Równania kwadratowe z parametrem.


Spis treści

  1. Co to jest parametr?
  2. Wyznaczanie założeń.
  3. Rozwiązanie równania kwadratowego z parametrem.

Co to jest parametr?

Aby móc rozwiązywać równania  czy nierówności z parametrem, musisz dokładnie rozumieć różnicę między zmienną równania, a jego parametrem. 

Zmienna równania to jego niewiadoma. Względem zmiennej rozwiązujemy równanie. (Najczęściej niewiadomą równania oznaczamy jako .)

Parametr w równaniu to litera, która "pełni rolę liczby".

 

Przykład 1

Mamy równanie:

Możemy to równanie rozwiązać i otrzymamy wartość niewiadomej .  Wtedy:

Wprowadźmy parametr do tego równania:

Teraz, nie mamy już jednego równania, ale mamy całą grupę równań, gdzie może przyjmować dowolne wartości.

,  

,  

,  

,  

...

Po wprowadzeniu parametru do równania, możemy sobie zadawać pytania:

  • Jakie wartości może przyjmować , aby rozwiązanie równania było dodatnie?
  • Jakie wartości może przyjmować , aby rozwiązanie równania było ujemne?
  • Dla jakich wartości parametru równanie nie ma rozwiązań?
  • ... itd

 

Przykład 2

Dla jakich wartości parametru istnieje dodatnie rozwiązanie równania:

W powyższym równaniu jest niewiadomą, a jest parametrem tego równania. Szukając rozwiązania tego równania, szukamy wartości (tak jak przy rozwiązywaniu równań bez parametru).

Rozwiążmy powyższe równanie:

,

gdzie .

Wyznaczyliśmy . Jednak celem tego zadania nie jest rozwiązanie równania, tylko określenie  jakie wartości może przyjmować , aby rozwiązanie równania miało wartości dodatnie.

Wiemy, że rozwiązaniem jest:

.

Zatem, kiedy to rozwiązanie będzie dodatnie? Tylko wtedy, gdy będzie spełniona nierówność:

Jakie ją spełnia?

.

Zatem określiliśmy wartość parametru, dla którego rozwiązanie danego równania będzie dodatnie: .

 

Wyznaczanie założeń.

Rozwiązując równania czy nierówności kwadratowe z parametrem najważniejsze jest, aby z treści zadania umieć wyznaczyć założenia, które muszą być spełnione. Na tym głównie się skupimy w dalszej części nauki.


Dane jest równanie:

,

gdzie

,

,

.

 

Przypomnienie:

Bardzo ważne przy rozwiązywaniu równań kwadratowych z parametrem jest znajomość wzorów Viete'a:

Jeżeli równanie kwadratowe ma pierwiastki to:

 

UWAGA!

Dane są dwie liczby rzeczywiste: i . Jeżeli te liczby spełniają warunek: to co możesz powiedzieć o znaku tych liczb? Są to liczby dodatnie, ujemne czy mają różne znaki?

 

Z pewnością są to liczby o takim samym znaku. Nie możemy na podstawie ich iloczynu określić czy obie te liczby są dodatnie czy ujemne, ale na pewno mają te same znaki, ponieważ:

- Jeżeli i to .

- Jeżeli i to .

- Jeżeli i to .

 

Poniżej ćwiczenie dla Ciebie. Spróbuj wykonać taką analizę jak w powyższej uwadze.

Dane są dwie liczby rzeczywiste i . Na podstawie danych warunków po lewej stronie oceń jakimi liczbami są i .

,
,

Rozwiązanie równania kwadratowego z parametrem.

Rozwiązując równania kwadratowe z parametrem, musisz uświadomić sobie kilka faktów:

Jeżeli...

  • - to równanie nie ma pierwiastków,
  • - to równanie ma jeden pierwiastek,
  • - to równanie ma dwa pierwiastki,
  • - to równanie ma dwa różne pierwiastki.

Jeżeli równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki takie, że:

  • - to są one różnych znaków.
  • - to mają one takie same znaki.
  •   i  - to są one dodatnie.
  •   i  - to są one ujemne.


Poniżej kilka przykładów zadań.

 

 

Przykład 3

Dla jakich wartości parametru równanie ma przynajmniej jedno rozwiązanie.

 

Rozwiązanie:

a) w pierwszym przypadku rozważamy, gdy dane równanie jest równaniem liniowym, tzn. współczynnik przy jest równy  , czyli .

Otrzymaliśmy jedno rozwiązanie, zatem spełnia warunki zadania.

b) Zakładamy, że oraz aby istniało przynajmniej jedno rozwiązanie równania to wyróżnik równania kwadratowego musi spełniać warunek: .

Wyróżnik tego równania to:

.

Sprawdzamy dla jakich wartości parametru , spełniony jest warunek .:

Rozwiązujemy nierówność kwadratową o niewiadomej :

Otrzymaliśmy przedział:

W podpunkcie b) zakładaliśmy, że , stąd otrzymujemy przedział:

Podsumowanie:

Rozwiązaniem zadania jest suma przedziałów z podpunktu a) i b):

Przykład 4

Dla jakich wartości parametru równanie ma jedno rozwiązanie.

Rozwiązanie:

a) Tak jak w poprzednim zadaniu, najpierw sprawdzamy kiedy równanie jest liniowe, czyli .

Otrzymaliśmy jedno rozwiązanie, zatem dla parametru warunek zadania jest spełniony.

b) Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie jeżeli . Czyli, gdy:

Otrzymujemy, że:

Otrzymaliśmy dwa parametry i dla których równanie  ma jedno rozwiązanie.

Podsumowanie:

Rozwiązaniami są wartości parametru otrzymane w podpunkcie a) i b), czyli

Przykład 5

Dla jakich wartości parametru równanie ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

 

Rozwiązanie:

a) Równanie jest kwadratowe, gdy .

b) Jeżeli pierwiastki równania  (rozwiązania) mają być różne to wyróżnik musi być dodatni.

 

Podobne obliczenia wykonywaliśmy w Zadaniu 1.  Tutaj nierówność jest ostra, zatem przedziałów nie domykamy. Rozwiązaniem nierówności jest :

c) Jeżeli rozwiązania równania kwadratowego mają być dodatnie, to ich suma oraz ich iloczyn też muszą być dodatnie. Z wzorów Viete'a otrzymujemy:

Sprawdzamy dla jakich wartości parametru   zachodzą powyższe warunki:

- suma pierwiastków większa od zera

- iloczyn pierwiastków większy od zera

 Podsumowanie:

Nie ma  , które spełniałoby wszystkie warunki w podpunktach a), b) i c).  Zatem równanie nie ma dwóch różnych pierwiastków dodatnich dla żadnej wartości parametru .

 

 

Przykład 6

Dla jakich wartości parametru równanie ma dwa rozwiązania ujemne.

Rozwiązanie:

a) Tak jak w poprzednich zadaniach, aby równanie było kwadratowe to współczynnik przy  musi być różny od zera, czyli  .

b) Uwaga: tutaj nie zakładamy, że pierwiastki mają być różne, dlatego wystarczającym warunkiem jest, aby wyróżnik był nieujemny.

Taką samą nierówność rozwiązywaliśmy w Zadaniu 1. Wynik jaki otrzymaliśmy to:

c) Jeżeli rozwiązania równania kwadratowego mają być ujemne, to ich suma musi być ujemna, a iloczyn dodatni. Korzystając z wzorów Viete'a otrzymujemy:

- suma pierwiastków ujemna:


-iloczyn pierwiastków dodatni:

Podsumowanie:

Wybieramy , które spełnia wszystkie warunki z podpunktów a), b) i c):

 , które spełnia wszystkie powyższe warunki to:

 

 

Przykład 7

Dla jakich wartości parametru równanie ma dwa rozwiązania różnych znaków.


Rozwiązanie:

a) Tak jak w poprzednich zadaniach, aby równanie było kwadratowe to współczynnik przy  musi być różny od zera, czyli  .

b) Aby istniały dwa rozwiązania różnych znaków, to wyróżnik musi być dodatni. 

Taką samą nierówność rozwiązywaliśmy w Zadaniu 3. Wynik jaki otrzymaliśmy to:

c)  Aby rozwiązania miały różne znaki, to ich iloczyn musi być ujemny.

Podsumowanie:

Wybieramy , które spełnia wszystkie warunki z podpunktów a), b) i c):

 , które spełnia wszystkie powyższe warunki to:

 

Przykład 8

Dla jakich wartości parametru równanie ma dwa rozwiązania, których suma kwadratów jest równa 5.

Rozwiązanie:

a) Tak jak w poprzednich zadaniach, aby równanie było kwadratowe to współczynnik przy  musi być różny od zera, czyli  .

b) Aby istniały dwa rozwiązania, to wyróżnik musi być nieujemny. 

Taką samą nierówność rozwiązywaliśmy w Zadaniu 1. Wynik jaki otrzymaliśmy to:

c) Warunek w treści zadania:

 

Aby sprawdzić ten warunek , to zapiszemy go używając sumy i iloczynu pierwiastków, zamiast sumy  kwadratów pierwiastków:

 Czyli:

Pozostaje zatem znaleźć wszystkie wartości parametru , które spełniają równanie:

 




Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Przydatne

Inne osoby czytały także

  1. Funkcja kwadratowa - podstawowe pojęcia.
  2. Nierówności kwadratowe dla a<0
  3. Nierówności kwadratowe dla a>0
  4. Nierówności kwadratowe z parametrem.
  5. Parabola, wierzchołek paraboli, zbiór wartości funkcji kwadratowej.
  6. Przedziały monotoniczności funkcji kwadratowej.
  7. Równanie kwadratowe
  8. Sporządzanie wykresu funkcji kwadratowej.
  9. Wyznaczanie najmniejszej i największej wartości funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym.
  10. Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej.
  11. Wzory Viete'a

Zadania do przećwiczenia (3):

Liceum » Funkcja kwadratowa » #535
1

Wyznacz te wartości parametru , dla których równanie

ma dwa różne rozwiązania, których suma kwadratów jest większa od .


R
D
Liceum » Funkcja kwadratowa » #536
3

Wyznacz te wartości parametru , dla których równanie

ma pierwiastki dodatnie.


R
D
Liceum » Funkcja kwadratowa » #538
3

Zbadaj liczbę rozwiązań równania

w zależności od parametru .

 


R
D

Zobacz zadania z działu funkcja kwadratowa(76)


Komentarze (
1
):

  • Avatar_thumb zibi pisze:

    Ok. ale mam problem z zadaniem, proszę o pomoc
    Dla jakich wartości parametru m suma różnych rozwiązań równania X2 (x kwadrat)-2m(x-1)-1=0 jest równa sumie kwadratów tych rozwiązań
    x1 + x2 = x1 2 + x2 2 (kwadrat)
    delta większa od zera
    podobno wynik 1/2 ale nie wiem skąd