Metoda graficzna rozwiązywania układów równań liniowych.

Metoda graficzna rozwiązywania układów równań liniowych polega na wykreśleniu w układzie współrzędnym prostych odpowiadających równaniom układu. Jeżeli wykreślone proste

  • przecinają się - układ równań posiada dokładnie jedno rozwiązanie (układ oznaczony). Rozwiązaniem układu są współrzędne punktu przecięcia, które odczytujemy z wykresu.

  • pokrywają się - układ równań posiada wówczas nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony). Rozwiązaniami układu są współrzędne punktów leżących na prostych.

 

  • są do siebie równoległe - układ równań nie posiada wtedy rozwiązań (układ sprzeczny)

 

UWAGA!

Metoda graficzna jest metodą przybliżoną znajdywania rozwiązań liniowych układów równań. Niekiedy bardzo ciężko precyzyjnie odczytać punkt przecięcia prostych, szczególnie wtedy, gdy współrzędne nie są całkowite np. (\cfrac{3}{5}, \cfrac{7}{2}).

 

Przykład zastosowania metody graficznej.

 

Przykład 1

Rozwiąż metodą graficzną układ równań

 

\left\{\begin{matrix}2x-y+4=0 \\ x-2y=4 \end{matrix}\right.

Przekształcamy równania, do postaci prostej kierunkowej.

Pierwsza prosta

2x - y + 4 = 0

2x + 4 = y

y = 2x + 4

wybieramy dwa punkty leżące na tej prostej, np.:

(0, 4) i (-2, 0)

Druga prosta

x - 2y = 4

x - 4 = 2y

\cfrac{1}{2}x - 2 = y

y = \cfrac{1}{2}x - 2

wybieramy dwa punkty leżące na tej prostej, np. :

(0, -2) i (4, 0)

Rysujemy proste

Proste mają punkt wspólny P=(-4,-4), który jest jedynym rozwiązaniem układu.

Wyznacznik stopnia drugiego.

Definicja: Wyznacznik stopnia drugiego

Jeżeli dane są liczby a, b, c, d to wyrażenie ad -bc nazywamy wyznacznikiem stopnia drugiego i oznaczamy

\left| \begin{array}{ c c } a & b \\ c & d \end{array} \right|

Przykład 2

\left| \begin{array}{ c c } 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right| = 1 * 4 - 2 * 3 = 4 - 6 = -2

 

Przykład 3

\left| \begin{array}{ c c } 8 & 3 \\ 6 & 3 \end{array} \right| = 8 * 3 - 3 * 6 = 24 - 18 = 6

Metoda wyznacznikowa rozwiązywania układów równań liniowych.

Dla układu równań

\left\{\begin{matrix}A_1x+B_1 y=C_1 \\ A_2x+B_2y=C_2\\ \end{matrix}\right.

tworzymy wyznaczniki

W = \left| \begin{array}{ c c } A_1 & B_1 \\ A_2 & B_2 \end{array} \right|

W_x = \left| \begin{array}{ c c } C_1 & B_1 \\ C_2 & B_2 \end{array} \right|

W_y = \left| \begin{array}{ c c } A_1 & C_1 \\ A_2 & C_2 \end{array} \right|

  • Jeżeli W \neq 0 to układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie (układ oznaczony) takie, że:

x = \cfrac{W_x}{W} \quad y = \cfrac{W_y}{W}

  • Jeżeli W = W_x= W_y = 0 to układ posiada nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony)
  • Jeżeli W = 0 i W_x \neq 0  lub W = 0W_y \neq 0 to układ nie posiada rozwiązania (układ sprzeczny)

 

W nazywany jest wyznacznikiem głównym.

 

 

Przykład 4

Rozwiąż układ równań:

 

\left\{\begin{matrix} 2x - y = -4 \\ x - 2y = 4  \end{matrix}\right.

Obliczamy wyznaczniki

W = \left| \begin{array}{ c c } 2 & -1 \\ 1 & -2 \end{array} \right| = 2 * (-2) - (-1) * 1 = -4 + 1 = -3

W_x = \left| \begin{array}{ c c } -4 & -1 \\ 4 & -2 \end{array} \right| = (-4) * (-2) - (-1) * 4 = 8 + 4 = 12

W_y = \left| \begin{array}{ c c } 2 & -4 \\ 1 & 4 \end{array} \right| = 2 * 4 - (-4) * 1 = 8 + 4 = 12

ponieważ W \neq 0, zatem układ ma jedno rozwiązanie

\left\{\begin{matrix} x = \cfrac{W_x}{W} = \cfrac{12}{-3} = -4 \\ y = \cfrac{W_y}{W} = \cfrac{12}{-3} = -4 \\ \end{matrix} \right.

 

 

Przykład 5

Rozwiąż układ równań:

 

\left\{\begin{matrix}2x=12-3y \\ y+4x-14=0 \end{matrix} \right.

Doprowadzamy układ do odpowiedniej postaci

\left\{\begin{matrix}2x+3y=12 \\ 4x+y=14 \\ \end{matrix} \right.

obliczamy wyznaczniki

W = \left| \begin{array}{ c c } 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} \right| = 2 * 1 - 3 * 4 = 2 - 12 = -10

W_x = \left| \begin{array}{ c c } 12 & 3 \\ 14 & 1 \end{array} \right| = 12 * 1 - 3 * 14 = 12 - 42 = -30

W_y = \left| \begin{array}{ c c } 2 & 12 \\ 4 & 14 \end{array} \right| = 2 * 14 - 12 * 4 = 28 - 48 = -20

ponieważ W \neq 0, zatem układ ma jedno rozwiązanie

\left\{\begin{matrix} x = \cfrac{W_x}{W} = \cfrac{-30}{-10} = 3 \\ y = \cfrac{W_y}{W} = \cfrac{-20}{-10} = 2 \end{matrix} \right.

 

 

Przykład 6

Znajdź rozwiązanie układu

 

\left\{\begin{matrix} 2x + 3y = 2 \\ -6x - 9y = -6  \end{matrix} \right.

Obliczamy wyznaczniki

W = \left| \begin{array}{ c c } 2 & 3 \\ -6 & -9 \end{array} \right| = 2 * (-9) - 3 * (-6) = -18 + 18 = 0

W_x = \left| \begin{array}{ c c } 2 & 3 \\ -6 & -9 \end{array} \right| = 2 * (-9) - 3 * (-6) = -18 + 18 = 0

W_y = \left| \begin{array}{ c c } 2 & 2 \\ -6 & -6 \end{array} \right| = 2 * (-6) - 2 * (-6) = -12 + 12 = 0

ponieważ W = W_x = W_y = 0, zatem układ posiada nieskończenie wiele rozwiązań.

Można znaleźć przykładowe rozwiązania przekształcając np. pierwsze równanie układu

x = 1 - \cfrac{3}{2}y

zatem rozwiązania równania są postaci

(1-\cfrac{3}{2}t, t), gdzie t \in \mathbb{R}

Np.

  • dla t = 0 mamy rozwiązanie x=1, y=0
  • dla t = 2 mamy zaś rozwiązanie x=-2, y=2

Zadanie 1

Rozwiąż poniższy układ równań metodą graficzną:

\left\{\begin{matrix} x+y=1\\ -3x+y=5  \end{matrix}\right.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Rozwiąż poniższy układ równań metodą graficzną:

\left\{\begin{matrix} x-y=-5\\ 2x+y=8  \end{matrix}\right.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3


Na powyższym rysunku przedstawiony jest graficznie pewien układ równań. Znajdź równania tego układu, a następnie rozwiąż go algebraicznie.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Rozwiąż graficznie układ równań:

\left\{\begin{matrix}-2x-y=-5\\x-y=1\end{matrix}\right.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Rozwiąż układ równań metodą wyznacznikową.

 

\left\{\begin{matrix}x - y = 4 \\3x -5y =10 \end{matrix}\right.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

1 komentarz

  1. Default avatar
    sisi2014 19.10.2017 06:07

    prosze o wieksze cyfry na osiach liczbowych x,y.sa nieczytelne a przeciez pomocne do zrozumienia

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz