Równanie kwadratowe

0

Spis treści

  1. Co to jest równanie kwadratowe?
  2. Wyróżnik równania kwadratowego.
  3. Rozwiązania równania kwadratowego.

Co to jest równanie kwadratowe?

 

Definicja: Równanie kwadratowe

Równanie kwadratowe to równanie postaci

[tex]ax^2+bx+c=0[/tex]

gdzie:

[tex]a \neq 0 \quad a,b,c \in \mathbb{R}[/tex] -  współczynniki równania kwadratowego

[tex]x \in \mathbb{R}[/tex] - zmienna

 

Przykład 1

[tex]2x^2 + 2x + 2 = 0[/tex]

[tex]2x^2 + 2x = 0 [/tex]

[tex]2x^2 = 0[/tex]

Wszystkie z powyższych przykładów są prawidłowymi równaniami kwadratowymi. 

 

 

Do góry

Wyróżnik równania kwadratowego.

 

Definicja: Wyróżnik równania kwadratowego

Wyróżnik równania kwadratowego [tex]ax^2+bx+c=0[/tex] to

[tex]\Delta = b^2-4ac[/tex]

Jest to jeden z najważniejszych wzorów do zapamiętania. Będziesz z niego korzystał przy wielu zadaniach i to nie tylko z zakresu funkcji kwadratowej. 

 

UWAGA!

Wyróżnik równania kwadratowego nazywany jest również deltą ([tex]\Delta[/tex]). Obie te nazwy można stosować wymiennie.

 

Przykład 2

Jeżeli równanie kwadratowe ma postać [tex]2x^2 - 3x + 2 = 0[/tex] to wyróżnik równania wynosi:

[tex]\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 - 16 = -7[/tex]

 

Do góry

Rozwiązania równania kwadratowego.

Liczba rozwiązań równania kwadratowego zależy od wartości delty. Rozwiązań może być dwa, jedno lub nie być żadnego.  Spójrz poniżej:

 

  • jeżeli [tex]\Delta > 0[/tex] to równanie kwadratowe posiada dwa rozwiązania, które obliczamy korzystając z wzorów:

[tex]x_1 = \cfrac{-b -\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex]

[tex]x_2 = \cfrac{-b +\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex]

  • jeżeli [tex]\Delta = 0[/tex] to równanie kwadratowe posiada jedno rozwiązanie (podwójne)

[tex]x_0 = -\cfrac{b}{2a}[/tex]

  • jeżeli [tex]\Delta < 0[/tex] to równanie kwadratowe nie posiada rozwiązań
UWAGA!

Rozwiązania równania kwadratowego nazywane są również pierwiastkami równania kwadratowego.

Przykład 3

Znajdź rozwiązania równania [tex]2x^2 + 2x - 12 = 0[/tex].

Liczymy deltę dla równania kwadratowego

[tex]\Delta = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-12) = 4 + 96 = 100[/tex]

ponieważ [tex]\Delta > 0[/tex] zatem równanie posiada dwa rozwiązania

[tex]x_1 = \cfrac{-2 - \sqrt{100}}{2 \cdot 2} = \cfrac{-2 - 10}{4} = \cfrac{-12}{4} = -3[/tex]

[tex]x_2 = \cfrac{-2 + \sqrt{100}}{2 \cdot 2} = \cfrac{-2 + 10}{4} = \cfrac{8}{4} = 2[/tex]

 

Przykład 4

Znajdź rozwiązania równania [tex]2x^2 + 4x + 2 = 0[/tex].

Liczymy deltę dla równania kwadratowego

[tex]\Delta = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 16 - 16 = 0[/tex]

ponieważ [tex]\Delta = 0[/tex] zatem równanie posiada jedno rozwiązanie

[tex]x_0 = \cfrac{-4}{2 \cdot 2} = -1[/tex]

 

Przykład 5

Znajdź rozwiązania równania [tex]-4x^2 + 2x - 5 = 0[/tex].

Liczymy deltę dla równania kwadratowego

[tex]\Delta = 2^2 - 4 \cdot (-4) \cdot (-5) = 4 - 80 = -76[/tex]

ponieważ [tex]\Delta < 0[/tex] zatem równanie nie posiada rozwiązań

 

Do góry
Dopasuj do równań kwadratowych ich pierwiastki:
$4x^2+3x-1=0$
$x^2-3x+5=0$
$x^2-6x+9=0$
$x_1= -1, x_2= \cfrac{1}{4} $
brak
$ x=3 $


Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Zadania do przećwiczenia (2):

Liceum » Funkcja kwadratowa » #102
0

Rozwiąż równanie:

[tex]x^2-2x-15=2x+6[/tex]

P
K
Zobacz rozwiązanie
Podobne (4)
Liceum » Funkcja kwadratowa » #409
3

Rozwiąż równanie: [tex]-3x^2+5x-1=0[/tex]

P
K
Zobacz rozwiązanie
Podobne (4)

Komentarze (
0
):