Wykres funkcji liniowej

Spis treści

1. Rysowanie wykresu funkcji liniowej.
2. Wyznaczenie wzoru funkcji liniowej na podstawie wykresu.
3. Proste równoległe i prostopadłe.

---

Rysowanie wykresu funkcji liniowej.

Podstawowe informacje na temat funkcji liniowej znajdziesz w poprzedniej nauce.

 

Wykres funkcji liniowej można narysować mając jej wzór. Ponieważ wykresem funkcji liniowej jest prosta wystarczy obliczyć wartość funkcji w dwóch punktach, nanieść je w układzie współrzędnych i wykreślić prostą przechodzącą przez te punkty.

 

 

 

Wyznaczamy dwa punkty, przez które poprowadzimy prostą

np. dla współrzędnej [tex]x = -2[/tex] mamy

[tex]y=f(-2) = \cfrac{1}{2} \cdot (-2) + 2 = -1 + 2 = 1[/tex]

np. dla współrzędnej [tex]x = 2[/tex] mamy

[tex]y=f(2) = \cfrac{1}{2} \cdot 2 + 2 = 1 + 2 = 3[/tex]

Rysujemy układ współrzędnych i  tam nanosimy obliczone dwa punkty [tex](-2, 1)[/tex] i [tex](2, 3)[/tex]. Kreślimy prostą, która przechodzi przez te dwa punkty:

 

 

 

 

Funkcja ta przyjmuje tą samą wartość dla każdego argumentu, zatem wykresem tej funkcji jest prosta równoległa do osi [tex]OX[/tex].

 

np. dla współrzędnej [tex]x = -3[/tex] mamy

[tex]y=f(-3) = 3[/tex]

np. dla współrzędnej [tex]x = 2[/tex] mamy

[tex]y=f(2) = 3[/tex]

itd.

 

Dobrym sposobem wyboru punktów przy rysowaniu wykresu funkcji liniowej [tex]f(x)= ax + b[/tex] jest wybranie punktów przecięcia z osiami współrzędnych. Dla osi [tex]OY[/tex] będzie to punkt

[tex](0, b)[/tex]

dla osi [tex]OX[/tex] będzie to miejsce zerowe

[tex]\left(-\cfrac{b}{a}, 0\right)[/tex]

gdy [tex] a \neq 0[/tex] (co odpowiada prostym, które nie są równoległe do osi [tex]OX  [/tex] ).

 

 

 

 

Odczytujemy z podanego wzoru funkcji liniowej, że punktem przecięcia z osią [tex]OY[/tex] jest punkt [tex]-4 [/tex].

Punktem przecięcia z osią [tex]OX[/tex] jest miejsce zerowe [tex]-\cfrac{-4}{2} = 2[/tex].

Rysujemy układu współrzędnych, tam nanosimy obliczone dwa punkty [tex](0,-4)[/tex] i [tex](2, 0)[/tex] oraz kreślimy prostą przechodzącą przez te punkty:

 

 

 

Wyznaczenie wzoru funkcji liniowej na podstawie wykresu.

Odwrotnym problemem jest znalezienie wzoru funkcji, gdy mamy jej wykres. Takie zadania rozwiązujemy następująco:

• odczytujemy współrzędne dwóch punktów, które należą do wykresu funkcji liniowej :  [tex](x_1, y_1)[/tex] i [tex](x_2, y_2)[/tex]. Ponieważ punkty te należą do wykresu szukanej funkcji to :

[tex]y_1=f(x_1)[/tex]

[tex]y_2=f(x_2)[/tex]

• korzystając z wzoru ogólnego funkcji liniowej [tex]f(x)=ax+b[/tex], tworzymy układ równań:

[tex]\left\{\begin{array}{l l}
ax_1+b=y_1 \\
ax_2+b= y_2 \\
\end{array}\right.[/tex]

• rozwiązujemy  powyższy układ równań (niewiadomymi są współczynniki [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex]).
• zapisujemy szukany wzór funkcji liniowej:  [tex]f(x)=a_0x+b_0[/tex], gdzie

[tex]\left\{  \begin{array}{l l}
a=a_0 \\
b= b_0 \\
\end{array} \right.[/tex] 

to rozwiązanie zapisanego wyżej układu równań.

 

 

Wzór ogólny funkcji liniowej to:

[tex]f(x) = ax+b[/tex]

Z wykresu odczytujemy dowolne dwa punkty na prostej. Weźmy w tym przypadku punkty przecięcia z osiami współrzędnych:

[tex](0, 3)[/tex] i [tex](6, 0)[/tex]

Ponieważ prosta przechodzi przez dwa wskazane punkty zatem możemy zapisać

[tex]\left\{  \begin{array}{l l}
f(0) = 3 \\
f(6) = 0 \\
\end{array} \right.[/tex]

[tex]\left\{  \begin{array}{l l}
a \cdot 0 + b = 3 \\
a \cdot 6 + b = 0 \\
\end{array} \right.[/tex]

[tex]\left\{  \begin{array}{l l}
b = 3 \\
6a + b = 0 \\
\end{array} \right.[/tex]

podstawiamy pierwsze równanie do drugiego, otrzymujemy

[tex]6a + 3 = 0[/tex]

[tex]6a = -3[/tex]

[tex]a = \cfrac{-3}{6} = -\cfrac{1}{2}[/tex]

zatem wzór szukanej funkcji jest

[tex]f(x) = -\cfrac{1}{2} x + 3[/tex]

 

 

Proste równoległe i prostopadłe.

Proste prostopadłe:

Jeżeli mamy dane dwie proste w postaci kierunkowej:

[tex]k: y=a_1x+b_1[/tex]

[tex]l: y=a_2x+b_2[/tex]

to te dwie proste są prostopadłe jeżeli jest spełniony warunek:

[tex]a_1 \cdot a_2=-1[/tex]

 

 

Proste równoległe:

Jeżeli mamy dane dwie proste w postaci kierunkowej:

[tex]k: y=a_1x+b_1[/tex]

[tex]l: y=a_2x+b_2[/tex]

to te dwie proste są równoległe jeżeli jest spełniony warunek:

[tex]a_1 = a_2[/tex]

 

---

Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Liceum » Funkcja liniowa » #246

Prędkość samochodu jest wprost proporcjonalna do przejechanej drogi. Napisz wzór funkcji opisującej tą zależność oraz naszkicuj wykres tej funkcji jeżeli czas jest ustalony i wynosi [tex] 30\ min [/tex]. Droga zmienia się w przedziale [tex]0-50\ km[/tex].

---

Liceum » Funkcja liniowa » #257

Funkcja liniowa [tex]f[/tex] dana jest wzorem  [tex]f(x)=ax+6 [/tex]. Wiadomo, że miejscem zerowym tej funkcji jest [tex]x=-2[/tex].

a) Wyznacz wzór funkcji [tex]f[/tex]

b) Naszkicuj wykres funkcji [tex]f[/tex]

c) Na podstawie wykresu funkcji [tex]f[/tex], naszkicuj wykres funkcji [tex]g(x)=f(x-2)[/tex]

---

Liceum » Funkcja liniowa » #114

Wyznacz wzór funkcji liniowej przedstawionej na rysunku:

 

---