Drukuj

Wyznaczanie równania prostej przechodzącej przez dwa punkty

Gdy mamy dwa punkty A = (x_A, y_A) i B = (x_B, y_B) to równanie prostej, która przechodzi przez te punkty wyznaczamy ze wzoru: 

(y-y_A)(x_B -x_A) - (y_B - y_A)(x-x_A) = 0

Gdy przeniesiemy x na jedną stronę a y na drugą otrzymamy: 

(y-y_A) =\frac{ (y_B - y_A)}{(x_B -x_A)}(x-x_A)

Możemy dalej przekształcać ten wzór aby otrzymać wzór na prostą w postaci kierunkowej, ale staje się on wtedy dość skomplikowany i nie wnosi to nic w rozwiązywanie zadań maturalnych. 

Alternatywą do powyższych wzorów jest ułożenie układu równań i jego rozwiązanie. Zobaczmy to na przykładzie:

Przykład

Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty A=(3,4) i B=(5,8).

Równanie prostej w postaci kierunkowej to: y=ax+b. Musimy wyznaczyć wartości współczynników a i b. Tworzymy układ równań, podstawiając za x i y współrzędne punktów A i B przez które przechodzi ta prosta. Czyli:

A=(3,4) - po podstawieniu współrzędnych do równania kierunkowego prostej otrzymujemy:

4=3a+b

B=(5,8) - po podstawieniu współrzędnych do równania kierunkowego prostej otrzymujemy:

8=5a+b

Tworzymy układ równań:

\left\{\begin{matrix}<br> 4=3a+b\\ 8=5a+b<br> \end{matrix}\right.

Rozwiązujemy go i wyznaczamy wartości współczynników a i b. Z pierwszego równania wyznaczamy b w zależności od a:

b=4-3a

Wstawiamy tą zależność do drugiego równania:

8=5a+ 4-3a

8=2a+4

2a=4

a=2

Obliczamy b:

b=4-3a=4-3* 2=4-6=-2

Zatem równanie szukanej prostej to:

y=2x-2

Zadanie 1

Znajdź równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez punkty P=(3,-3) oraz Q=(1,3).

Zobacz rozwiązanie
  • Matura podstawowa
  • 0 komentarzy

Zadanie 2

Znajdź równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez punkty P=(-5,-3) oraz Q=(-2,3).

Zobacz rozwiązanie
  • Matura podstawowa
  • 0 komentarzy

Zadanie 3

Znajdź równanie ogólne prostej przechodzącej przez punkty A=(-14,-2) oraz B=(6,8).

Zobacz rozwiązanie
  • Matura podstawowa
  • 0 komentarzy

Zadanie 4

Znajdź równanie ogólne prostej przechodzącej przez punkty A=\left(\cfrac{1}{3},\cfrac{10}{3}\right)  oraz   B=\left(\cfrac{1}{9},\cfrac{4}{3}\right).

Zobacz rozwiązanie
  • Matura podstawowa
  • 2 komentarze

Zadanie 5

Wyznacz równanie prostej, jeżeli wiadomo, że jej wykres przechodzi przez punkt A=(5,3), oraz przez punkt B, będący środkiem odcinka CD, gdzie C=(2,7), D=(4,1).

Zobacz rozwiązanie
  • Matura podstawowa
  • 0 komentarzy

Zadanie 6

Dane są punkty A=(2,-3),\ B=(3,-1),\ C=(5,-7). Prosta k przechodzi przez punkty B,\ C. Znajdź równanie prostej prostopadłej do prostej k, przechodzącej przez punkt A.

Zobacz rozwiązanie
  • Matura podstawowa
  • 2 komentarze

Zadanie 7

Dane są punkty A=(3,6),\ B=(5,1) . Wyznacz równanie symetralnej odcinka AB.

Zobacz rozwiązanie
  • Matura podstawowa
  • 0 komentarzy

Zadanie 8

Znajdź równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez punkty P=(3,-3) oraz Q=(2,2).

Zobacz rozwiązanie
  • Matura podstawowa
  • 0 komentarzy

Zadanie 9

Równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych oraz środek okręgu o równaniu x^2+y^2-4x+10y+20=0 to:

Zobacz rozwiązanie
  • Matura rozszerzona
  • 5 komentarzy

Zadanie 10
Premium

Punkty A=(\sqrt{3},3),\ B=(6\sqrt{3},3) oraz C są wierzchołkami trójkąta. Wierzchołki A i C leżą na prostej k, która jest nachylona do osi OX pod kątem 30^{\circ}. Z wierzchołka C poprowadzono wysokość, która przecina bok AB w punkcie D. Długość odcinka CD wynosi 2.

a) Wyznacz równanie prostej k

b) Oblicz współrzędne wierzchołka C

c) Oblicz pole trójkąta DBC

Zobacz rozwiązanie
  • Matura podstawowa
  • 4 komentarze

Zadanie 11
Premium

Punkty A=(-1,-4),\ B=(1,2),\ C=(k,8) leżą na jednej prostej. Wyznacz wartość parametru k.

Zobacz rozwiązanie
  • Matura podstawowa
  • 0 komentarzy

Zadanie 12
Premium

Dane są punkty A=(2,5) i B=(6,k). Wyznacz wartość parametru k tak, aby prosta przechodząca przez punkty A i B była nachylona do osi OX pod kątem 45^{\circ}.

Zobacz rozwiązanie
  • Matura podstawowa
  • 0 komentarzy

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz