Układ równań liniowych.

Definicja: Układ równań liniowych
Układem równań liniowych o 2 niewiadomych xy nazywamy układ

\left\{\begin{array}{l l} a_1x+b_1 y= c_1 \\ a_2 x + b_2 y= c_2 \\ \end{array} \right.

Rozwiązaniem takiego układu równań jest para x i y która spełnia jednocześnie oba równania.

 

Przykład 1

Rozwiązaniem układu stopnia 2

\left\{\begin{array}{l l} 2x+3y = 12 \\ 4x+y = 14 \\ \end{array} \right.

jest para

\left\{\begin{matrix} x=3\\  y=2 \end{matrix}\right.

To znaczy, gdy podstawimy  x = 3 i  y = 2 oba równania będą spełnione.

Zaznacz co jest prawdą a co fałszem

Rozwiązaniem układu \left\{  \begin{array}{l l} x + y= 2 \\ 3x + y = 4\\ \end{array} \right. jest para x=1, y=1
Układ równań \left\{  \begin{array}{l l} 2x^2 + 4y= 5 \\ 5x + 2y = 3 \\ \end{array} \right. jest układem równań liniowych.
Rozwiązaniem układu \left\{  \begin{array}{l l} 3x + 4y= 28 \\ 6x + 7y = 3 \\ \end{array} \right. jest para x=2, y=4.

Układ oznaczony, nieoznaczony i sprzeczny.

Definicja: Układ oznaczony

Układ równań liniowych nazywamy układem oznaczonym (równań niezależnych), jeżeli ma on dokładnie jedno rozwiązanie.

Przykład 2

Układ równań

\left\{\begin{array}{l l} 2x + 3y = 0 \\ x-y=5 \\ \end{array} \right.

jest układem oznaczonym, ponieważ posiada dokładnie jedno rozwiązanie, którym jest para

\left\{\begin{matrix} x=3\\  y=-2 \end{matrix}\right.

Definicja: Układ sprzeczny

Układ równań liniowych nazywamy układem sprzecznym, jeżeli nie posiada on rozwiązań.

Przykład 3

Układ równań

\left\{\begin{array}{l l} 2x + 3y = 0 \\ 6x + 9y = 3 \\ \end{array} \right.

jest układem sprzecznym, ponieważ nie posiada rozwiązań.

Definicja: Układ nieoznaczony

Układ równań liniowych nazywamy układem nieoznaczonym (równań zależnych), jeżeli posiada nieskończenie wiele rozwiązań.

Przykład 4

Układ równań

\left\{\begin{array}{l l} 2x + 3y = 2 \\ 6x + 9y = 6 \\ \end{array} \right.

jest układem nieoznaczonym, ponieważ posiada nieskończenie wiele rozwiązań postaci:

\left\{\begin{matrix} x=a\\  y=\cfrac{2}{3}-\cfrac{2}{3}a \end{matrix}\right.

gdzie a \in \mathbf{R}

Metoda podstawienia.

Metoda podstawiania rozwiązywania układów równań liniowych polega na tym, że z jednego równania, obliczamy jedną ze zmiennych. Np. x=- 3+3y. Następnie, tak obliczoną zmienną, zastępujemy w drugim równaniu, warunkiem, który obliczyliśmy. W ten sposób pozostaje do rozwiązania równanie z jedną niewiadomą (w przypadku układów stopnia 2). Zobacz na przykłady poniżej:

Przykład 5

Rozwiąż układ równań metodą podstawiania

\left\{\begin{array}{l l} 2x + y = 2 \\ 3x + 2y = 3 \\ \end{array} \right.

Z pierwszego równania wyznaczamy y w zależności od x:

y = 2-2x

teraz podstawiamy tą zależność do drugiego równania i otrzymujemy

3x+2(2-2x) = 3

3x+4-4x = 3

-x +4 = 3

-x = -1

x = 1

Obliczamy y, mając dane x:

y = 2-2 * 1 = 0

otrzymaliśmy rozwiązanie (układ jest oznaczony), którym jest para

\left\{\begin{array}{l l} x = 1 \\ y = 0 \\ \end{array} \right.

Przykład 6

Rozwiąż układ równań metodą podstawiania

\left\{\begin{array}{l l} -3x + y = 2 \\ x - y = 1 \\ \end{array} \right.

Z drugiego równania wyliczamy y w zależności od x:

x -y = 1

y = x-1

teraz podstawiamy zależność na y do pierwszego równania, otrzymujemy

-3x +x-1 = 2

-2x -1 = 2

-2x = 3

x=-\cfrac{3}{2}

y=-\cfrac{3}{2}-1=-\cfrac{5}{2}

otrzymaliśmy rozwiązanie:

\left\{\begin{array}{l l} x = -\cfrac{3}{2} \\ y = -\cfrac{5}{2} \\ \end{array} \right.

Zaznacz co jest prawdą a co fałszem

Rozwiązaniem układu \left\{  \begin{array}{l l} 3x - y= 1 \\ -3x - 2y = -5 \\ \end{array} \right. jest para x=1, y=-2.
Rozwiązaniem układu \left\{  \begin{array}{l l} -5x + 2y= -6 \\ x - y = 0 \\ \end{array} \right. jest para x=2,  y = 2 .
Rozwiązaniem układu \left\{  \begin{array}{l l} -7x + 3y= 5 \\ x + y = 2 \\ \end{array} \right. jest para x=3,  y =2 .

Metoda przeciwnych współczynników.

Metoda przeciwnych współczynników rozwiązywania układów równań liniowych polega na doprowadzeniu równań do postaci, w której odpowiadające sobie współczynniki przy wybranej zmiennej np. x będą przeciwne. Następnie równania dodajemy stronami i otrzymujemy równanie jednej zmiennej.

Najlepiej tą metodę przedstawić na przykładzie:

Przykład 7

Rozwiąż układ równań

\left\{\begin{array}{l l} 2x + 3y = 5 \\ -3x - 6y = -9 \\ \end{array} \right.

metodą przeciwnych współczynników.

Chcemy, aby przy zmiennej y w pierwszym i drugim równaniu układu były te same współczynniki tylko o przeciwnych znakach. Aby do tego doprowadzić, mnożymy  pierwsze równanie układu przez 2 i otrzymujemy:

\left\{\begin{array}{l l} 4x + 6y = 10 \\ -3x - 6y = -9 \\ \end{array} \right.

Dodajemy stronami oba równania. Redukuje się wówczas zmienna y, co pozwala wyliczyć wartość x:

4x+6y-3x-6y=10-9

x=1

Obliczamy drugą zmieną, czyli y. Podstawiamy x=1  do jednego z równań układu, np. do pierwszego:

4* 1 + 6y = 10

6y=6

y=1

otrzymaliśmy rozwiązanie

\left\{\begin{array}{l l} x=1 \\ y=1 \\ \end{array} \right.

Przykład 8

Rozwiąż układ równań

\left\{\begin{array}{l l} 2x + 3y = 12 \\ 3x + 2y = 13 \\ \end{array} \right.

metodą przeciwnych współczynników.

Przekształcamy równania układu tak, aby otrzymać przeciwne współczynniki przy zmiennej x. Mnożymy w tym celu pierwsze równanie przez 3, a drugie przez -2:

\left\{\begin{array}{l l} 6x + 9y = 36 \\ -6x - 4y = -26 \\ \end{array} \right.

Teraz dodajemy oba równania do siebie. Redukuje się zmienna x, co pozwala obliczyć y:

6x+9y-6x-4y=36-26

5y=10

y=2

podstawiamy teraz y=2 do jednego z równań np. do drugiego

-6x - 4 * 2 = -26

-6x - 8 = -26

-6x = -18

x = 3

otrzymaliśmy rozwiązanie

\left\{\begin{array}{l l} x=3 \\ y=2 \\ \end{array} \right.


Zadanie 1

Rozwiąż układ równań:

 

\begin{cases} &17=x+3y \\ &9=2x+y \end{cases}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Rozwiązaniem układu równań:

\left\{\begin{matrix} x-6y=-22 \\  2x+3y= 16 \end{matrix}\right.

jest para liczb:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x) = ax + b, a punkt M = (3, -2) należy do wykresu tej funkcji. Współczynnik a we wzorzej tej funkcji jest równy 

Rozwiązanie video

Zadanie 4

Znajdź liczbę dwucyfrową, która ma tę własność, że po odjęciu od niej liczby powstałej z przestawienia cyfr otrzymamy 18, a po dodaniu tej liczby otrzymamy 132.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Rozwiąż układ równań:

\left\{\begin{matrix}2x+y=6\\ xy=4\end{matrix}\right.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Rozwiązaniem układu równań 

\left\{\begin{matrix} ax+by=12 \\  2ax-3by=9 \end{matrix}\right.

jest para liczb

\left\{\begin{matrix}x=1\\ y=3\end{matrix}\right.

Oblicz a i b.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

Tomek kupił cztery razy więcej ołówków niż zeszytów. Cena jednego ołówka to 1,60\ zl, a cena jednego zeszytu to 2,70\ zl. Ile długopisów i ile zeszytów kupił Tomek, jeżeli za wszystko zapłacił 18,20\ zl?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

Rozwiąż układ równań:

\begin{cases}&15=x+3y\\ &10=2x+y\end{cases}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

Rozwiązaniem układu równań 

\left\{\begin{matrix}ax+by=19\\ 2ax-3by=-22\end{matrix}\right.

jest para liczb

\left\{\begin{matrix}x=1\\ y=4\end{matrix}\right.

Oblicz a i b.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

Różnica kwadratów pewnych liczb dodatnich wynosi 16, a ich suma jest równa 8 . Wyznacz te liczby.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

Rozwiązaniem układu równań 

\left\{\begin{matrix} 3ax+5by=62 \\  6ax-by=14 \end{matrix}\right.

jest para liczb

\left\{\begin{matrix}x=4\\ y=2\end{matrix}\right.

Oblicz a i b.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12

Dwóch pracowników pracując razem wykonuje pewną pracę w ciągu dwóch godzin. Pierwszy pracownik wykonuje pracę wolniej niż drugi. Gdyby miał on wykonać całą pracę samodzielnie, to pracowałby o 3 godziny dłużej niż drugi pracownik. W jakim czasie każdy z pracowników jest w stanie wykonać całą pracę samodzielnie?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13

Rozwiązaniem układu równań:

\left\{\begin{matrix} 2x+y=7 \\  x-y=-1\end{matrix}\right.

jest para liczb:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14

Para liczb x =2 i y = 2 jest rozwiązaniem układu równań \vspace*{\fill}\begin{cases}ax + y = 4 \\ -2x + 3y = 2a\end{cases}\vspace*{fill} dla:

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz