Parabola, wierzchołek paraboli, zbiór wartości funkcji kwadratowej.

Spis treści

1. Parabola i jej wierzchołek.
2. Wyznaczanie zbioru wartości funkcji kwadratowej.

Parabola i jej wierzchołek.

Wykresem funkcji kwadratowej [tex]f(x)=ax^2+bx+c [/tex] jest parabola. 

Przykładowy wykres funkcji kwadratowej wygląda następująco:

Ramiona paraboli mogą być skierowane w górę  lub w dół, zależy to od wartości współczynnika [tex]a[/tex] we wzorze funkcji kwadratowej.

• Jeżeli [tex]a>0[/tex] wówczas ramiona paraboli są skierowane w górę:

• Jeżeli [tex]a<0[/tex] wówczas ramiona paraboli są skierowane w dół:

Wierzchołek paraboli.

Wierzchołek paraboli został zaznaczony na poniższym rysunku. Jest to punkt [tex]W[/tex] o współrzędnych [tex](p,q)[/tex]

Współrzędne wierzchołka paraboli możemy wyznaczyć znając wzór ogólny funkcji kwadratowej.

Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji danej wzorem [tex]f(x)=3x^2+5x+9[/tex].

Odczytujemy z wzoru funkcji współczynniki:

[tex]a=3[/tex]

[tex]b=5[/tex]

[tex]c=9[/tex]

 Obliczamy wyróżnik:

[tex]\Delta=b^2-4ac=5^2-4\cdot 3 \cdot 9=25-108=-83[/tex]

Obliczamy współrzędne wierzchołka zgodnie z wzorami:

[tex]p=-\cfrac{b}{2a}=-\cfrac{5}{2\cdot 3}=-\cfrac{5}{6}[/tex]

[tex]q=-\cfrac{\Delta}{4a}=-\cfrac{- 83}{4\cdot 3}=\cfrac{83}{12}[/tex]

 Zatem wierzchołkiem tej paraboli jest punkt:

[tex]W=\left(-\cfrac{5}{6},\cfrac{83}{12}\right)[/tex]

Wyznaczanie zbioru wartości funkcji kwadratowej.

Zauważ, że jeżeli punkt [tex]W=(p,q)[/tex] jest wierzchołkiem paraboli to:

[tex]f(x)=a(x-p)^2+q[/tex]

Ponieważ [tex]p=-\cfrac{b}{2a}[/tex] i  [tex]q=-\cfrac{\Delta}{4a}[/tex].

Wyznaczanie zbioru wartości funkcji kwadratowej.

Znając współrzędne wierzchołka paraboli oraz jeżeli wiemy czy ramiona paraboli są skierowane w górę czy w dół, możemy łatwo wyznaczyć zbiór wartości funkcji kwadratowej.

Jeżeli [tex]a>0[/tex] czyli ramiona paraboli są skierowane w górę, to zbiorem wartości funkcji [tex] f(x)=ax^2+bx+c[/tex] jest przedział [tex][q,+\infty)[/tex].

Spójrz na rysunek poniżej:

Jeżeli [tex]a<0[/tex] czyli ramiona paraboli są skierowane w dół, to zbiorem wartości funkcji [tex] f(x)=ax^2+bx+c[/tex] jest przedział [tex](-\infty,q][/tex].

Spójrz na rysunek poniżej:

Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Wierzchołek funkcji kwadratowej danej wzorem [tex]f(x) = 2x^2+3x-5[/tex] znajduje się w punkcie:

Pewna parabola jest opisana równaniem: [tex]y=2x^2+bx+8[/tex], gdzie $b$ jest dowolną liczbą rzeczywistą. Wyznacz wszystkie wartości parametru [tex]b[/tex], dla których wierzchołek paraboli leży nad osią  [tex]OX[/tex].

Zbiorem wartości funkcji [tex]f(x) = (x-3)^2+9[/tex] jest przedział:

Wskaż funkcję kwadratową, której zbiorem wartości jest przedział [tex][6, +\infty)[/tex].