Układ współrzędnych kartezjańskich.

Układ współrzędnych kartezjańskich ( na płaszczyźnie ) to dwie prostopadłe do siebie osie liczbowe.


Oś odciętych to oś OX.

Oś rzędnych to oś OY.

 

Ćwiartki układu współrzędnych.

Osie układu  współrzędnych kartezjańskich dzielą płaszczyznę na cztery ćwiartki:

  • I ćwiartka: \{(x,y): x>0,y>0\}
  • II ćwiartka: \{(x,y): x<0,y>0\}
  • III ćwiartka: \{(x,y): x<0,y<0\}
  • IV ćwiartka: \{(x,y): x>0,y<0\}

 

Współrzędne punktu na płaszczyźnie kartezjańskiej:

Położenie punktu w układzie współrzędnych określamy za pomocą współrzędnych.

P=(x,y)

Zawsze pierwsza współrzędna to odcięta, a druga rzędna!

 

 

Przykład 1

 

 


Początek układu współrzędnych:

Początkiem układu współrzędnych jest punk przecięcia się osi. Współrzędne tego punktu to (0,0). Oznaczamy go najczęściej przez O.

Na poniższym układzie współrzędnych zostały zaznaczone trzy punkty A,\ B,\ C. Dopasuj do nich ich współrzędne.


 

Odległość punktów na płaszczyźnie kartezjańskiej.

Wzór: Odległość punktów na płaszczyźnie kartezjańskiej.

W układzie współrzędnych możemy obliczać odległość punktów od siebie. Jeżeli mamy dwa punkty A i B o współrzędnych:

A=(x_a,y_a)

B=(x_b,y_b)

to odległość między nimi wynosi:

|AB|=\sqrt{(x_a-x_b)^2+(y_a-y_b)^2}

 

Przykład 2

Oblicz odległość między punktami P=(3,4)  i Q=(-1,6).

 

|PQ|=\sqrt{(3-(-1))^2+(4-6)^2}=\sqrt{4^2+(-2)^2}=

=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}

Zatem odległość miedzy punktami P i Q wynosi 2\sqrt{5}.

Wyznaczanie współrzędnych środka odcinka.

Wzór: Środek odcinka

Niech A,\ B będą punktami w układzie współrzędnych takimi, że:

A=(x_a,y_a)

B=(x_b,y_b)

wówczas środek odcinka {AB} obliczamy za pomocą wzoru:

S=\left(\cfrac{x_a+x_b}{2} ,\cfrac{y_a+y_b}{2}\right)

Przykład 3

Wyznacz środek odcinka AB zaznaczonego na poniższym rysunku:

 

 

Najpierw odczytujemy współrzędne punktów:

A=(-2,-1)

B=(4,3)

Obliczamy środek odcinka:

S=\left(\cfrac{-2+4}{2} ,\cfrac{-1+3}{2})=(1,1\right)


Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz