_5=5 \cdot 5-1=24[/tex]

Podstawiamy wartości do wzoru na sumę [tex]n[/tex] początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, przy czym za [tex]n[/tex] podstawiamy [tex]5[/tex] ( bo liczymy sumę pięciu wyrazów).

[tex] S_5=\cfrac{(a_1+a_5)\cdot 5}{2}=\cfrac{(4+24)\cdot 5}{2}=70[/tex]

Oblicz ile początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego [tex](a_n) [/tex], danego wzorem ogólnym [tex]a_n=5n+2[/tex], należy zsumować, aby otrzymać sumę równą [tex]295[/tex].

 

[tex]S_n=\cfrac{[2a_1+(n-1)r]n}{2}[/tex]

Z treści zadania wiemy, że:

[tex]a_n=5n+2 [/tex]

Obliczmy, korzystając z tego wzoru pierwszy wyraz ciągu oraz jego różnicę.

Pierwszy wyraz ciągu [tex](a_n)[/tex]:

[tex] a_1=5\cdot 1+2=7[/tex]

A teraz różnicę ciągu [tex](a_n)[/tex]:

[tex] r=a_{n+1}-a_n=5(n+1)+2-(5n+2)=5n+5+2-5n-2=5[/tex]

Czyli:

[tex] a_1=7[/tex]

[tex] r=5[/tex]

 

Podstawiamy te dane do wzoru na sumę [tex]n[/tex] początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:

[tex] S_n=\cfrac{(2\cdot 7+(n-1)\cdot 5)n}{2}=\cfrac{(14+5n-5)n}{2}=\cfrac{(9+5n)n}{2}[/tex]

Z treści zadania wiemy, że ta suma wynosi [tex]295[/tex].

[tex] S_n=\cfrac{(9+5n)n}{2}=295[/tex]

Otrzymaliśmy równanie, z którego obliczmy [tex] n[/tex]:

[tex] \cfrac{(9+5n)n}{2}=295[/tex]

[tex] (9+5n)n=295\cdot 2[/tex]

[tex] (9+5n)n=590[/tex]

[tex] 9n+5n^2=590[/tex]

[tex] 5n^2+9n-590=0[/tex]

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe:

Obliczamy [tex]\Delta[/tex]:

[tex] \Delta=b^2-4ac=(-9)^2-4\cdot 5\cdot (-590)=81+11800=11881[/tex]

Obliczamy pierwiastek [tex]\sqrt{\Delta}[/tex]:

[tex]\sqrt{\Delta}=\sqrt{11881}=109[/tex]

Obliczamy pierwiastki równania kwadratowego:

[tex] n_1=\cfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\cfrac{-9+109}{10}=\cfrac{100}{10}=10[/tex]

[tex] n_2=\cfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\cfrac{-9-109}{10}<0[/tex]  to rozwiązanie odrzucamy, ponieważ [tex]n[/tex] jest ilością zsumowanych wyrazów, więc nie może być liczbą ujemną.

Wiadomo, że liczby [tex]3,\ x,\ 7 [/tex] w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz [tex] x [/tex].

 

To zadanie bardzo łatwo rozwiązać, korzystając z powyższej zależności między wyrazami ciągu arytmetycznego.

[tex]x=\cfrac{3+7}{2}=\cfrac{10}{2}=5 [/tex]

zatem

[tex]x=5 [/tex]