Spis treści
Co to jest parametr?
Aby móc rozwiązywać równania czy nierówności z parametrem, musisz dokładnie rozumieć różnicę między zmienną równania, a jego parametrem.
Zmienna równania to jego niewiadoma. Względem zmiennej rozwiązujemy równanie. (Najczęściej niewiadomą równania oznaczamy jako [tex]x[/tex].)
Parametr w równaniu to litera, która "pełni rolę liczby".
Mamy równanie:
[tex]x+8=10[/tex]
Możemy to równanie rozwiązać i otrzymamy wartość niewiadomej [tex]x[/tex]. Wtedy:
[tex]x=10-8=2[/tex]
Wprowadźmy parametr do tego równania:
[tex]mx+8=10[/tex]
Teraz, nie mamy już jednego równania, ale mamy całą grupę równań, gdzie [tex]m[/tex] może przyjmować dowolne wartości.
[tex]m=-1[/tex], [tex]-x+8=10[/tex]
[tex]m=1[/tex], [tex]x+8=10[/tex]
[tex]m=2 [/tex], [tex]2x+8=10[/tex]
[tex]m=10 [/tex], [tex]10x+8=10[/tex]
...
Po wprowadzeniu parametru do równania, możemy sobie zadawać pytania:
- Jakie wartości może przyjmować [tex]m[/tex], aby rozwiązanie równania było dodatnie?
- Jakie wartości może przyjmować [tex]m[/tex], aby rozwiązanie równania było ujemne?
- Dla jakich wartości parametru równanie nie ma rozwiązań?
- ... itd
Dla jakich wartości parametru [tex]m[/tex] istnieje dodatnie rozwiązanie równania:
[tex]mx+8=10[/tex]
W powyższym równaniu [tex]x[/tex] jest niewiadomą, a [tex]m[/tex] jest parametrem tego równania. Szukając rozwiązania tego równania, szukamy wartości [tex]x[/tex] (tak jak przy rozwiązywaniu równań bez parametru).
Rozwiążmy powyższe równanie:
[tex]mx+8=10[/tex]
[tex]mx=2[/tex]
[tex]x=\cfrac{2}{m}[/tex],
gdzie [tex]m \neq 0[/tex].
Wyznaczyliśmy [tex]x[/tex]. Jednak celem tego zadania nie jest rozwiązanie równania, tylko określenie jakie wartości może przyjmować [tex]m[/tex], aby rozwiązanie równania miało wartości dodatnie.
Wiemy, że rozwiązaniem jest:
[tex]x=\cfrac{2}{m}[/tex].
Zatem, kiedy to rozwiązanie będzie dodatnie? Tylko wtedy, gdy będzie spełniona nierówność:
[tex]\cfrac{2}{m}>0[/tex]
Jakie [tex]m[/tex] ją spełnia?
[tex]m>0[/tex].
Zatem określiliśmy wartość parametru, dla którego rozwiązanie danego równania będzie dodatnie: [tex]m\in \mathbb{R}^+[/tex].
Wyznaczanie założeń.
Rozwiązując równania czy nierówności kwadratowe z parametrem najważniejsze jest, aby z treści zadania umieć wyznaczyć założenia, które muszą być spełnione. Na tym głównie się skupimy w dalszej części nauki.
Dane jest równanie:
[tex]ax^2+bx+c=0[/tex],
gdzie
[tex]a,b,c \in \mathbb{R}[/tex],
[tex]a \neq 0 [/tex],
[tex]x \in \mathbb{R}[/tex].
[tex]\Delta=b^2-4ac [/tex]
Przypomnienie:
Bardzo ważne przy rozwiązywaniu równań kwadratowych z parametrem jest znajomość wzorów Viete'a:
Jeżeli równanie kwadratowe ma pierwiastki to:
[tex]x_1+x_2=-\cfrac{b}{a}[/tex]
[tex]x_1 \cdot x_2 =\cfrac{c}{a}[/tex]
Dane są dwie liczby rzeczywiste: [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex]. Jeżeli te liczby spełniają warunek: [tex]a\cdot b>0[/tex] to co możesz powiedzieć o znaku tych liczb? Są to liczby dodatnie, ujemne czy mają różne znaki?
Z pewnością są to liczby o takim samym znaku. Nie możemy na podstawie ich iloczynu określić czy obie te liczby są dodatnie czy ujemne, ale na pewno mają te same znaki, ponieważ:
- Jeżeli [tex]a>0[/tex] i [tex]b>0[/tex] to [tex]a\cdot b>0[/tex].
- Jeżeli [tex]a<0[/tex] i [tex]b<0[/tex] to [tex]a\cdot b>0[/tex].
- Jeżeli [tex]a>0[/tex] i [tex]b<0[/tex] to [tex]a\cdot b<0[/tex].
Poniżej ćwiczenie dla Ciebie. Spróbuj wykonać taką analizę jak w powyższej uwadze.
Rozwiązanie równania kwadratowego z parametrem.
Rozwiązując równania kwadratowe z parametrem, musisz uświadomić sobie kilka faktów:
Jeżeli...
- [tex]\Delta<0 [/tex] - to równanie nie ma pierwiastków,
- [tex]\Delta=0 [/tex] - to równanie ma jeden pierwiastek,
- [tex]\Delta \geq 0 [/tex] - to równanie ma dwa pierwiastki,
- [tex]\Delta>0 [/tex] - to równanie ma dwa różne pierwiastki.
Jeżeli równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki takie, że:
- [tex]x_1 \cdot x_2 < 0[/tex] - to są one różnych znaków.
- [tex]x_1 \cdot x_2 > 0[/tex] - to mają one takie same znaki.
- [tex]x_1+x_2>0[/tex] i [tex]x_1 \cdot x_2>0[/tex] - to są one dodatnie.
- [tex]x_1+x_2<0[/tex] i [tex]x_1 \cdot x_2>0[/tex] - to są one ujemne.
Poniżej kilka przykładów zadań.
Dla jakich wartości parametru [tex]m[/tex] równanie [tex]mx^2+(m+1)x+4=0[/tex] ma przynajmniej jedno rozwiązanie.
Rozwiązanie:
a) w pierwszym przypadku rozważamy, gdy dane równanie jest równaniem liniowym, tzn. współczynnik przy [tex]x^2[/tex] jest równy [tex]0[/tex], czyli [tex]m=0[/tex].
[tex]0\cdot x^2+(0+1)x+4=0[/tex]
[tex]x+4=0[/tex]
[tex]x=-4[/tex]
Otrzymaliśmy jedno rozwiązanie, zatem $m=0$ spełnia warunki zadania.
b) Zakładamy, że $m \neq 0$ oraz aby istniało przynajmniej jedno rozwiązanie równania to wyróżnik równania kwadratowego musi spełniać warunek: [tex]\Delta \geq 0[/tex].
Wyróżnik tego równania to:
[tex]\Delta=(m+1)^2-4m\cdot 4=(m+1)^2-16m=m^2-14m+1[/tex].
Sprawdzamy dla jakich wartości parametru [tex]m[/tex], spełniony jest warunek [tex]\Delta \geq 0[/tex].:
Rozwiązujemy nierówność kwadratową o niewiadomej [tex]m[/tex]:
[tex]m^2-14m+1 \geq 0[/tex]
[tex]\Delta_m=(-14)^2-4=192[/tex]
[tex]\sqrt{\Delta_m}=8\sqrt{3}[/tex]
[tex]m_1=\cfrac{14+8\sqrt{3}}{2}=7+4\sqrt{3}[/tex]
[tex]m_2=\cfrac{14-8\sqrt{3}}{2}=7-4\sqrt{3}[/tex]
Otrzymaliśmy przedział:
[tex]m \in (-\infty,7-4\sqrt{3}]\cup [7+4\sqrt{3},+\infty)[/tex]
Podsumowanie:
Rozwiązaniem zadania jest:
[tex]m \in (-\infty,0)\cup(0,7-4\sqrt{3}] \cup [7+4\sqrt{3},+\infty)[/tex]
Powyższy przedział, jest częścią wspólną rozwiązań z podpunktu a) i b).
Dla jakich wartości parametru [tex]m[/tex] równanie [tex]mx^2+(m+1)x+4=0[/tex] ma jedno rozwiązanie.
Rozwiązanie:
a) Tak jak w poprzednim zadaniu, najpierw sprawdzamy kiedy równanie jest liniowe, czyli [tex]m = 0[/tex].
[tex]0\cdot x^2+(0+1)x+4=0[/tex]
[tex]x+4=0[/tex]
[tex]x=-4[/tex]
Otrzymaliśmy jedno rozwiązanie, zatem dla parametru $m=0$ warunek zadania jest spełniony.
b) Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie jeżeli [tex]\Delta = 0[/tex]. Czyli, gdy:
[tex]m^2-14m+1 = 0[/tex]
Otrzymujemy, że:
[tex]m_1=\cfrac{14+8\sqrt{3}}{2}=7+4\sqrt{3}[/tex]
[tex]m_2=\cfrac{14-8\sqrt{3}}{2}=7-4\sqrt{3}[/tex]
Otrzymaliśmy dwa parametry [tex]m_1[/tex] i [tex]m_2[/tex] dla których równanie [tex]mx^2+(m+1)x+4=0[/tex] ma jedno rozwiązanie.
Dla jakich wartości parametru [tex]m[/tex] równanie [tex]mx^2+(m+1)x+4=0[/tex] ma dwa różne rozwiązania dodatnie.
Rozwiązanie:
a) Równanie jest kwadratowe, gdy [tex]m \neq 0[/tex].
b) Jeżeli pierwiastki równania (rozwiązania) mają być różne to wyróżnik musi być dodatni.
[tex]\Delta > 0[/tex]
[tex]m^2-14m+1 > 0[/tex]
Podobne obliczenia wykonywaliśmy w Zadaniu 1. Tutaj nierówność jest ostra, zatem przedziałów nie domykamy. Rozwiązaniem nierówności jest :
[tex]m \in (-\infty,7-4\sqrt{3})\cup (7+4\sqrt{3},+\infty)[/tex]
c) Jeżeli rozwiązania równania kwadratowego mają być dodatnie, to ich suma oraz ich iloczyn też muszą być dodatnie. Z wzorów Viete'a otrzymujemy:
[tex]x_1+x_2=-\cfrac{b}{a}>0[/tex]
[tex]x_1 \cdot x_2 =\cfrac{c}{a}>0[/tex]
Sprawdzamy dla jakich wartości parametru [tex]m[/tex] zachodzą powyższe warunki:
- suma pierwiastków większa od zera
[tex]-\cfrac{m+1}{m}>0[/tex]
[tex]m(m+1)<0[/tex]
[tex]m \in (-1,0)[/tex]
- iloczyn pierwiastków większy od zera
[tex]\cfrac{4}{m}>0[/tex]
[tex]m>0[/tex]
[tex]m \in \mathbb{R}^+[/tex]
Podsumowanie:
Nie ma [tex]m[/tex], które spełniałoby wszystkie warunki w podpunktach a), b) i c). Zatem równanie [tex]mx^2+(m+1)x+4=0[/tex] nie ma dwóch różnych pierwiastków dodatnich dla żadnej wartości parametru [tex]m[/tex].
Dla jakich wartości parametru [tex]m[/tex] równanie [tex]mx^2+(m+1)x+4=0[/tex] ma dwa rozwiązania ujemne.
Rozwiązanie:
a) Tak jak w poprzednich zadaniach, aby równanie było kwadratowe to współczynnik przy [tex]x^2[/tex] musi być różny od zera, czyli [tex]m \neq 0[/tex].
b) Uwaga: tutaj nie zakładamy, że pierwiastki mają być różne, dlatego wystarczającym warunkiem jest, aby wyróżnik był nieujemny.
[tex]\Delta \geq 0[/tex]
Taką samą nierówność rozwiązywaliśmy w Zadaniu 1. Wynik jaki otrzymaliśmy to:
[tex]m \in (-\infty,7-4\sqrt{3}]\cup [7+4\sqrt{3},+\infty)[/tex]
c) Jeżeli rozwiązania równania kwadratowego mają być ujemne, to ich suma musi być ujemna, a iloczyn dodatni. Korzystając z wzorów Viete'a otrzymujemy:
[tex]x_1+x_2=-\cfrac{b}{a}<0[/tex]
[tex]x_1 \cdot x_2 =\cfrac{c}{a}>0[/tex]
- suma pierwiastków ujemna:
[tex]-\cfrac{m+1}{m}<0[/tex]
[tex]m(m+1)>0[/tex]
[tex]m \in ( -\infty, -1) \cup (0,+\infty)[/tex]
-iloczyn pierwiastków dodatni:
[tex]\cfrac{4}{m}>0[/tex]
[tex]m>0[/tex]
[tex]m \in \mathbb{R}^+[/tex]
Podsumowanie:
Wybieramy [tex]m[/tex], które spełnia wszystkie warunki z podpunktów a), b) i c):
[tex]m \neq 0[/tex]
[tex]m \in (-\infty,7-4\sqrt{3}]\cup [7+4\sqrt{3},+\infty)[/tex]
[tex]m \in ( -\infty, -1) \cup (0,+\infty)[/tex]
[tex]m \in \mathbb{R}^+[/tex]
[tex]m[/tex], które spełnia wszystkie powyższe warunki to:
[tex] m \in [7+4\sqrt{3},+\infty)[/tex]
Dla jakich wartości parametru [tex]m[/tex] równanie [tex]mx^2+(m+1)x+4=0[/tex] ma dwa rozwiązania różnych znaków.
Rozwiązanie:
a) Tak jak w poprzednich zadaniach, aby równanie było kwadratowe to współczynnik przy [tex]x^2[/tex] musi być różny od zera, czyli [tex]m \neq 0[/tex].
b) Aby istniały dwa rozwiązania różnych znaków, to wyróżnik musi być dodatni.
[tex]\Delta > 0[/tex]
Taką samą nierówność rozwiązywaliśmy w Zadaniu 3. Wynik jaki otrzymaliśmy to:
[tex]m \in (-\infty,7-4\sqrt{3})\cup (7+4\sqrt{3},+\infty)[/tex]
c) Aby rozwiązania miały różne znaki, to ich iloczyn musi być ujemny.
[tex]x_1 \cdot x_2 =\cfrac{c}{a}<0[/tex]
[tex]\cfrac{4}{m}<0[/tex]
[tex]m<0[/tex]
Podsumowanie:
Wybieramy [tex]m[/tex], które spełnia wszystkie warunki z podpunktów a), b) i c):
[tex]m \neq 0[/tex]
[tex]m \in (-\infty,7-4\sqrt{3})\cup (7+4\sqrt{3},+\infty)[/tex]
[tex]m <0[/tex]
[tex]m[/tex], które spełnia wszystkie powyższe warunki to:
[tex]m \in (-\infty,0)[/tex]
Dla jakich wartości parametru [tex]m[/tex] równanie [tex]mx^2+(m+1)x+4=0[/tex] ma dwa rozwiązania, których suma kwadratów jest równa 5.
Rozwiązanie:
a) Tak jak w poprzednich zadaniach, aby równanie było kwadratowe to współczynnik przy [tex]x^2[/tex] musi być różny od zera, czyli [tex]m \neq 0[/tex].
b) Aby istniały dwa rozwiązania, to wyróżnik musi być nieujemny.
[tex]\Delta \geq 0[/tex]
Taką samą nierówność rozwiązywaliśmy w Zadaniu 1. Wynik jaki otrzymaliśmy to:
[tex]m \in (-\infty,7-4\sqrt{3}]\cup [7+4\sqrt{3},+\infty)[/tex]
c) Warunek w treści zadania:
[tex]x_1^2+x_2^2=5[/tex]
Aby sprawdzić ten warunek , to zapiszemy go używając sumy i iloczynu pierwiastków, zamiast sumy kwadratów pierwiastków:
[tex](x_1+x_2)^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2[/tex]
[tex]x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2[/tex]
Czyli:
[tex](x_1+x_2)^2-2x_1x_2=5[/tex]
Pozostaje zatem znaleźć wszystkie wartości parametru [tex]m[/tex], które spełniają równanie:
[tex](-\cfrac{b}{a})^2-2 \cdot \cfrac{c}{a}=5[/tex]
[tex](-\cfrac{m+1}{m})^2-2 \cdot \cfrac{4}{m}=5[/tex]
[tex]\cfrac{(m+1)^2}{m^2}- \cfrac{8}{m}=5[/tex]
[tex]\cfrac{(m+1)^2}{m^2}- \cfrac{64}{m^2}=5[/tex]
[tex]\cfrac{(m+1)^2-64}{m^2}=5[/tex]
[tex](m+1)^2-64=5m^2[/tex]
[tex]m^2+2m+1-64=5m^2[/tex]
[tex]-4m^2+2m-63=0[/tex]
[tex]4m^2-2m+63=0[/tex]
[tex]\Delta_m=(-2)^2-4\cdot 4\cdot 63<0[/tex]
Wyróżnik jest ujemny, zatem równanie [tex]4m^2-2m+63=0[/tex] nie ma rozwiązania.
Podsumowanie:
Nie ma takich wartości parametru [tex]m[/tex], dla których spełnione byłyby warunki zadania.
Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski.
Dzięki :)
Komentarze (0
):
Logowanie Aby dodać komentarz musisz się zalogować.
Nie masz
jeszcze konta?
Załóż darmowe konto w 30 sekund.
Rejestracja
Nie pamiętasz hasła?