Rysowanie wykresu funkcji liniowej.

Wykres funkcji liniowej można narysować mając jej wzór. Ponieważ wykresem funkcji liniowej jest prosta wystarczy obliczyć wartość funkcji w dwóch punktach, nanieść je w układzie współrzędnych i wykreślić prostą przechodzącą przez te punkty.

Przykład 1

Narysuj wykres funkcji liniowej f(x) = \cfrac{1}{2}x + 2.

 

Wyznaczamy dwa punkty, przez które poprowadzimy prostą

np. dla współrzędnej x = -2 mamy

y=f(-2) = \cfrac{1}{2} * (-2) + 2 = -1 + 2 = 1

np. dla współrzędnej x = 2 mamy

y=f(2) = \cfrac{1}{2} * 2 + 2 = 1 + 2 = 3

Rysujemy układ współrzędnych i  tam nanosimy obliczone dwa punkty (-2, 1) i (2, 3). Kreślimy prostą, która przechodzi przez te dwa punkty:

 

 

Przykład 2

Narysuj wykres funkcji liniowej f(x) = 3.

 

Funkcja ta przyjmuje tą samą wartość dla każdego argumentu, zatem wykresem tej funkcji jest prosta równoległa do osi OX.

 

np. dla współrzędnej x = -3 mamy

y=f(-3) = 3

np. dla współrzędnej x = 2 mamy

y=f(2) = 3

itd.

Dobrym sposobem wyboru punktów przy rysowaniu wykresu funkcji liniowej f(x)= ax + b jest wybranie punktów przecięcia z osiami współrzędnych. Dla osi OY będzie to punkt

(0, b)

dla osi OX będzie to miejsce zerowe

\left(-\cfrac{b}{a}, 0\right)

gdy  a \neq 0 (co odpowiada prostym, które nie są równoległe do osi OX ).

Przykład 3

Narysuj wykres funkcji liniowej f(x)=2x- 4.

 

Odczytujemy z podanego wzoru funkcji liniowej, że punktem przecięcia z osią OY jest punkt (0,-4) .

Punktem przecięcia z osią OX jest (2,0).

Rysujemy układu współrzędnych, tam nanosimy obliczone dwa punkty (0,-4) i (2, 0) oraz kreślimy prostą przechodzącą przez te punkty:


 

UWAGA!

Podczas rysowania układu współrzędnych ważne jest, aby dobrze opisać osie OX i OY. Punkt przecięcia osi to punkt (0,0). Należy też pamiętać o zaznaczeniu jednostki na każdej osi.

Wyznaczenie wzoru funkcji liniowej na podstawie wykresu.

Odwrotnym problemem jest znalezienie wzoru funkcji, gdy mamy jej wykres. Takie zadania rozwiązujemy następująco:

  • odczytujemy współrzędne dwóch punktów, które należą do wykresu funkcji liniowej :  (x_1, y_1) i (x_2, y_2). Ponieważ punkty te należą do wykresu szukanej funkcji to :

y_1=f(x_1)

y_2=f(x_2)

  • korzystając z wzoru ogólnego funkcji liniowej f(x)=ax+b, tworzymy układ równań:

\left\{\begin{array}{l l} ax_1+b=y_1 \\ ax_2+b= y_2 \\ \end{array}\right.

  • rozwiązujemy  powyższy układ równań (niewiadomymi są współczynniki a i b).
  • zapisujemy szukany wzór funkcji liniowej:  f(x)=a_0x+b_0, gdzie

\left\{\begin{array}{l l} a=a_0 \\ b= b_0 \\ \end{array} \right. 

to rozwiązanie zapisanego wyżej układu równań.

Przykład 4

Podaj wzór funkcji liniowej narysowanej poniżej.

 

 

Wzór ogólny funkcji liniowej to:

f(x) = ax+b

Z wykresu odczytujemy dowolne dwa punkty na prostej. Weźmy w tym przypadku punkty przecięcia z osiami współrzędnych:

(0, 3) i (6, 0)

Ponieważ prosta przechodzi przez dwa wskazane punkty zatem możemy zapisać

\left\{\begin{array}{l l} f(0) = 3 \\ f(6) = 0 \\ \end{array} \right.

\left\{\begin{array}{l l}a *0+b=3 \\ a * 6+b=0 \\ \end{array} \right.

\left\{\begin{array}{l l} b = 3 \\ 6a + b = 0 \\ \end{array} \right.

podstawiamy pierwsze równanie do drugiego, otrzymujemy

6a + 3 = 0

6a = -3

a = \cfrac{-3}{6} = -\cfrac{1}{2}

zatem wzór szukanej funkcji jest

f(x) = -\cfrac{1}{2} x + 3

 

 

UWAGA!

Najlepiej dobierać punkty, które łatwo odczytać z wykresu funkcji np. punkty przecięcia z osiami współrzędnymi lub mające współrzędne całkowite.

 

Proste równoległe i prostopadłe.

Proste prostopadłe:

Jeżeli mamy dane dwie proste w postaci kierunkowej:

k: y=a_1x+b_1

l: y=a_2x+b_2

to te dwie proste są prostopadłe jeżeli jest spełniony warunek:

a_1 * a_2=-1

UWAGA!

Proste prostopadłe oznaczamy symbolem \perp.

 

 

Proste równoległe:

Jeżeli mamy dane dwie proste w postaci kierunkowej:

k: y=a_1x+b_1

l: y=a_2x+b_2

to te dwie proste są równoległe jeżeli jest spełniony warunek:

a_1 = a_2

UWAGA!

Proste równoległe oznaczamy symbolem \parallel.

 


Zadanie 1

Prędkość samochodu jest wprost proporcjonalna do przejechanej drogi. Napisz wzór funkcji opisującej tą zależność oraz naszkicuj wykres tej funkcji jeżeli czas jest ustalony i wynosi  30\ min . Droga zmienia się w przedziale 0-50\ km.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Funkcja liniowa f dana jest wzorem  f(x)=ax+6 . Wiadomo, że miejscem zerowym tej funkcji jest x=-2.

a) Wyznacz wzór funkcji f

b) Naszkicuj wykres funkcji f

c) Na podstawie wykresu funkcji f, naszkicuj wykres funkcji g(x)=f(x-2)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Wyznacz wzór funkcji liniowej przedstawionej na rysunku:

 

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Funkcja f dana jest wzorem f(x)=ax. Wiadomo, że wykres tej funkcji przechodzi przez punkt A=\left(\cfrac{13}{4},\cfrac{13}{2}\right). Wykres funkcji g jest prostopadły do wykresu funkcji f i również przechodzi przez punkt A.

a) Wyznacz wzory obu funkcji.

b) Dla jakich argumentów, wartości funkcji f są większe od wartości funkcji g ?

c) Oblicz miejsca zerowe obu funkcji

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Na poniższym rysunku został przedstawiony wykres funkcji y=f(x).

Korzystając z wykresu:

a) Podaj zbiór wartości funkcji dla x \in [3,7]

b)  Oblicz wartość funkcji dla argumentu x=\sqrt{47}

c)  Wyznacz równanie prostej, przechodzącej przez punkty C oraz D

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Wskaż wzór funkcji liniowej przedstawionej na wykresie.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz