Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą podstawiania oraz przeciwnych współczynników.

Drukuj

Układ równań liniowych.

Definicja: Układ równań liniowych

Układem równań liniowych o $2$ niewiadomych $x$ i $y$ nazywamy układ

$\left\{\begin{array}{l l} a_1x+b_1 y= c_1 \\ a_2 x + b_2 y= c_2 \\ \end{array} \right.$

Rozwiązaniem takiego układu równań jest para $x$ i $y$ która spełnia jednocześnie oba równania.

Przykład 1

Rozwiązaniem układu stopnia $2$

$\left\{\begin{array}{l l} 2x+3y = 12 \\ 4x+y = 14 \\ \end{array} \right.$

jest para

$\left\{\begin{matrix} x=3\\ y=2 \end{matrix}\right.$

To znaczy, gdy podstawimy $x = 3$ i $y = 2$ oba równania będą spełnione.

Zaznacz co jest prawdą a co fałszem

Ćwiczenia są dostępne dla zalogowanych uzytkowników posiadających konto premium

Układ oznaczony, nieoznaczony i sprzeczny.

Definicja: Układ oznaczony

Układ równań liniowych nazywamy układem oznaczonym (równań niezależnych), jeżeli ma on dokładnie jedno rozwiązanie.

Przykład 2

Układ równań

$\left\{\begin{array}{l l} 2x + 3y = 0 \\ x-y=5 \\ \end{array} \right.$

jest układem oznaczonym, ponieważ posiada dokładnie jedno rozwiązanie, którym jest para

$\left\{\begin{matrix} x=3\\ y=-2 \end{matrix}\right.$

Definicja: Układ sprzeczny

Układ równań liniowych nazywamy układem sprzecznym, jeżeli nie posiada on rozwiązań.

Przykład 3

Układ równań

$\left\{\begin{array}{l l} 2x + 3y = 0 \\ 6x + 9y = 3 \\ \end{array} \right.$

jest układem sprzecznym, ponieważ nie posiada rozwiązań.

Definicja: Układ nieoznaczony

Układ równań liniowych nazywamy układem nieoznaczonym (równań zależnych), jeżeli posiada nieskończenie wiele rozwiązań.

Przykład 4

Układ równań

$\left\{\begin{array}{l l} 2x + 3y = 2 \\ 6x + 9y = 6 \\ \end{array} \right.$

jest układem nieoznaczonym, ponieważ posiada nieskończenie wiele rozwiązań postaci:

$\left\{\begin{matrix} x=a\\ y=\cfrac{2}{3}-\cfrac{2}{3}a \end{matrix}\right.$

gdzie $a \in \mathbf{R}$

Metoda podstawienia.

Metoda podstawiania rozwiązywania układów równań liniowych polega na tym, że z jednego równania, obliczamy jedną ze zmiennych. Np. $x=- 3+3y$ . Następnie, tak obliczoną zmienną, zastępujemy w drugim równaniu, warunkiem, który obliczyliśmy. W ten sposób pozostaje do rozwiązania równanie z jedną niewiadomą (w przypadku układów stopnia $2$ ). Zobacz na przykłady poniżej:

Przykład 5

Rozwiąż układ równań metodą podstawiania

$\left\{\begin{array}{l l} 2x + y = 2 \\ 3x + 2y = 3 \\ \end{array} \right.$

Z pierwszego równania wyznaczamy $y$ w zależności od $x$ :

$y = 2-2x$

teraz podstawiamy tą zależność do drugiego równania i otrzymujemy

$3x+2(2-2x) = 3$

$3x+4-4x = 3$

$-x +4 = 3$

$-x = -1$

$x = 1$

Obliczamy $y$ , mając dane $x$ :

$y = 2-2 * 1 = 0$

otrzymaliśmy rozwiązanie (układ jest oznaczony), którym jest para

$\left\{\begin{array}{l l} x = 1 \\ y = 0 \\ \end{array} \right.$

Przykład 6

Rozwiąż układ równań metodą podstawiania

$\left\{\begin{array}{l l} -3x + y = 2 \\ x - y = 1 \\ \end{array} \right.$

Z drugiego równania wyliczamy $y$ w zależności od $x$ :

$x -y = 1$

$y = x-1$

teraz podstawiamy zależność na $y$ do pierwszego równania, otrzymujemy

$-3x +x-1 = 2$

$-2x -1 = 2$

$-2x = 3$

$x=-\cfrac{3}{2}$

$y=-\cfrac{3}{2}-1=-\cfrac{5}{2}$

otrzymaliśmy rozwiązanie:

$\left\{\begin{array}{l l} x = -\cfrac{3}{2} \\ y = -\cfrac{5}{2} \\ \end{array} \right.$

Zaznacz co jest prawdą a co fałszem

Ćwiczenia są dostępne dla zalogowanych uzytkowników posiadających konto premium

Metoda przeciwnych współczynników.

Metoda przeciwnych współczynników rozwiązywania układów równań liniowych polega na doprowadzeniu równań do postaci, w której odpowiadające sobie współczynniki przy wybranej zmiennej np. $x$ będą przeciwne. Następnie równania dodajemy stronami i otrzymujemy równanie jednej zmiennej.

Najlepiej tą metodę przedstawić na przykładzie:

Przykład 7

Rozwiąż układ równań

$\left\{\begin{array}{l l} 2x + 3y = 5 \\ -3x - 6y = -9 \\ \end{array} \right.$

metodą przeciwnych współczynników.

Chcemy, aby przy zmiennej $y$ w pierwszym i drugim równaniu układu były te same współczynniki tylko o przeciwnych znakach. Aby do tego doprowadzić, mnożymy pierwsze równanie układu przez $2$ i otrzymujemy:

$\left\{\begin{array}{l l} 4x + 6y = 10 \\ -3x - 6y = -9 \\ \end{array} \right.$

Dodajemy stronami oba równania. Redukuje się wówczas zmienna $y$ , co pozwala wyliczyć wartość $x$ :

$4x+6y-3x-6y=10-9$

$x=1$

Obliczamy drugą zmieną, czyli $y$ . Podstawiamy $x=1$ do jednego z równań układu, np. do pierwszego:

$4* 1 + 6y = 10$

$6y=6$

$y=1$

otrzymaliśmy rozwiązanie

$\left\{\begin{array}{l l} x=1 \\ y=1 \\ \end{array} \right.$

Przykład 8

Rozwiąż układ równań

$\left\{\begin{array}{l l} 2x + 3y = 12 \\ 3x + 2y = 13 \\ \end{array} \right.$

metodą przeciwnych współczynników.

Przekształcamy równania układu tak, aby otrzymać przeciwne współczynniki przy zmiennej $x$ . Mnożymy w tym celu pierwsze równanie przez $3$ , a drugie przez $-2$ :

$\left\{\begin{array}{l l} 6x + 9y = 36 \\ -6x - 4y = -26 \\ \end{array} \right.$

Teraz dodajemy oba równania do siebie. Redukuje się zmienna $x$ , co pozwala obliczyć $y$ :

$6x+9y-6x-4y=36-26$

$5y=10$

$y=2$

podstawiamy teraz $y=2$ do jednego z równań np. do drugiego

$-6x - 4 * 2 = -26$

$-6x - 8 = -26$

$-6x = -18$

$x = 3$

otrzymaliśmy rozwiązanie

$\left\{\begin{array}{l l} x=3 \\ y=2 \\ \end{array} \right.$

Zadanie 1

Rozwiąż układ równań:

$\begin{cases} &17=x+3y \\ &9=2x+y \end{cases}$

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
5 komentarzy

Zadanie 2

Rozwiązaniem układu równań:

$\left\{\begin{matrix} x-6y=-22 \\ 2x+3y= 16 \end{matrix}\right.$

jest para liczb:

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 3
Premium

Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej $f(x) = ax + b$ , a punkt $M = (3, -2)$ należy do wykresu tej funkcji. Współczynnik $a$ we wzorzej tej funkcji jest równy

Rozwiązanie video

Matura podstawowa
0 komentarzy
CKE

Zadanie 4
Premium

Znajdź liczbę dwucyfrową, która ma tę własność, że po odjęciu od niej liczby powstałej z przestawienia cyfr otrzymamy $18$ , a po dodaniu tej liczby otrzymamy $132$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
2 komentarze

Zadanie 5

Rozwiąż układ równań:

$\left\{\begin{matrix}2x+y=6\\ xy=4\end{matrix}\right.$

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 6
Premium

Rozwiązaniem układu równań

$\left\{\begin{matrix} ax+by=12 \\ 2ax-3by=9 \end{matrix}\right.$

jest para liczb

$\left\{\begin{matrix}x=1\\ y=3\end{matrix}\right.$

Oblicz $a$ i $b$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 7
Premium

Tomek kupił cztery razy więcej ołówków niż zeszytów. Cena jednego ołówka to $1,60\ zl$ , a cena jednego zeszytu to $2,70\ zl$ . Ile ołówków i ile zeszytów kupił Tomek, jeżeli za wszystko zapłacił $18,20\ zl$ ?

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 8

Rozwiąż układ równań:

$\begin{cases}&15=x+3y\\ &10=2x+y\end{cases}$

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 9
Premium

Rozwiązaniem układu równań

$\left\{\begin{matrix}ax+by=19\\ 2ax-3by=-22\end{matrix}\right.$

jest para liczb

$\left\{\begin{matrix}x=1\\ y=4\end{matrix}\right.$

Oblicz $a$ i $b$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
4 komentarze

Zadanie 10

Różnica kwadratów pewnych liczb dodatnich wynosi $16$ , a ich suma jest równa $8$ . Wyznacz te liczby.

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
4 komentarze

Zadanie 11

Rozwiązaniem układu równań

$\left\{\begin{matrix} 3ax+5by=62 \\ 6ax-by=14 \end{matrix}\right.$

jest para liczb

$\left\{\begin{matrix}x=4\\ y=2\end{matrix}\right.$

Oblicz $a$ i $b$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 12
Premium

Dwóch pracowników pracując razem wykonuje pewną pracę w ciągu dwóch godzin. Pierwszy pracownik wykonuje pracę wolniej niż drugi. Gdyby miał on wykonać całą pracę samodzielnie, to pracowałby o 3 godziny dłużej niż drugi pracownik. W jakim czasie każdy z pracowników jest w stanie wykonać całą pracę samodzielnie?

Zobacz rozwiązanie